ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

Монотонность функции.

y=f(x) называется возрастающей (вверх), если большему значению аргумента соответствующей большее значение функции x₂> x₁ y₂> y₁. x₂-x₁= x> 0 y₂-y₁= y> 0, значит > 0. в Точке М₁ и М₂ касательные образуют d₁ и d₂ – острые с осью (ох), следовательно tg d> 0 K_кас> 0 y^/> 0.

Значит функция у=f(x) (вверх) на некотором промежутке тогда и только тогда, когда производная этой функции на этом промежутке значений х положительна. y=f(x) y^/> 0 на [a; в].

y=f(x) называется убывающей (вниз), если большему значению аргумента соответствующей большее значение функции x₂> x₁ y₂< y₁. x₂-x₁= x> 0 y₂-y₁= y< 0, значит < 0. в Точке М₁ и N₂ касательные образуют 90⁰< d< 180⁰, значит tg d< 0 y^/< 0.

Аналогично делаем вывод и для убывающей функции. y=f(x) y^/< 0 на [a; в].

Экстремумы функции.

а) б)

в) г)

Точка х=х₀ называется точкой максимума непрерывной функции у=f(x), а значение f(x₀) называется максимумом этой функции или соответствует некоторая окрестность точки х₀ [то есть промежуток (x₀-б; х₀+б)], такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше, чем ее значение в самой точке х₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀).

Аналогично т. х₀ – точка минимума, а f(x₀) – минимум функции, если f(x₀+ x)> f(x₀) при | x |< б.

Теорема Ферма.

Если функция у=f(x) непрерывна в промежутке (а; в), в некоторой точке х₀ этого промежутка достигает максимума (или минимума) и дифференцируема в этой точке (а) и в) рис.), то ее производная в этой точке равна нулю.

На рисунках а) в) у^/_(х0)=0,значит касательная, проведенная к графику этой функции в точке М₀ будет параллельная оси (ох). На рисунке а) слева от точки М₀ у=f(x) (вверх), с права вниз. На рисунке в). Слева от точки М₀ у=f(x) (вниз), а справа вверх. Аналогично 1) и 2) ведет себя функция и на рисунках соответственно б) и г), с одной лишь разницей, чем в точках х₀ функция не дифференцируема, так как касательная в точке М₀ перпендикулярна оси ох.

Из этих рассуждений можно составить первое правило нахождения экстремума функции и исследовании ее на монотонность.

Правило исследования функции у=f(x) с помощью первой производной.

Пусть дана функция у=f(x).

1. Найдем у^/.

2. Найдем корни у^/, или точки, в которых у^/ - не существует. Эти точки называются критическими точками первого рода.

3. Расположим критические точки на числовой прямой (в порядке возрастания) и проверим знак производной в каждом полученном промежутке значений х.

В точке x₁, x₃ y^/=0, а в точках x₂, x₄, x_6.– не , в точках x₁, x₃касательная параллельна оси ОХ, в остальных критических точках параллельная оси ОХ (рис. 2) и (рис. б)). В точке х₃ смены знака производной не произошло, значит в этой точке экстремума нет, но график делает «горизонтальный» перегиб, аналогично в точке х₆ только «вертикальный» перегиб.

Если сделать схематичный рисунок графика, то он будет выглядеть примерно так:

В точках M₂, M₄, M₅ – иногда называют экстремумы «пиками» минимум – пика, максимум пика. А перегибы в токах М₃ и М₆ – перегиб – «колено».

Когда касательная в токах М₃ и М₆ параллельна оси ОХ или оси ОУ.

Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

В прикладных задачах чаще требуется найти не экстремум изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Возможны следующие случаи:

а) На [a₁; в₁] у=f(x) монотонна. Значит она принимает наибольшее и наименьшее значения на концах интервала.

б) На [a₂; в₂] y=f(x) достигает max или min. Следовательно экстремум может стать наибольшим или наименьшим значением. Следовательно надо выбирать из значений f(a₂); f(x₁); f(в₂). Наибольшее и наименьшее.

в) На [a₃; в₃] у=f(x) имеет несколько экстремумов. Необходимо найти эти значения функции. А также значения на концах интервала и выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Из всего сказанного можно получить правило. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на [a; в] Необходимо:

1. Найти у^/

2. Найти у^/=0 или у^/ - не существует, то есть критические точки первого рода

3. Выбрать среди них только те, которые входят в [a; в]

4. Найти значения функции в выбранных критических токах и на концах интервала

5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения

6. Записать ответ.

Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая