![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Декартова и полярная система координатСтр 1 из 8Следующая ⇒
Декартова и полярная система координат Одна из главных особенностей метода аналитической геометрии заключается в употреблении чисел для определения положения геометрических образов. Числа, определяющие положение геометрических образов, называются их координатами. Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называют совокупность трех условий: 1) две взаимно перпендикулярные прямые: ось x, или ось абсцисс, и ось y, или ось ординат; 2) начало координат – точка пересечения осей; положительное направление на каждой из осей; 3) единица масштаба на обеих осях одна и та же. Положение точки М относительно выбранной системы координат определяется двумя координатами: абсциссой x, которая равна расстоянию от точки М до оси ординат, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, находится ли точка М вправо или влево от нее; ординатой y, которая определяется как расстояние от точки М до оси абсцисс, взятому со знаком «плюс» или «минус», смотря по тому, находится ли точка сверху или снизу от оси абсцисс (рисунок 1). M
1
0 1
Таким образом, каждой точке плоскости соответствует упорядоченный набор двух действительных чисел и наоборот. Обозначение: М(x; y). Оси координат делят всю плоскость на четыре квадранта (рисунок 2).
![]() Рисунок 2
Основные виды уравнения прямой Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат изображает прямую линию и, обратно, всякая прямая линия изображается в декартовых координатах уравнением первой степени. Уравнение прямой по угловому коэффициенту k = tg j, где угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, и величине отрезка b, отсекаемого данной прямой на оси ординат, считая от начала координат, имеет вид y = kx + b. Если φ =
Кривые второго порядка
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и большая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 6).
Простейшее каноническое уравнение эллипса получается в системе координат, в которой за ось абсцисс выбрана прямая, соединяющая фокусы, начало координат 0 − середина отрезка, концами которого служат фокусы, ось ординат – прямая, проходящая перпендикулярно оси ОX через точку 0. Тогда уравнение эллипса примет следую- где
При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат − с центром симметрии. Точки А1(a; 0), А2(–a; 0), В1(0; b), В2(0; –b) называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось А1А2 = 2a, малая ось В1В2 = 2b. Параметры a и b уравнения равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом (e) эллипса называется отношение расстояния (2c) между фокусами к большей оси (2a), т. е. Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и меньшая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 7).
Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид где b2 = c2 – a2.
Прямая, соединяющая фокусы F1, F2 гиперболы, служит осью абсцисс, начало координат находится в середине между фокусами; при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, начало координат – с ее центром симметрии (оси и центр гиперболы). Гипербола имеет две действительные вершины А1(a; 0), А2(–a; 0) на фокальной оси; отрезок А1А2 = 2a называется действительной осью гиперболы, отрезок В1В2 = 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b в уравнении гиперболы равны длинам действительной и мнимой полуосей соответственно. Если a = b, то гипербола называется равносторонней. Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направление по оси x, а действительная ось, длиной 2b, совпадает с осью y, то уравнение такой гиперболы имеет следующий вид: где
Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными гиперболами. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к действительной оси: e = Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстояние ее от одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2a, 2b (рисунок 7).
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы (рисунок 8).
Если за ось абсцисс принять перпендикулярную прямую, проведенную из фокуса к директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид у2 = 2рх, где р – параметр параболы, расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.
Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает при таком выборе системы координат с осью X. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат и является единственной точкой пересечения параболы с осями.
Векторная алгебра
При изучении различных разделов экономики, механики, физики, других учебных дисциплин приходится иметь дело с величинами, для характеризации которых в выбранной системе единиц достаточно указать их численные значения. Эти величины называются скалярными. К числу скалярных величин можно отнести длину, площадь, объем, массу, температуру и т. п. Встречаются, тем не менее, такие величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве. Указанные величины будем называть векторными. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение. Геометрические векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков. Связанным вектором (или направленным отрезком) называется любой отрезок прямой, если только указано, какая из двух ограничивающих его точек является начальной, какая – конечной. Если точка А – начало отрезка, а точка В – его конец, то связанный вектор будем обозначать Длиной Связанные векторы Два ненулевых связанных вектора Свободным вектором а (или просто вектором) назовем множество равных между собой связанных векторов. При дальнейшем из контекста будет ясно, какой вектор имеется в виду (связанный или свободный). Для задания вектора достаточно указать какой-либо один вектор из всего множества {AB, CD, MN, ¼ } равных связанных векторов, например,
Рисунок 9
Рассмотренные понятия (длина, направление и т. п.), которые введены для связанных векторов, имеют аналоги также и для свободных. Часто векторы обозначают одной жирной строчной буквой:
9.Линейные операции над векторами
Определим для свободных векторов операции их сложения, вычитания, умножения вектора на действительное число. Суммой двух векторов a и b по правилу треугольника называется такой третий вектор с, что начало его совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b. Иногда вместо с = а + b пишут c = a + b Рисунок 10 На рисунке 11 изображена сумма а = а 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 векторов а 1, а 2, а 3, а 4, а 5. Произведением вектора а на число a называется вектор b = a а, длина которого равна
Векторы а, b, с называются коллинеарными, еслиих соответ- Векторы а, b, с называют компланарными, если их соответствующие связанные векторы параллельны одной и той же плоскости (рисунок 13). Углом jмежду векторами а и b называется величина наименьшего угла между связанными векторами Разностью а – b называется вектор с , равный сумме векторов а и Рисунок 15
Данный способ нахождения суммы а + b векторов а и b называется правилом параллелограмма. Вектор, длина которого равна единице, будем называть единичным вектором, или ортом. Через а 0 будем обозначать единичный вектор, имеющий направление вектора а.
Прямая в пространстве
Прямая линия в пространстве может быть определена как пересечение двух плоскостей: Прямая, проходящая через точки A(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB), описывается следующими уравнениями: Прямая, проходящая через точку M(x0; y0; z0) и параллельная направляющему вектору а = (m; n; p), задается каноническимуравнением и параметрическими уравнениями
Таким образом, положение прямой определяется ее направляющим вектором: 1) угол φ между двумя прямыми определяется как угол между векторами а 1, а 2; если а 1 = (m1; n1; p1), а 2 = (m2; n2; , p2) − направляющие векторы двух прямых, то 2) условие параллельности прямых: 3) условие перпендикулярности прямых: 4) условие пересечения прямых
Прямая и плоскость в пространстве R3
Пусть даны прямая Чтобы найти их точку пересечения, надо решить систему этих трех уравнений. Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
Условие параллельности прямой и плоскости: Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
Условие того, что прямая лежит в плоскости:
Матрицы Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, вида называется матрицей. Здесь aij – действительные числа (i = 1, 2, ¼, m;
Комплексные числа
Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i2 = –1. Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С. Для комплексного числа z = a +bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz. Два комплексных числа z1 = а1 + b1i и z2 = а2 + b2i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а1 = а2, b1 = b2. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi. Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ. Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π ). Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz + С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφ i или z = r (cosφ + i sinφ ), где r = cosφ = Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Два комплексных числа z1 = r1(cos φ 1 + i sin φ 1) и z2 = r2(cosφ 2 + i sin φ 2), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z1 = z2 Û r1 = r2, φ 1 = φ 2 + 2 π k, k Î Z.
Формула Эйлера имеет следующий вид:
Данная формула может быть записана в виде
Из формул (5) и (6) следует сos Используя формулу (5), комплексное число z = r(cosφ + i sinφ ) можно записать в виде z = rеiφ , называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z. Числовые последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ¼, n – 1, n, ¼ . Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом an, следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел: a1, a2, a3, ¼, an–1, an, ¼, кратко обозначаемый По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много. Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f: N ® R. Последовательность Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2, ¼ (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n. Если в некоторой последовательности для любого n Î N Производная высших порядков
Производная Если функция Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка: Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Дифференциал функции
Дифференциалом функции y = f(x) в точке При достаточно малых
Данная формула часто используется в приближенных вычислениях.
Теорема Ферма
Теорема. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а; b) и в некоторой точке c Î (а; b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если в точке Геометрический смысл теоремы: так как
![]() 1. По условию теоремы функция определена в интервале (a; b). В этом промежутке все точки внутренние. Таким образом, точка 2. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на конце промежутка, например, в точке а промежутка X = [a; b], и в этой точке существует конечная односторонняя производная, то она может не равняться нулю.
Теорема Ролля
Теорема. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) дифференцируема на интервале (a; b); 3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c Î (а; b), в которой производная равна нулю: Геометрический смысл теоремы: у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (рисунок 30).
![]() Рисунок 30
Теорема Лагранжа
Теорема.Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a; b]; 2) дифференцируема на интервале (a; b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка
Геометрический смысл теоремы: на кривой y = f(x) всегда найдется хотя бы одна точка М с абсциссой, равной с, такая, что касательная, проведенная к кривой в этой точке, будет параллельна хорде, стягивающей дугу АВ (рисунок 31).
![]() ![]() ![]() ![]()
Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. Формулу (1) называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений. Теорема Коши
Теорема. Пусть функции y = f(x) и 1) непрерывны на отрезке [a; b]; 2) дифференцируемы на интервале (a; b); 3) j¢ (x) ¹ 0 во всех точках интервала (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка с Î (а; b), в которой выполняется равенство
Формулу (2) называют формулой конечных приращений Коши. Замечание. Из условия теоремы следует, что
Правило Лопиталя
Применяется для раскрытия неопределенностей вида Теорема. Пусть имеем частное двух функций Правило Лопиталя справедливо и для случая, когда
Асимптоты графика функции
Существуют различные точки зрения на понятие асимптоты. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые). а) б) в)
Рисунок 37
Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные. На рисунке 37а изображена вертикальная асимптота, на рисунке Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот. Нахождение асимптот графика функции y = f(x) основано на утверждениях, представленных ниже.
Теорема 7. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х ® х0 – 0(слева) или при х ® х0 + 0(справа) равен бесконечности, т. е. Вертикальные асимптоты x = x0 следует искать в точках разрыва функции y = f(x) или на концах ее области определения (a; b), если a и b – конечные числа.
Теорема 8. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших Замечание.Если пределы Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота. В том случае, если
Теорема 9. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.
Предел функции
Число Записывают: На функции нескольких переменных легко переносятся все положения теории пределов функции одной переменной, в частности, справедлива теорема, представленная ниже. Теорема 1) 2) 3)
Условный экстремум
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-24; Просмотров: 726; Нарушение авторского права страницы