Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

1) Чем отличается трактовка явления электромагнитной индукции, сформулированная Максвеллом, от закона, полученного Фарадеем? В 1831 Фарадей обнаружил, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индук-цией, а возникающий ток индукционным. Явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока в контуре возникает элек-тродвижущая сила индукции Е. Величина Е не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока Ф, и определяется лишь скоростью изменения Ф, т. е. значением dФ/dt. При изменении знака dФ/dt на- правление Е также меняется. Возбуждение электрического тока при движении проводника в магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника. Формула выражает основной закон электромагнитной индукции. Она показывает, что при движении замкнутого провода в магнитном поле в нем возбуждается электродвижущая сила, пропорциональная скорости приращения магнитного потока, пронизывающего контур провода. Согласно Максвеллу, всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Последнее и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Максвеллу принадлежит следующая углубленная формулировка закона электромагнитной индукции. Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности Е этого поля по любому неподвижному замкнутому контуру S определяется выражением

где Ф — магнитный поток, пронизывающий контур S. Мы использовали для обозначения скорости изменения магнитного потока знак частной, а не полной производной. Этим мы хотим подчеркнуть, что контур s должен быть неподвижным.

Между максвелловым и фарадеевым пониманием явления электромагнитной индукции имеется существенное различие. Согласно Фарадею, электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника. Максвелл, напротив, видит сущность электромагнитной индукции прежде всего в возбуждении электрического поля, а не тока.

2) Записать закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении потока, проходящего через него. Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем 1831 году. Он обнаружил, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводящем контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Величина электродвижущей силы (ЭДС) не зависит от того, что является причиной изменения потока — изменение самого магнитного поля или движение контура (или его части) в магнитном поле. Электрический ток, вызванный этой ЭДС, называется индукционным током.

Закон Фарадея: Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея (в СИ): где — электродвижущая сила, действующая вдоль произвольно выбранного контура, магнитный поток через поверхность, натянутую на этот контур.

Знак «минус» в формуле отражает правило Ленца, Индукционный ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре, имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противодействует тому изменению магнитного потока, которым был вызван данный ток.Для катушки, находящейся в переменном магнитном поле, закон Фарадея можно записать следующим образом: где — электродвижущая сила, — число витков, — магнитный поток через один виток, — потокосцепление катушки.

В дифференциальной форме закон Фарадея можно записать в следующем виде: (в системе СИ) Или (в системе СГС).

3) Что такое индуктивность контура; чему равна э.д.с. самоиндукции? Электрический ток, текущий в любом контуре, создает пронизывающий этот контур магнитный поток Y. При изменениях I изменяется также и Y, вследствие чего в контуре индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией. В соответствии с законом Био — Савара магнитная индукция В пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что ток I в контуре и создаваемый им полный магнитный поток Yчерез контур пропорциональны друг другу: Y=LI.Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью контура. Индуктивность зависит от геометрии контура(формы и размеров), а также от магнитных свойств окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность L является постоянной величиной.При изменениях силы тока в контуре возникает э. д. с. самоиндукции Е, равная

Если при изменениях силы тока индуктивность остается постоянной (что возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для э. д. с. самоиндукции имеет вид Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца, согласно которому индукционный ток бывает направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей.

4) Записать выражение для энергии магнитного поля. Рассмотрим цепь, изображённую на рисунке. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде э. д. с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим током за время dt, равна Если индуктивность соленоида не зависит от I (L=const), то и выражение (67.1) принимает вид dA =—LI dI. (67.2) Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля, Работа (67.3) идет на приращение внутренней энергии сопротивления R, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагревание). ). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружающем соленоид пространстве.. Поскольку никаких других изменений в окружающих электрическую цепь телах не происходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (67.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью L, по которому течет ток силы I, обладает энергией: , которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле. Выражение (67.3) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до I и которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (67.4). Действительно, работа, совершаемая против ЭДС самоиндукции равна: Проделав преобразования, подобные тем, которые привели нас к выражению (67.2), получим что совпадает с (67.3). Работа (67.5) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Выражение (67.5) не учитывает той работы, которую источник э. д. с. затрачивает в процессе установления тока на нагревание проводников. Выразим энергию магнитного поля (67.4) через величины, характеризующие само поле. В случае очень длинного (практически бесконечного) соленоида (см. формулы F4.3) и E3.8)). Подставив эти значения L и / в выражение (67.4) и произведя преобразования, получим Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энергия (67.6) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью до, которую можно найти, разделив W на V. Произведя это деление, получим (67.7) Формуле для плотности энергии магнитного поля можно придать вид: Полученные нами выражения для плотности магнитного поля отличаются от выражений для плотности энергии электрического поля лишь тем, что электрические величины в них заменены соответствующими магнитными. Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл Можно показать, что в случае связанных контуров (при отсутствии ферромагнетиков) энергия поля определяется формулой Для энергии N связанных друг с другом контуров получается аналогичное выражение

5) Ввести понятие токов смещения. В случае стационарного (т. е. не изменяющегося со временем) электромагнитного поля ротор вектора Н равен в каждой точке плотности тока проводимости: (70.1) Вектор j связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда р и плотность тока j не зависят от времени. В этом случае согласно (70.2) дивергенция j равна нулю. Поэтому линии тока (линии вектора j) не имеют источников и являются замкнутыми.

Выясним, является ли уравнение (70.1) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения U (рис. 70.1). Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным U, ток прекращается). Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора (на рисунке линии тока внутри обкладок показаны штриховыми линиями).

При нестационарных процессах р может меняться со временем (это, в частности, происходит с плотностью заряда на обкладках заряжаемого конденсатора). В этом случае согласно (70.2) дивергенция j отлична от нуля(в обычном случае она должна быть равной нулю). Чтобы согласовать уравнения (70.1) и (70.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (70.1) дополнительное слагаемое. Естественно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тока. Максвелл назвал его плотностью тока смещения. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (70.1) должно иметь (70.5) Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность, полного тока равна (70.6) Если положить дивергенцию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком, (70.7), то дивергенция правой части уравнения (70.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю. Заменив в (70.7) согласно (70.2) через dp/dt, получим следующее выражение для дивергенции тока смещения: (70.8) Чтобы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением, согласно которому дивергенция вектора электрического смещения равна плотности сторонних зарядов: Продифференцировав это соотношение по времени, получим Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координатам. В результате придем к следующему выражению для производной р по t: Подстановка этого выражения в формулу (70.8) дает Отсюда (70.9) Подставив выражение (70.9) в формулу (70.5), придем к уравнению которое является одним из основных в теории Максвелла.

Подчеркнем, что термин «ток смещения» является чисто условным. По существу ток смещения — это изменяющееся со временем электрическое поле. Основанием для того, чтобы назвать «током» Величину (70.9), служит лишь то, что размерность этой величины совпадает с размерностью плотности тока. Из всех физических свойств, присущих действительному току, ток смещения обладает лишь одним — способностью создавать магнитное поле.

Введение тока смещения, определяемого выражением (70.9), «уравняло в правах» электрическое и магнитное поля. Из явления электромагнитной индукции вытекает, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Из уравнения (70.10) следует, что изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле. Ток смещения имеется везде, где есть изменяющееся со временем электрическое поле. В частности, он существует и внутри проводов, по которым течет переменный электрический ток. Однако внутри проводов ток смещения обычно бывает пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости.

6) Записать уравнения Максвелла в интегральной и дифференциanьной форме. Объяснить физический смысл каждого уравнения. Первая пара уравнений Максвелла: Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора D служат сторонние заряды. Уравнения (71.1) — (71.4) представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Уравнения Максвелла, записанные в дифференциальной форме, предполагают, что входящие в них величины, а также постоянные, характеризующие среду, в пространстве и времени изменяются непрерывно и всюду конечны. Отметим, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля: Е и В. Во второй же паре фигурируют только вспомогательные величины D и Н. Чтобы осуществить расчет полей, нужно дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими D и j с Е, а также Н с В. Эти уравнения имеют вид: Совокупность уравнений (71.1) — (71.4) и (71.9) — (71.11) образует основу электродинамики покоящихся сред. Уравнения: (первая пара) и

(вторая пара) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, т.е. в уравнениях, записанные в интегральной форме, автоматически учтены граничные условия. Уравнение (71.12) получается путем интегрирования соотношения (71.1) по произвольной поверхности S с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность S. Уравнение (71.14) получается таким же способом из соотношения (71.3). Уравнения (71.13) и (71.15) получаются из соотношений (71.2) и (71.4) путем интегрирования по произвольному объему V с последующим преобразованием левой части по теореме Остроградского — Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V.

7) Записать материальные уравнения в случае слабых полей, медленно меняющихся в пространстве и во времени. Материальные уравнения наиболее простыв случае достаточно слабых и сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени электромагнитных полей. Если при этом среда изотропна и не содержит сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, то материальные уравнения имеют вид:

Вычисление этих величин – трудная задача, поэтому обычно эти постоянные определяются феноменологически. Поле E включает в себя в том числе и поле сторонних сил, обусловленных химическими или тепловыми процессами. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме совместно с граничными условиями и материальными уравнениями составляют полную систему, позволяющую однозначно определить электромагнитное поле в любой точке пространства и в любой момент времени по заданным начальным значениям E и B. С помощью материальных уравнений из системы уравнений можно исключить величины j , D, H.

Переменный ток.

1) Сформулировать условия квазистационарности переменных токов. Пусть длина цепи равна l. Если за время необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи будут практически одинаковыми. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид где Т — период изменений. Для цепи длиной 3 м запаздывание Т =10 ^-6с. Таким образом, вплоть до Т порядка 10 ^-6с (что соответствует частоте 10⁶ Гц) токи в такой цепи можно считать квазистационарными. Ток промышленной частоты (v=50 Гц) квазистационарен для цепей длиной до ~ 100 км

2) Дать определение эффективным значениям тока и напряжения. Действующими (эффективными) значениями тока и напряжения называют соответствующие параметры такого постоянного тока, при котором в данном проводнике за данный промежуток времени выделяется столько же теплоты, что и при переменном токе. При изменении тока по синусоиде его действующее значение меньше его амплитудного значения раз, т. е , где -амплитудное значение тока. Такое же соотношение справедливо для напряжения: Действующие значения обозначаются прописными латинскими буквами без индексов.

Для подсчета количества теплоты Q, выделяющейся при прохождении переменного тока по проводнику с активным сопротивлением R, нельзя использовать максимальное значение мощности, так как оно достигается только в отдельные моменты времени. Необходимо использовать среднюю за период мощность . , поэтому . Для постоянного тока . Если ввести действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения, положив и , то выражение для средней мощности примет вид , и при , как и для постоянного тока – . Таким образом, действующее значение силы переменного тока равно силе такого постоянного тока, который за время, равное периоду колебаний тока, выделяет такое же количество теплоты, что и переменный ток.

В формулу для средней мощности входит , который называют коэффициентом мощности. Он определяет, насколько эффективно происходит передача энергии от источника к потребителю.

3) В чём заключается явление резонанса напряжений и резонанса токов в цепи переменного тока. Резонанс напряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура.

Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f, и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f.

В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.

Далее: конденсатор начинает разряжаться на катушку. Напряжение на нем падает с такой же скоростью, с какой уменьшается напряжение на генераторе.

Далее: конденсатор разряжен до нуля, вся энергия электрического поля, имевшаяся в конденсаторе, перешла в энергию магнитного поля катушки. На клеммах генератора в этот момент напряжение нулевое.

Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает уменьшаться, пересекая витки катушки в обратном направлении. На выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор.)

Далее: катушка перезарядила конденсатор до максимального напряжения. Напряжение на генераторе к этому моменту тоже достигло максимального.

Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.

Следовательно, в следующем полупериоде на катушку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на катушке.

Резонанс токов — резонанс, происходящий в параллельном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура.

Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний a, и пусть он подключен к генератору переменного тока такой же частоты f.

В момент подключения конденсатор заряжается от источника. После чего он начинает разряжаться на катушку, причем разряжается с такой же скоростью, с какой убывает напряжение на генераторе. Через некоторое время энергия конденсатора полностью переходит в энергию магнитного поля катушки. Напряжение на клеммах генератора в этот момент равно нулю.

Далее магнитное поле катушки начинает убывать, так как не может существовать стационарно — на выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор. Но ток от генератора не может течь через колебательный контур — как только на клеммах генератора появляется напряжение, точно такое же напряжение появляется на выводах конденсатора вследствие перезаряда его катушкой. Напряжения конденсатора и генератора друг друга компенсируют.

Далее энергия магнитного поля катушки полностью переходит в энергию электрического поля конденсатора. Напряжение генератора в этот момент достигает максимума. Далее конденсатор разряжается на катушку, цикл повторяется в обратном направлении. В результате, в колебательном контуре циркулируют весьма большие токи, но за его пределы не выходят — выходить им мешает точно такое же, только противоположно направленное напряжение на генераторе. Большой ток от генератора течет через контур только короткое время после включения, когда заряжается конденсатор. Далее генератор работает почти вхолостую — как только на его клеммах появляется напряжение, точно такое же противоположно направленное напряжение появляется на конденсаторе и не пропускает ток от внешнего источника через контур.

Электромагнитные волны.

1) Показать, что из уравнений Максвелла следует существование электромагнитных волн. электромагнитные поля определяются путём задания в каждой точке пространства четырёх векторов: а) вектора напряжённости электрического поля ; б) вектора напряжённости магнитного поля ; в) вектора электрического смещения ; г) вектора магнитной индукции . Эти векторы не являются независимыми. Попарно векторы , а также связаны друг с другом с помощью материальных уравнений. Наиболее простой вид материальные уравнения имеют для однородных изотропных сред, относительные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей которых имеют постоянные значения для любой точки наблюдения электромагнитного поля:

Вектора в общем случае зависят как от координат точки наблюдения так и от времени t и могут быть найдены из системы уравнений Максвелла, решениями которой они являются:

В этих уравнениях: - коэффициент удельной электропроводности среды, в которой рассматривается электромагнитное поле, - напряженность электрического поля сторонних источников, - объемная плотность сторонних электрических зарядов; - плотность токов проводимости.

Сторонние токи - такие токи, которые вызываются электрическими полями сторонних источников, причём, их плотность может быть вычислена по формуле: .

Для электромагнитных полей, зависящих от времени из системы уравнений Максвелла следует взаимосвязь изменения их электрических и магнитных полей.

Уравнения системы связывают между собой изменение в пространстве и времени электрического и магнитного полей. Отсюда следует основное свойство зависящих от времени электромагнитных полей, состоящее в согласованности изменения электрического и магнитного поля.

Процесс согласованного изменения электрического и магнитного полей в пространстве и времени, при распространении электромагнитного возмущения из одной точки пространства в другую, получил название электромагнитной волны.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒