Теорема существования определенного интеграла

Если функция непрерывна на , то определенный интеграл существует.

Укажем на некоторые свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования .

2.

3. Для любого с, .

Теорема.Если функция непрерывна на , то определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции , то есть

Формула Ньютона - Лейбница

Если - первообразная для непрерывной на функции , то имеет место равенство:

Формула Ньютона - Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.

Примеры.

 

 

 

Формула Ньютона - Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов.

Замена переменных в определенном интеграле

Пусть - непрерывна на . Введем новую переменную по формуле . Пусть , , функции , и непрерывны на . Тогда

Пример.

Положим

 

Интегрирование по частям

Для любых непрерывно дифференцируемых на функций и имеет место равенство:

 

Или в обозначениях

 

Примеры. Вычислить:

 

Несобственные интегралы

Пусть теперь функция определена и непрерывна на бесконечном интервале . Тогда для любого значение интеграла определено и зависит от .

Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от на и обозначается через .

В этом случае говорят, что сходится.

В противном случае, т.е. когда конечного предела для интеграла при не существует, говорят о расходимости несобственного интеграла .

Аналогично, определяются следующие несобственные интегралы для других бесконечных пределов

где с - произвольное число.

Примеры.

1) Вычислить:

2) Установить, при каких интеграл сходится?

Пусть . Тогда

Таким образом,

Значит, если , то , т. е. интеграл сходится.

Если , то , т. е. интеграл расходится.

При a=1, , т. е. интеграл расходится.

3)

Интеграл расходится, т. к. предел не существует.

Пусть теперь функция непрерывна на интервале и . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Таким образом, по определению

 

 

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит разрыв в точке , то полагают

 

Если же функция терпит разрыв во внутренней точке
отрезка , то несобственный интеграл определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Пример. Вычислить, если он сходится, несобственный интеграл

Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом.

Таким образом,

 

т.е. расходится.

 

Важную роль в решении вопроса о сходимости (расходимости) несобственного интеграла играет теорема сравнения:

Если функции и определены на интервале и для некоторого справедливо неравенство то из сходимости интеграла (из расходимости ) следует сходимость интеграла (расходимость ).

Аналогия утверждений справедлива и для других несобственных интегралов.

Пример. Вычислить, сходится или не сходится интеграл

 

 

Здесь ; для всех , справедливо неравенство а сходится, таким образом, по теореме сравнения, будет сходиться интеграл

Некоторые приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской
фигуры

 

Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется как

(2)

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена ниже оси 0х, , то площадь может быть найдена по формуле

(3)

Формулы (2) и (3) можно объединить в одну

 

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то её следует разбить на части по прямым, параллельным оси ; чтобы можно было применить известные формулы.

 

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной
параметрически , прямыми и осью , то площадь находится по формуле

Если уравнение линии задано в полярных координатах (см. рис. 4), то площадь криволинейного сектора определяется по формуле

Примеры.

1) Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривыми и (см. рис. 5).

Находим точки пересечения кривых: , и, значит, .

 

Следовательно

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Сначала найдем площадь части эллипса
(см. рис. 6).

Здесь х изменяется от 0 до , следовательно, изменяется от до 0.

 

Находим, что

 

 

Таким образом, .

2) Вычислить площадь S фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой»:

Найдем вначале площадь половины одного лепестка «розы» (см. рис. 7).

Следовательно,

Длина дуги кривой

Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точка А соответствует значению , точка В соответствует значению
(см. рис. 8) находится по формуле:

Длина дуги АВ кривой L, заданной параметрическими уравнениями

 

 

находится по формуле

Если плоская линия задана уравнением в полярных координатах, то

Примеры.

1) Найти длину окружности (см. рис. 9).

Вычислим длину окружности.

Вначале найдем L/4.

 

 

 

 

Длина окружности

2) Вычислить длину дуги винтовой линии между точками

Поскольку , то

Найти длину кардиоиды

Кардиоида имеет вид (см. рис. 10). Она симметрична относительно полярной оси .

Найдем половину длины кардиоиды L/2:

Длина кардиоиды

 

Объем тела

 

Пусть требуется найти объем V тела, причем известна площадь сечения тела, плоскостями, перпендикулярными к оси то

Пример. Найти объем эллипсоида

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии от неё получим эллипс

Площадь этого эллипса равна

поэтому

Объем тела вращения

 

Объем тела, полученного вращением кривой вокруг оси ох
(см. рис. 11), определяется интегралом

 

Аналогично, вокруг оси 0у.

Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями

 

вокруг оси .

Находим

 

 

Варианты заданий для контрольной работы № 3

Задание 1. Найти неопределенные интегралы.

 

1. В задачах 1 и 2 результат проверить дифференцированием.

2. В задачах 3 и 4 вычислить интегралы по формуле интегрирования по частям.

3. В задачах 5 и 6 проинтегрировать рациональные функции.

4. В задачах 7 и 8 найти интегралы от тригонометрических функций.

5. В задачах 9 и 10 вычислить интегралы, используя подходящую подстановку.

Вариант 1

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 2

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 3

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

 

Вариант 4

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 5

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 6

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8. 9. 10.

 

Вариант 7

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

 

Вариант 8

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 9

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

 

Вариант 10

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10.

Вариант 11

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

 

Вариант 12

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

 

Вариант 13

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

 

Вариант 14

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 15

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 16

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 17

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 18

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 19

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Вариант 20

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. .

Задание 2. Вычислить определенный интеграл

 

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость.

Задание 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.

(вне окружности)

 

Задание 5. Вычислить длину дуги кривой.

.

 

Задание 6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х кривой, заданной уравнениями.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вид управления оптимального по быстродействию, теорема об n-интервалах.
2. ГЛАВА 1 СУЩНОСТЬ И СПЕЦИФИКА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СРЕДСТВА РАЗМЕЩЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ТИПА
3. Два вида монополии на землю, источник, причины и условия существования земельной ренты.
4. Как называется акт, который объявляется в отношении неопределенного круга лиц, виновных в совершении преступления, который смягчает их участь, являясь проявлением гуманности и милосердия?
5. Литературный язык как особая форма существования языка. Особенности литературных языков в различные исторические эпохи.
6. Метод 7. Выработка отсутствия определенного поведения
7. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
8. Общее понятие и формы существования
9. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Геометрический смысл.
10. Освободил разум для самосуществования.
11. Первая основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.
12. Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли