Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 – n = {0, B, C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

(8.3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и

Перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости (α ₁ и α ₂) заданы общими уравнениями вида:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n ₁={A₁, B₁, C₁) и n ₂={A₂, B₂, C₂). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α ₁ и α ₂равен

(8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0. (8.6)

Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М₁(х₁, у₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М₁М₂ ={x₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁}, М₁М₃ ={x₃- x₁, y₃- y₁, z₃- z₁}и М₁М ={x - x₁, y - y₁, z - z₁}, где М(x, y, z) – произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

(8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

(8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

, (8.9)

где x₀, y₀, z₀ – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.

Прямая в пространстве.

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, где коэффициенты A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ не пропорциональны:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (8.10)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) параллельно вектору a ={l, m, n}.

Определение 8.1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x, y, z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = {x - x₀, y - y₀, z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а . Поэтому имеют место равенства:

(8.11)

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ = {x₂– x₁, y₂- y₁, z₂- z₁}, и уравнения (8.11) принимают вид:

- (8.12)

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

. (8.13)

Для того, чтобы перейти от уравнений (8.10) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [ n₁n₂ ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Пример. Составим канонические уравнения прямой

Найдем [ n₁n₂ ]. n₁ = {2, 1, -3}, n₂ = {1, -5, 4}. Тогда [ n₁n₂ ] = {-11, -11, -11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1, 1, 1}.

Будем искать точку на прямой с координатой z₀=0. Для координат х₀ и у₀ получим систему уравнений , откуда х₀=2, у₀=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

1 2 3 456