Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши и вычислим предел

Ряд сходится, если предел меньше единицы, т.е.

Решая полученное равенство, найдем интервал сходимости ряда:

В точках получаем расходящийся ряд

Таким образом, область сходимости степенного ряда интервал , радиус сходимости

Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой

Тогда

Интервал сходимости ряда найдем, решив равенство:

В точке имеем условно сходящийся ряд а в точке - расходящийся гармонический ряд Таким образом, область сходимости данного ряда есть полуинтервал , радиус сходимости .

Замечание. Из теоремы Абеля и свойств равномерной сходимости рядов следует, что на интервале сходимости степенной ряд можно рассматривать как обыкновенный многочлен.

Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале , и пусть . Допустим также, что функция имеет в окрестности точки производные любого порядка. Поставим функции в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку ),

(42)

0! = 1, n! = 1× 2× 3× 4× _{× × ×} × n, n Î N.

Такой ряд называется рядом Тейлора функции в точке .

Если , то ряд Тейлор имеет вид:

(43)

и называется рядом Маклорена.

Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией . Если ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен, то говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности точки .

Заметим, что частные суммы ряда Тейлора

представляют собой многочлены Тейлора функции в точке . Если ряд сходится у функции , справедливо равенство

где - многочлен Тейлора, - остаточный член формулы Тейлора.

Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:

- форма Лагранжа,

- форма Коши.

Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 1.Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки функция разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, чтобы

где - остаточный член формулы Тейлора,

Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для все производные функции , ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции в интервале

Теорема 3.Если степенной ряд по степеням сходится к функции в окрестности точки , то он является рядом Тейлора функции в окрестности этой точки.

Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:

Методы разложения функций в ряд Тейлора

Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что данный ряд сходится к данной функции.

Отметим, что для любой элементарной функции существуют числа , такие, что в интервале она разлагается в ряд Тейлора.

Рассмотрим некоторые методы разложения функций в ряд Тейлора на примерах.

Пример 24.

Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

где - первый член прогрессии, - знаменатель прогрессии.

Тогда при

Пример 25.

Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции

Подставим , получим

Данное разложение имеет место для всех .

Варианты заданий для контрольной работы № 4

Задание 1. Решить дифференциальные уравнения

Задание 2. Решить задачу Коши

Задание 3. Исследовать на сходимость числовые ряды

Задание 4. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда

Задание 5. Разложить данную функцию в ряд Тейлора в данной точке

Задание 6. Разложить в ряд Маклорена, используя известные разложения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Литература обязательная

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1, Т. 2. – М.: Наука, 1985. – 450 с.

2. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 436 с.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980. – 432 с.

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М: Наука, 1977 (и позднее).

5. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М: Высшая школа, 1981. – 687 с.

6. Высшая математика в упражнениях и задачах. Части I, II /
П. К. Данко и др. – М.: Высшая школа, 1980.

7. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. – М.: Наука, 1973.

8. Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред.
Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1972.

9. Ефремова О. Н., Столярова Г. П., Некряч Е. Н. Высшая математика. Ч. II: учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 200 с.

10. Арефьев К. П., Глазырина Е. Д., Ефремова О. Н., Столярова Г. П. Высшая математика. Ч. III.: учебное пособие. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. – 208 с.

11. Кошельская Г. А., Столярова Г. П., Харлова А. Н. Высшая математика. Часть IV. Ряды: учебное пособие. - Томск. Изд. ТПУ, 2001.

12. Нагорнова А. И., Столярова Г. П. Высшая математика. Часть III: Рабочая тетрадь к типовому расчету «Неопределенный интеграл» для студентов технических специальностей института дистанционного образования. – Томск: Изд. ТПУ, 2000.

13. Кан Ен Хи, Пестова Н. Ф., Подскребко Э. Н. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учебное пособие. – Томск: ТПУ, 1999.

14. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. - М.: Высшая школа, 1989.

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ II

Рабочая программа, методические указания и
варианты заданий контрольных работ № 3 и № 4

Составители:

Оксана Николаевна Ефремова

Евгения Александровна Молдованова

Валентина Ивановна Рожкова

Ольга Владимировна Рожкова

Светлана Владимировна Рожкова

Галина Михайловна Матвеенко

Никольская Галина Аиповна

Под редакцией Э. М. Кондакова

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78