Декартова и полярная система координат

Декартова и полярная система координат

Одна из главных особенностей метода аналитической геометрии заключается в употреблении чисел для определения положения геометрических образов. Числа, определяющие положение геометрических образов, называются их координатами.

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называют совокупность трех условий:

1) две взаимно перпендикулярные прямые: ось x, или ось абсцисс, и ось y, или ось ординат;

2) начало координат – точка пересечения осей; положительное направление на каждой из осей;

3) единица масштаба на обеих осях одна и та же.

Положение точки М относительно выбранной системы координат определяется двумя координатами: абсциссой x, которая равна расстоянию от точки М до оси ординат, взятому со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, находится ли точка М вправо или влево от нее; ординатой y, которая определяется как расстояние от точки М до оси абсцисс, взятому со знаком «плюс» или «минус», смотря по тому, находится ли точка сверху или снизу от оси абсцисс (рисунок 1).

0 1

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует упорядоченный набор двух действительных чисел и наоборот.

Обозначение: М(x; y).

Оси координат делят всю плоскость на четыре квадранта (рисунок 2).

III

Рисунок 2

Основные виды уравнения прямой

Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат изображает прямую линию и, обратно, всякая прямая линия изображается в декартовых координатах уравнением первой степени.

Уравнение прямой по угловому коэффициенту k = tg j, где угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, и величине отрезка b, отсекаемого данной прямой на оси ординат, считая от начала координат, имеет вид y = kx + b.

Если φ = , то tg φ = tg не существует. Поэтому уравнение примет вид x = a.

Кривые второго порядка

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и большая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 6).

Рисунок 6

Простейшее каноническое уравнение эллипса получается в системе координат, в которой за ось абсцисс выбрана прямая, соединяющая фокусы, начало координат 0 − середина отрезка, концами которого служат фокусы, ось ординат – прямая, проходящая перпендикулярно оси ОX через точку 0. Тогда уравнение эллипса примет следую-
щий вид:

где

При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат − с центром симметрии. Точки А₁(a; 0), А₂(–a; 0), В₁(0; b), В₂(0; –b) называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось А₁А₂ = 2a, малая ось В₁В₂ = 2b. Параметры a и b уравнения равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом (e) эллипса называется отношение расстояния (2c) между фокусами к большей оси (2a), т. е. ; очевидно, что e< 1. Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном . Уравнения директрис сле-
дующие:

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, и меньшая чем расстояние между фокусами, равное 2c (рисунок 7).

F₂–a

–b

F₁

Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где b² = c² – a².

Прямая, соединяющая фокусы F₁, F₂ гиперболы, служит осью абсцисс, начало координат находится в середине между фокусами; при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, начало координат – с ее центром симметрии (оси и центр гиперболы).

Гипербола имеет две действительные вершины А₁(a; 0), А₂(–a; 0) на фокальной оси; отрезок А₁А₂ = 2a называется действительной осью гиперболы, отрезок В₁В₂ = 2b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b в уравнении гиперболы равны длинам действительной и мнимой полуосей соответственно.

Если a = b, то гипербола называется равносторонней.

Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направление по оси x, а действительная ось, длиной 2b, совпадает с осью y, то уравнение такой гиперболы имеет следующий вид:

(2)

где

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными гиперболами.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к действительной оси: e = и при этом e > 1. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие на расстоянии, равном Уравнения директрис следующие: Асимптоты гиперболы определяются равенствами

Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстояние ее от одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2a, 2b (рисунок 7).

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой параболы (рисунок 8).

Рисунок 8

Если за ось абсцисс принять перпендикулярную прямую, проведенную из фокуса к директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид

у² = 2рх,

где р – параметр параболы, расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

Парабола имеет одну ось симметрии, которая совпадает при таком выборе системы координат с осью X. Единственная вершина параболы совпадает с началом координат и является единственной точкой пересечения параболы с осями.

Векторная алгебра

При изучении различных разделов экономики, механики, физики, других учебных дисциплин приходится иметь дело с величинами, для характеризации которых в выбранной системе единиц достаточно указать их численные значения. Эти величины называются скалярными. К числу скалярных величин можно отнести длину, площадь, объем, массу, температуру и т. п. Встречаются, тем не менее, такие величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве. Указанные величины будем называть векторными. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение.

Геометрические векторные величины изображаются с помощью направленных отрезков.

Связанным вектором (или направленным отрезком) называется любой отрезок прямой, если только указано, какая из двух ограничивающих его точек является начальной, какая – конечной. Если точка А – начало отрезка, а точка В – его конец, то связанный вектор будем обозначать Его направление будем указывать стрелкой, идущей от начала А к концу В.

Длиной (или модулем) связанного вектора называется длина отрезка АВ. Связанный вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается 0, его длина равна 0: он направления не имеет.

Связанные векторы и называются сонаправленными, если являются сонаправленными лучи и противоположно направленными – если противоположно направлены эти лучи.

Два ненулевых связанных вектора и назовем равными (это обозначается = ), если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Свободным вектором а (или просто вектором) назовем множество равных между собой связанных векторов. При дальнейшем из контекста будет ясно, какой вектор имеется в виду (связанный или свободный). Для задания вектора достаточно указать какой-либо один вектор из всего множества {AB, CD, MN, ¼ } равных связанных векторов, например, (рисунок 9).

Рисунок 9

Рассмотренные понятия (длина, направление и т. п.), которые введены для связанных векторов, имеют аналоги также и для свободных. Часто векторы обозначают одной жирной строчной буквой: = а (рисунок 10).

9.Линейные операции над векторами

Определим для свободных векторов операции их сложения, вычитания, умножения вектора на действительное число.

Суммой двух векторов a и b по правилу треугольника называется такой третий вектор с, что начало его совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b.

Иногда вместо с = а + b пишут Суммой а ₁ + а ₂ +…
… + а _n конечного числа векторов называется такой вектор а, который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов а ₁, а ₂, …, а _n таким образом, что начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Указанный вектор а направлен из начала первого вектора суммы в конец последнего (правило многоугольника) (рисунок 10).

c = a + b

Рисунок 10

На рисунке 11 изображена сумма а = а ₁ + а ₂ + а ₃ + а ₄ + а ₅ векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅.

Произведением вектора а на число a называется вектор b = a а, длина которого равна направление которого совпадает с направлением а, если a > 0, и противоположно направлению а, если
a < 0. По определению a а × 0 = 0 для любого a и 0 × а = 0 для любого а. На рисунке 12 изображены векторы а, 3 а, –2 а.

Рисунок 11 Рисунок 12

Векторы а, b, с называются коллинеарными, еслиих соответ-
ствующие связанные векторы параллельны одной и той же прямой. На рисунке 12 изображены коллинеарные векторы а, –2 а, 3 а.

Векторы а, b, с называют компланарными, если их соответствующие связанные векторы параллельны одной и той же плоскости (рисунок 13).

Углом jмежду векторами а и b называется величина наименьшего угла между связанными векторами и (рисунок 14). Понятно, что 0 £ j £ 0. Если , то векторы а и b называются ортогональными (перпендикулярными, это обозначается а ^ b ).

Разностью а – b называется вектор с , равный сумме векторов а и
–1 b = – b, т. е. с = а – b = а +(– b ). Итак, по определению, чтобы вычесть из вектора а вектор b, необходимо к вектору а прибавить вектор – b, который называется противоположным вектору b. Из рисунка 15 следует, что если на векторах а и b, приведенных к общему началу, построить параллелограмм как на сторонах и провести диагонали, то диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов а и b, равна их сумме а + b, а другая диагональ – их разности а – b.

Рисунок 15

Данный способ нахождения суммы а + b векторов а и b называется правилом параллелограмма.

Вектор, длина которого равна единице, будем называть единичным вектором, или ортом. Через а ⁰ будем обозначать единичный вектор, имеющий направление вектора а.

Прямая в пространстве

Прямая линия в пространстве может быть определена как пересечение двух плоскостей:

Прямая, проходящая через точки A(x_A; y_A; z_A) и B(x_B; y_B; z_B), описывается следующими уравнениями:

Прямая, проходящая через точку M(x₀; y₀; z₀) и параллельная направляющему вектору а = (m; n; p), задается каноническимуравнением

и параметрическими уравнениями

, t Ï R.

Таким образом, положение прямой определяется ее направляющим вектором:

1) угол φ между двумя прямыми определяется как угол между векторами а ₁, а ₂; если а ₁ = (m₁; n₁; p₁), а ₂ = (m₂; n_2;, p₂) − направляющие векторы двух прямых, то

2) условие параллельности прямых:

3) условие перпендикулярности прямых:

4) условие пересечения прямых и :

Прямая и плоскость в пространстве R³

Пусть даны прямая и плоскость Ax + By + Cz = 0.

Чтобы найти их точку пересечения, надо решить систему этих трех уравнений.

Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле

Условие параллельности прямой и плоскости:

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

Условие того, что прямая лежит в плоскости:

Матрицы

Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, вида

называется матрицей. Здесь a_ij – действительные числа (i = 1, 2, ¼, m;
j = 1, 2, ¼, n), называемые элементами матрицы, i и j – соответ-
ственно индексы строки и столбца. При этом произведение m´ n числа строк на число столбцов называется размерностью матрицы A. Матрицы обозначаются буквами А, В, С, ¼ .

Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида z = а + bi, где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, i² = –1.

Если а = 0, то число 0 + bi = bi называется чисто мнимым; если
b = 0, то число а + 0i = а отождествляется с действительным числом а.

Таким образом, множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. R Ì С.

Для комплексного числа z = a +bi число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается а = Rez, а число b – мнимой частью комплексного числа z и обозначается b = Imz.

Два комплексных числа z₁ = а₁ + b₁i и z₂ = а₂ + b₂i называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е. а₁ = а₂, b₁ = b₂. В частности, комплексное число z = а + bi равно нулю тогда и только тогда, когда а = b = 0.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней изображены действительные числа z = a +0i = а. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней изображены чисто мнимые комплексные числа z = 0 + bi = bi.

Аргументом комплексного числа z = а + bi называется величина угла φ (рисунок 22) между положительным направлением действительной оси Ох и вектором r, изображающим комплексное число. Обозначение: аrgz или φ.

Аргумент (главное значение аргумента) комплексного числа заключен в промежутке [0; 2π ).

Множество аргументов числа z обозначается Аrgz и Аrgz = аrgz +
+ 2π k, k Î Z.

С помощью модуля r и аргумента φ комплексное число z = а + bi можно представить в другом виде. Так как а = r cosφ, b = r sin φ (рисунок 22), то z = а + bi = r cosφ + r sinφ i или z = r (cosφ + i sinφ ), где

r = (3)

cosφ = , sin φ = . (4)

Запись числа z = а + bi в виде z = r (cosφ + i sinφ ), где r – модуль, а φ – аргумент числа z, называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Два комплексных числа z₁ = r₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) и z₂ = r₂(cosφ ₂+ i sin φ ₂), заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π, т. е. z₁ = z₂ Û r₁ = r₂, φ ₁ = φ ₂ + 2 π k, k Î Z.

Формула Эйлера имеет следующий вид:

(5)

Данная формула может быть записана в виде

(6)

Из формул (5) и (6) следует

сos .

Используя формулу (5), комплексное число z = r(cosφ + i sinφ ) можно записать в виде z = rеⁱ^φ, называемом показательной (или экспоненциальной) формой комплексного числа z.

Числовые последовательности

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ¼, n – 1, n, ¼ .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a_n, следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a₁, a₂, a₃, ¼, a_n_–1, a_n, ¼,

кратко обозначаемый и называемый числовой последователь-
ностью. Величина a_n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a_n = f(n) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f: N ® R.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n Î N Такие последовательности называются строго монотонными.

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n₀). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2, ¼ (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n.

Если в некоторой последовательности для любого n Î N то последовательность называется неубывающей (невозрастающей). Такие последовательности называются монотонными.

Производная высших порядков

Производная функции y = f(x) есть также функция x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается или

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции y = f(x) в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy или или
dy = f ¢ (x)dx, так как dx = Dx. Из второй формулы следует, что

При достаточно малых справедлива приближенная формула

или

Данная формула часто используется в приближенных вычислениях.

Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а; b) и в некоторой точке c Î (а; b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю:

Геометрический смысл теоремы: так как то касательная к графику функции в точке М, абсцисса которой равна с, параллельна оси Ox (рисунок 29).

f(c)

Замечания:

1. По условию теоремы функция определена в интервале (a; b). В этом промежутке все точки внутренние. Таким образом, точка взята внутри промежутка Х.

2. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на конце промежутка, например, в точке а промежутка X = [a; b], и в этой точке существует конечная односторонняя производная, то она может не равняться нулю.

Теорема Ролля

Теорема. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a; b];

2) дифференцируема на интервале (a; b);

3) на концах интервала принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c Î (а; b), в которой производная равна нулю:

Геометрический смысл теоремы: у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (рисунок 30).

f(c)

f(a) = f(b)

Рисунок 30

Теорема Лагранжа

Теорема.Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [a; b];

2) дифференцируема на интервале (a; b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка
c Î [a; b], в которой выполняется равенство

. (1)

Геометрический смысл теоремы: на кривой y = f(x) всегда найдется хотя бы одна точка М с абсциссой, равной с, такая, что касательная, проведенная к кривой в этой точке, будет параллельна хорде, стягивающей дугу АВ (рисунок 31).

f(c)

Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Формулу (1) называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Теорема Коши

Теорема. Пусть функции y = f(x) и удовлетворяют следующим условиям:

1) непрерывны на отрезке [a; b];

2) дифференцируемы на интервале (a; b);

3) j¢ (x) ¹ 0 во всех точках интервала (a; b).

Тогда существует по крайней мере одна точка с Î (а; b), в которой выполняется равенство

(2)

Формулу (2) называют формулой конечных приращений Коши.

Замечание. Из условия теоремы следует, что

Правило Лопиталя

Применяется для раскрытия неопределенностей вида и

Теорема. Пусть имеем частное двух функций , где функции f(x) и j(x) определены в промежутке X = (a; b), имеют конечные производные и в этом промежутке, причем Тогда, если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при х ® а + 0, т. е. если частное при х ® а + 0 представляет собой неопределенность и то при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило Лопиталя справедливо и для случая, когда

Асимптоты графика функции

Существуют различные точки зрения на понятие асимптоты.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика функции при неограниченном удалении от начала координат.

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая обладающая тем свойством, что расстояние от точки M(x; f(x)) графика до этой прямой при удалении точки M(x; f(x)) в бесконечность стремится к нулю (рисунок 37).

Из определения следует, что асимптоты могут существовать только у графиков функций, имеющих сколь угодно далекие точки («неограниченные» кривые).

а) б)

в)

Рисунок 37

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

На рисунке 37а изображена вертикальная асимптота, на рисунке
37б – горизонтальная асимптота, а на рисунке 37в – наклонная.

Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика функции y = f(x) основано на утверждениях, представленных ниже.

Теорема 7. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀(исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х ® х₀ – 0(слева) или при х ® х₀ + 0(справа) равен бесконечности, т. е. f(x) = ¥ или f(x) = ¥. Тогда прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

Вертикальные асимптоты x = x₀ следует искать в точках разрыва функции y = f(x) или на концах ее области определения (a; b), если a и b – конечные числа.

Теорема 8. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших и существует конечный предел функции f(x) = b. Тогда прямая y = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x).

Замечание.Если пределы f(x) = b и f(x) = b₁– конечные и различные, то прямые y = b и y = b₁ будут горизонтальными асимптотами (правосторонней и левосторонней).

Может оказаться, что только один из этих двух пределов конечен, тогда будет одна горизонтальная асимптота.

В том случае, если f(x) = ¥, функция можетиметь наклонную асимптоту.

Теорема 9. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и (f(x) – kx) = b. Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Предел функции

Число называется пределом функции z = f(x; y) в точке M₀(x₀; y₀), если для любого числа e > 0 найдется число d > 0, зависящее от e, такое, что для всех точек M(x; y), отстоящих от M₀ не более чем на d, выполняется неравенство

Записывают:

На функции нескольких переменных легко переносятся все положения теории пределов функции одной переменной, в частности, справедлива теорема, представленная ниже.

Теорема

3) , если

Условный экстремум

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒