Случайные события, их классификация и действия над ними

Под испытанием будем понимать реализацию комплекса условий. Эту реализацию называют также опытом. Классическим примером испытания в теории вероятностей является извлечение шара из урны, содержащей большое число шаров.

Явление, возникшее в результате испытания, называется исходом испытания, или событием. События обозначаются буквами .

События бывают трех типов:

1. Одни из них неизбежно возникают при каждом испытании данного вида. Это достоверные события .

2. Другие, наоборот, никогда не появляются. Это невозможные
события .

3. События третьего типа характеризуются тем, что они в данном испытании могут произойти, а могут и не произойти. В каких случаях они произойдут, а в каких нет – заранее сказать нельзя. Такие события называются случайными.

События бывают простые и сложные. Простое событие не разлагается на другие.

Сложные события представляют собой комбинации простых событий. Если наступление события обязательно влечет за собой наступление события , то событие является сложным.

События бывают совместными и несовместными. Два или более событий называются совместными, если они могут одновременно наступить при осуществлении одного испытания. Иными словами, это события, которые содержат одни и те же простые события. Например, событие состоит из событий ; событие – из , то события и будут совместными, поскольку в каждое из них входит событие .

Несовместными называют такие события, которые не могут наступить одновременно при одном опыте, т.е. они не содержат ни одного общего события. Если событие состоит из событий ; а событие – из таких, что ни одно из событий в не совпадает с событиями из , то события и – несовместные.

Назовем суммой событий и такое событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий ( или ). Определение суммы распространяется на любое число слагаемых.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и будем называть произведением событий и и обозначать или .

Событие, которое наступает тогда и только тогда, когда событие не наступает называется противоположным событию и обозначается .Из определения следует, что два события противоположны тогда и только тогда, когда они несовместимы: сумма их образует вcе выборочное
пространство, т. е.

Разностью двух событий (или ) называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и не наступает

Графическая интерпретация соотношений между событиями:

Полной группой событий называется совокупность событий такая, что в результате опыта наступит одно и только одно из этих событий.

Пример 1.

Доказать, что .

Решение.

Пусть – исход опыта, благоприятствующий наступлению , следовательно благоприятен наступлению и и , следовательно благоприятствует наступлению хотя бы одного события и и и обязательно благоприятствует , но тогда благоприятствует наступлению события .

Аналогично, пусть – благоприятствует наступлению , тогда благоприятствует хотя бы одному из событий и , следовательно, благоприятствует и хотя бы одному из и , тогда благоприятствует .

Итак, множество исходов опыта, благоприятствующих наступлению событий и , совпадает, следовательно, .

Задачи на классическое определение вероятности.

Геометрическая вероятность

Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события.

Если, в частности, множество состоит из равновозможных элементарных событий, то вероятность

где – число благоприятных исходов , – число всех всевозможных исходов (классическое определение вероятности).

Пример 1.

В ящике 5 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 5. Вынулиодин шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 5.

Решение.

Так как номер шара не превышает 5, то число случаев, благоприятных событию , равно числу всех случаев . . – событие достоверное.

Пример 2.

Бросают две игральные кости. Какое событие более вероятно: сумма очков на выпавших гранях равна 11 или сумма очков на выпавших гранях равна 4?

Решение.

Поставим в соответствие исходу эксперимента упорядоченную пару чисел , где – число очков выпавших на первой кости, а – на второй.

Пространство всех элементарных событий состоит из множества пар , где и принимают значения от 1 до 6. Число таких пар 36. Событию , состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна 11, благоприятны два элементарных события и . Событию , состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях равна 4, благоприятны три элементарных события, которым соответствуют , , .

;

и, следовательно, событие более вероятно.

Пример 3.

Из 15 строительных рабочих 10 штукатуров, а 5 – маляры. Наудачу отбирается бригада 5 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будет 3 маляра и 2 штукатура?

Решение.

Пространство элементарных событий состоит из различных выборок по 5 из 15. Число таких выборок равно . Благоприятным событиям соответствуют выборки, содержащие трех маляров и двух штукатуров.

Трех маляров из пяти можно выбрать способами, а двух штукатуров из десяти . Следовательно, число выборок, соответствующих благоприятным событиям, равно .

Таким образом .

При классическом определении вероятности не всегда можно определить числа и для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно воспользоваться формулой не удается.

Например, пусть линия электропередач, соединяющая пункты и , в результате бури оборвались. Какова вероятность того, что обрыв произошел на участке, заключенном между пунктами и , принадлежащем отрезку ? Множество элементарных событий в данном случае бесконечно, так как обрыв возможен в любой точке . При этом естественно предполагать, что вероятность обрыва на любом участке пропорциональна длине этого участка. Так как вероятность обрыва на всем равна 1, вероятность обрыва на выразится

Геометрическое определение вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.)

Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через , то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область - часть области , равна

Пример 3.

Наудачу выбираются два действительных числа , . Найти вероятность того, что .

Решение.

Поставим в соответствие паре чисел и точку на плоскости .

Пространство элементарных выборок будет квадрат, двумя сторонами которого являются единичные отрезки осей координат.

Фигура, множество точек которой соответствует исходам, благоприятным событию , ограничена графиками функций , , . Ее площадь , а площадь квадрата равна единице.

4. Вычисление вероятностей сложных событий.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

Теорема 1. (Сложения вероятностей)

Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Вероятность суммы несовместных событий рвана сумме их вероятностей, т.е.

Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий: .

События и называются независимыми, если вероятность не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события зависит от того, произошло или не произошло событие .

Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место, называется условной вероятностью .

Теорема 2. (Умножения вероятностей)

Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного их этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое наступило:

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Обобщенная теорема умножения:

Вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 1.

Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка − 0, 75; для второго − 0, 3; для третьего − 0, 9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

Решение.

Пусть событие – первый стрелок попал в цель; событие – второй стрелок попал вцель; событие – третий стрелок попал в цель;

– все три стрелка попадут в цель.

Пример 2.

Идет бомбардировка трех складов боеприпасов. Сбрасывают одну бомбу. Вероятность попадания в первый склад равна 0, 01; во второй равна 0, 008; в третий − 0, 025. При попадании в любой их них взрываются все. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение.

Событие – взрыв складов; – попадание в первый склад; – попадание во второй склад; – попадание и третий склад.

, так как несовместны, то:

Пример 3.

Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение.

Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна .

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна .

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна .

Так как события , и независимы, то искомая вероятность события (по теореме умножения) равна

Пример 4.

Вероятности появления каждого из трех независимых событий , , соответственно равны , , Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение.

Заметим, что, например, появление только первого события , равносильно появлению события (появилось первое и не появились второе и третье события).

Обозначим: – появление только события , т.е. ;

– появление только события , т.е. ;

– появление только события , т.е. .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий , , , воспользуемся теоремой сложения несовместных событий: .

Определим вероятности каждого из событий .

События , , – независимы, поэтому

, , ,

и тогда

Пример 5.

Вероятность попадания в цель при стрельбе изтрех орудий соответственно равны , , . Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие ) при одном залпе из всех орудий.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий.

Рассмотрим события;

– попадание первым орудием;

– попадание вторым орудием;

– попадание третьим орудием.

; ; ; ; ; ;

Пусть событие – хотя бы одно попадание, а – ни одрого попадания, тогда .

Событие , тогда .

и .

Пример 6.

Из урны, содержащей белых и черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что они будут разных цветов?

Решение.

Представим событие , состоящее в том, что вынуты шары разных цветов, в виде , где событие состоит в том, что первый
шар − белый, а второй − черный, событие состоит в том, что первый шар − черный, а второй − белый. Так как события и несовместны, то .

Тогда .

Аналогично , .

Ответ: .

Пример 7.

Бросаются две монеты. Рассматриваются события: – выпадение герба на первой монете, – выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события .

Решение.

Так как и – несовместны, то

или через противоположное событие .

Пример 8.

Система состоит из двух дублирующих блоков , и управляющего устройства – блока .В случае исправности блока работает блок ; если блок выходит из строя, управляющее устройство включает блок . Если блок не исправен, то он не включает блок . Известны вероятности блоков , . Найти надежность системы, если блоки независимые.

Решение.

Обозначим – события, состоящие в том, что блоки и система соответственно исправны.

1 решение. Система будет исправна, если исправен или блок или оба блока и , или все три блока.

Тогда , ,

2 решение. Воспользуемся понятием противоположного события. Система неисправна, если неисправен блок и хотя бы один из блоков или , т.е.

; ; ;

;

Пример 9.

Среди 12 аппаратов четыре первого тина и восемь второго. Случайным образом из них выбирают три аппарата последовательно (без возвращения). Найти вероятность того, что при первом и третьем будут выбраны, аппараты второго типа, а вторым – аппарат первого типа.

Решение.

Пусть – выбран первый аппарат, – выбран второй аппарат, – выбран третий аппарат.

По классической формуле определим , т. е. первый аппарат второго типа; , т.е. второй аппарат первого типа, а всего аппаратов осталось 11; , т. к. третий аппарат второго типа, а их осталось 7, и всего аппаратов 10.

123 4 5