Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26).

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).

Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку , не преобразовывая их в линейные.

Пример 14. Решить задачу Коши

Решение. Разделим уравнение на

Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у', .

Решение ищем в виде:

(см. Замечание),

Подставим и в уравнение получим

Вынесем за скобки u в первой степени

Полагая, что , имеем

Запишем систему уравнений

Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.

Подставим во второе уравнение системы и найдем её общее решение.

Интегрируя левую часть уравнения, получаем

Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью формулы интегрирования по частям

Вычислим:

Окончательно получим

Умножим последнее равенство на (-1) и выразим из него функцию .

Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями у(1) = 1 и найдем .

Подставив с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное решение:

6. Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(27)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть

(28)

Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(29)

Нахождение общего решения уравнения

Если выполняется условие (29), то уравнение (27) может быть записано в виде

Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид

(30)

где - произвольная постоянная.

Функция может быть найдена, используя уравнения (28).

Интегрируя равенство по при фиксированном и учитывая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , получим

(31)

Затем, дифференцируя найденную функцию по и подставляя её в равенство , найдем .

Подставим функцию в уравнение (31), получим , которая является общим интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.

Замечание. Для нахождения общего решения уравнения (27) можно было начать с интегрирования равенства при фиксированном . Тогда постоянная интегрирования может зависеть от .

Пример 15. Решить уравнение

Решение.

Проверим условие (29):

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и решение будет иметь вид:

Воспользуемся условиями (28).

Тогда

Проинтегрируем первое соотношение по х:

Затем продифференцируем по :

Так как , то получим

Отсюда

Пусть

Тогда и общий интеграл уравнения имеет вид

III. Числовые ряды

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность.

Числовую последовательность обозначают

Число называют -м членом последовательности, а формулу - формулой общего члена последовательности.

Числовую последовательность можно рассматривать как числовую функцию, определенную на множестве натуральных чисел.

Пусть задана числовая последовательность

Определение. Выражение вида

(32)

называется числовым рядом, числа - членами ряда, а число - общим (n-м) членом ряда.

Сумма конечного числа первых слагаемых числового ряда называется -й частичной суммой данного ряда

Таким образом, с каждым рядом связана последовательность частичных сумм

(33)

Если последовательность частичных сумм ряда (32) имеет конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число
S - суммой данного ряда:

Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Выражение вида называется n-м остатком ряда (32).

Для того чтобы ряд (32) сходился необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при :

(34)

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то

(35)

Заметим, что из выполнения условия (35) не обязательно следует сходимость ряда (32). Но если условие (35) не выполняется, т. е. предел при
не равен нулю или не существует, то ряд (32) расходится.

Таким образом, можно сформулировать достаточный признак расходимости ряда: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то ряд расходится.

Пример 16. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член данного ряда

Найдем предел при :

Следовательно, данный ряд расходится.

Свойства сходящихся числовых рядов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость.)

Теорема 2. Если ряды и сходятся, и их суммы равны , соответственно, то ряд также сходится и

Теорема 3. Если ряд сходятся, и его сумма равна S, то ряд также сходится и ,

Пример 17. Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии со знаменателем

Исследовать на сходимость ряд

Решение. Найдем сумму первых членов ряда

Учитывая, что найдем предел - ой частной суммы при :

Следовательно, данный ряд сходится при , и его сумма равна .

При ряд имеет вид: а

Тогда поэтому ряд расходится.

При получаем ряд:

Данный ряд расходится, так как последовательность частичных сумм: не имеет предела.

Рассмотрим числовой ряд с неотрицательными членами и сформулируем достаточные признаки сходимости этого ряда.

Интегральный признак Коши

Если неотрицательная, интегрируемая функция на промежутке
монотонно убывает, и члены ряда имеют вид то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.