Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Указатель основных обозначений и возможных сокращений.



 

x Î X – элемент х принадлежит множеству Х

x Ï X – элемент х не принадлежит множеству Х

х – для любого х

х – существуеттакое х

(x; y) – упорядоченная пара чисел

(x; y; z) – упорядоченная тройка чисел

- вектор

- длина вектора

{x; y; zy} – координаты вектора

пр.u проекция вектора AB на ось u

- скалярное умножение и

- векторное произведение и

- смешанное произведение , ,

- отрезок

- интервалы

- полуинтервалы

- числовой ряд

- функция переменной х

- функция двух переменных.

- Предел функции при

- Бесконечно малые велечины эквивалентны

- Дифференциал функции

- Производная функции в точке х

- Производные второго, третьего, N-нного порядка

- Частная производная функции

- Смешанная частная производная второго порядка

- Неопределенный интеграл

Определенный интеграл

Двойной интеграл по области G

- Тройной интеграл по области V

- Градиент функции

- Прямые пересекающиеся в точке М

- Прямые a b параллельны

- Прямые a b перпендикулярны

- Прямые a b скрещивающиеся.

- обозначение плоскостей

- факториал n=1*2*3*…*n

- комплексное число, где и а, b - действительные числа тригонометрическая форма комплексного числа, где .

 

Метод координат.

В аналитической геометрии геометрические объекты – кривые и поверхности – изучаются при помощи алгебры. В основе такого изучения лежит метод координат, при котором положение точки на прямой плоскости или в пространстве определяется соответственно одним, двумя или тремя числами, координатами этой точки, а каждой кривой или поверхности соответствует одно или несколько уравнений, связывающих координаты всякой точки им принадлежащей.

M (3; 4)
M (1; 3; 2, 5)
M 2, 5
Подставим в уравнение.

½ =1/2*12(u) координаты точки M удовлетворяют уравнению y=(1/2)*x2

Определение. Абсциссой точки называют расстояние этой точки до оси (OY). Абсцисса положительна, если точка расположена справа от оси (OY), отрицательна, если точка слева от оси (OY).

Определение. Ординатой точки называют расстояние этой точки до оси (OX). Ордината положительна, если точка расположена выше оси (OX), отрицательна, если точка ниже оси (OX).

Расстояние между двумя точками на плоскости.

 



Деление отрезка в заданном соотношении.

Выберем точку О произвольно и зададим векторы:

Выразим вектор через и .

 

 

 

Из (2) подставим в (1)

Из имеем

из (4) – в (3)

 

(5)

поместим рисунок в систему координат так, чтобы точка О стала центром системы, тогда , координаты точки - неизвестны. Т.к. начало векторов ОА, ОВ, ОС – находятся в начале координат, то эти векторы называются радиус-векторами точек А, В, С (соответственно), тогда

Равенство (5) является векторной формулой деления отрезка в данном отношении.

Чтобы получить координатные формулы необходимо подставить в (5) из (6) одноименные координаты.

*

 


Формулы координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении (считая от А к В)Если отрезок АВ разделить точкой С на два равных отрезка, то

       
 
   
**
 

 


Задача 1

Найти центр тяжести треугольника. Центр тяжести треугольника находиться в точке пересечения медиан. Находим координаты точки М1 из условия:

         
   
 
 
 

 

 


Медианы в точке пересечения делятся в отношении

(от В к М1)

 

 
 

 

Задача 2. До какой точки надо продлить отрезок АВ(от А к В) чтобы длина его стала в четыре раза больше прежней.

 

 


Задача 3.

М1 (2; -1)М2 (-1; 3) М3 (-4; 2) есть координаты середины сторон треугольника. Найти координаты вершин треугольника.

Пусть

Тогда по формулам **

 
 

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

а11 а12 а21 а22
Определение: Выражение

 

= а11•a22-a21•a12 – называется определителем второго порядка.

 

а11, a12 – элементы первой строки

a21, a22 – элементы второй строки.

a11, a21 – элементы первого столбца

a12, a22 – элементы второго столбца

a11, a22 – элементы главной диагонали

a12, a21 – элементы побочной диагонали.

Определители обладают рядом свойств.

 

Определители третьего порядка.

Выражение вида:

 
 
а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33


=a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a21 a32 a13 – a31 a22 a13 - a21 a12 a33 – a32 a23 a11.

 

Теорема.

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические заполнения.

Определитель n-го порядка. Вычеркнем мысленно j – строку и i – ый столбец. На пересечении будет элемент aij, оставшийся определителем n-1 порядка умноженный на (-1)i+j будет называться алгебраическим дополнением элемента aij, и обозначается Аij. А оставшийся определитель n-1 порядка называется минором (Mij) элемента, aij. И тогда: Aij=(-1)i+j Mij.

Пример.

а11 а12 а13 а21 а22 а23 а31 а32 а33
Разложить определитель по элементам первой строки.

 
 


=

 

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Определение вектора, действия над векторами, виды векторов, способы задания векторов на плоскости и в пространстве аналогичны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Векторы, принадлежащие одной плоскости после сведения их к одному началу, называются компланарными.

{ ; ; } d Þ , , - компланарны

d, следовательно.

и

и - не компланарны

и

Определение: Векторы , , единичные и взаимно перпендикулярные образуют прямоугольную систему координат пространства (x; y; z).

М (x; y; z) – упорядоченная тройка чисел.

Z –аппликата точки М.

Во всех формулах, полученных в лекции №1, добавляется третья координата.

1. = {x2-x1; y2-y1; z2-z1} – координаты вектора, если А (x1; y1; z1); B (x2; y2; z2).

2. = - формула длины вектора.

=0

 

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ

Определение: Уравнение с двумя неизвестными f(x; y)=0 являются уравнением линии, тогда и только тогда, когда координаты всех точек этой линии удовлетворяют уравнению этой линии, а координаты точек не принадлежащих этой линии не удовлетворяют уравнению.

х22=25 т. М1(3; 4) – удовлетворяют уравнению, значит точка М1 – принадлежит графику М2 (2; -1) – не принадлежит линии.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Прямая линия есть простейшая из кривых на плоскости. Задав на плоскости систему координат, положение любой прямой на координатной плоскости можно определить различными способами, т.е. при помощи различных параметров. В зависимости от выбора этих параметров, определяющих положение прямой на плоскости, мы получим несколько видов уравнений прямой, которые будут полезны при решении различных типов задач.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 554; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.052 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь