Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.



Монотонность функции.

y=f(x) называется возрастающей (вверх), если большему значению аргумента соответствующей большее значение функции x2> x1 y2> y1. x2-x1= x> 0 y2-y1= y> 0, значит > 0. в Точке М1 и М2 касательные образуют d1 и d2 – острые с осью (ох), следовательно tg d> 0 Kкас> 0 y/> 0.

Значит функция у=f(x) (вверх) на некотором промежутке тогда и только тогда, когда производная этой функции на этом промежутке значений х положительна. y=f(x) y/> 0 на [a; в].

y=f(x) называется убывающей (вниз), если большему значению аргумента соответствующей большее значение функции x2> x1 y2< y1. x2-x1= x> 0 y2-y1= y< 0, значит < 0. в Точке М1 и N2 касательные образуют 900< d< 1800, значит tg d< 0 y/< 0.

Аналогично делаем вывод и для убывающей функции. y=f(x) y/< 0 на [a; в].

Экстремумы функции.

а) б)

 

в) г)

Точка х=х0 называется точкой максимума непрерывной функции у=f(x), а значение f(x0) называется максимумом этой функции или соответствует некоторая окрестность точки х0 [то есть промежуток (x0-б; х0+б)], такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше, чем ее значение в самой точке х0, то есть меньше, чем максимум f(x0).

Аналогично т. х0 – точка минимума, а f(x0) – минимум функции, если f(x0+ x)> f(x0) при | x |< б.

Теорема Ферма.

Если функция у=f(x) непрерывна в промежутке (а; в), в некоторой точке х0 этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке (а) и в) рис.), то ее производная в этой точке равна нулю.

На рисунках а) в) у/(х0)=0, значит касательная, проведенная к графику этой функции в точке М0 будет параллельная оси (ох). На рисунке а) слева от точки М0 у=f(x) (вверх), с права вниз. На рисунке в). Слева от точки М0 у=f(x) (вниз), а справа вверх. Аналогично 1) и 2) ведет себя функция и на рисунках соответственно б) и г), с одной лишь разницей, чем в точках х0 функция не дифференцируема, так как касательная в точке М0 перпендикулярна оси ох.

Из этих рассуждений можно составить первое правило нахождения экстремума функции и исследовании ее на монотонность.

Правило исследования функции у=f(x) с помощью первой производной.

Пусть дана функция у=f(x).

1. Найдем у/.

2. Найдем корни у/, или точки, в которых у/ - не существует. Эти точки называются критическими точками первого рода.

3. Расположим критические точки на числовой прямой (в порядке возрастания) и проверим знак производной в каждом полученном промежутке значений х.

 

В точке x1, x3 y/=0, а в точках x2, x4, x6. – не , в точках x1, x3 касательная параллельна оси ОХ, в остальных критических точках параллельная оси ОХ (рис. 2) и (рис. б)). В точке х3 смены знака производной не произошло, значит в этой точке экстремума нет, но график делает «горизонтальный» перегиб, аналогично в точке х6 только «вертикальный» перегиб.

Если сделать схематичный рисунок графика, то он будет выглядеть примерно так:

В точках M2, M4, M5 – иногда называют экстремумы «пиками» минимум – пика, максимум пика. А перегибы в токах М3 и М6 – перегиб – «колено».

Когда касательная в токах М3 и М6 параллельна оси ОХ или оси ОУ.

Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

В прикладных задачах чаще требуется найти не экстремум изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Возможны следующие случаи:

а) На [a1; в1] у=f(x) монотонна. Значит она принимает наибольшее и наименьшее значения на концах интервала.

б) На [a2; в2] y=f(x) достигает max или min. Следовательно экстремум может стать наибольшим или наименьшим значением. Следовательно надо выбирать из значений f(a2); f(x1); f(в2). Наибольшее и наименьшее.

в) На [a3; в3] у=f(x) имеет несколько экстремумов. Необходимо найти эти значения функции. А также значения на концах интервала и выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Из всего сказанного можно получить правило. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на [a; в] Необходимо:

1. Найти у/

2. Найти у/=0 или у/ - не существует, то есть критические точки первого рода

3. Выбрать среди них только те, которые входят в [a; в]

4. Найти значения функции в выбранных критических токах и на концах интервала

5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения

6. Записать ответ.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 538; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.011 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь