Предельный признак сравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Пусть даны знакопеременные ряды . Если существует конечный и отличный от нуля , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

При использовании признаков сравнения (III, IV) в каждом конкретном случае необходимо найти соответствующий вспомогательный ряд, про который точно известно, сходится он или нет. В качестве таких рядов, используемых для сравнения, выбирают обычно:

1) Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при ;

2) Ряд, из элементов геометрической прогрессии сходящийся при и расходящийся при .

Пример 20. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится, т.к. является обобщенным гармоническим рядом при .

Найдем

Ряд сходится, так как сходится ряд .

Предельный признак Коши

Пусть для ряда существует предел

(37)

Тогда

1) при l < 1 ряд сходится;

2) при l > 1 ряд расходится;

3) при l = 1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.

Пример 21. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда имеет вид . Найдем

Следовательно, ряд сходится.

В этом примере был использован второй замечательный предел

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены которых поочередно меняют знак.

Знакочередующийся ряд может быть записан так

(38)

Пусть дан знакопеременный ряд Тогда ряд, составленный из модулей членов данного ряда , является знакоположительным рядом.

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд

Для знакочередующегося ряда имеет место следующая теорема (признак Лейбница):

Если член знакочередующегося ряда (38) удовлетворяет условиям:

1) 2)

то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. .

Определение. Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Исследование знакочередующегося ряда на сходимость начинают с проверки на абсолютную сходимость. Если ряд, составленный из модулей членов ряда, расходится, применяют признак Лейбница.

Пример 22. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Составим ряд из модулей

Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим признак Лейбница:

Оба условия выполняются, следовательно, ряд сходится условно.

IV. Функциональные ряды

Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х.

Определение. Ряд вида

(39)

членами которого являются функции называется функциональным.

Каждому значению соответствует числовой ряд Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд сходится, точка называется точкой сходимости функционального ряда (39).

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.

Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого существует номер , не зависящий от , такой, что

где n-я частичная сумма ряда,

сумма ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам и ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в области .

Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда , а сам функциональный ряд называется в этом случае мажорируемым на множестве .

Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.

Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:

1. (О непрерывности суммы функционального ряда)

Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма непрерывна на .

2. (О почленном интегрировании)

Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке , то его можно почленно интегрировать на любом отрезке , и справедливо неравенство:

причем ряд сходится равномерно на отрезке .

3. (О почленном дифференцировании)

Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции , а ряд сходится равномерно на , то ряд (39) сходится равномерно на , его сумма
- непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:

V. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом по степеням называется ряд вида:

(40)

где - действительные числа, пробегает некоторый интервал.

Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Если то получим ряд по степеням х.

(41)

1. Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно в интервале и сходится равномерно на отрезке , где

Следствие. Если в точке степенной ряд расходится, то он расходится во всех точках , т. к.

Таким образом, всегда существует число R > 0 т. к. степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходятся для всех . В точках ряд может как сходиться, так и расходиться.

Число называется радиусом сходимости, а интервал интервалом сходимости степенного ряда.

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих формул:

Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:

а) b)

Решение.

а)

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒