Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Площадь треугольника не зависит от выбора пары векторов



Sтреугольника= |AB*AC| = |BA*BC| = |CA*CB|.

 

Тема: КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

К кривым второго порядка относятся эллипс, окружность, гипербола, парабола. Кроме того, в некоторых случаях уравнение второй степени может определить две прямые, точку и мнимое геометрическое место. Все эти линии являются частными случаями уравнения второй степени с двумя неизвестными.

Ах2+Ву2+Сху+Dх+Еу+F=0 (*)

Окружность.

Окружностью называется множество точек плоскости расстояние от каждой из которых до точки, называемой центром, есть величина постоянная, называемая радиусом окружности.

Пусть точка О10; y0), М(х; у) – принадлежит окружности, тогда по определению |O1M|=r – это есть векторное уравнение окружности.

O1M {x-x0; y-y0} |O1M| = = r.

(x-x0)2+(y-y0)2=r2

Если М1 (0; у0), то окружность с центром в этой точке имеет уравнение:

х2+(y-y0)2=r2 – (ω 1).

Если М20; 0), то (х-х0)22=r2 - (ω 2)

Если О (0; 0), то х22=r2 – (ω 3).

 

Покажем, что при условии А=В и С=0 уравнение * есть уравнение окружности.

Ах2+Ау2+Dх+Еу+F=0 |: A

x2+y2+ x+ y+ =0

(x2+2 x+ )+(y2+2 y+ ) = - + +

(x+ )2+(y+ )2 = ( )2 – это есть окружность с центром в точке

М0 (- ; - ) и r= .

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых, до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная большая, чем расстояние между фокусами.

|F1M| + |FM|=2a – векторное уравнение.

2a> 2c

|FF1|=2c, следовательно F1(-c; 0), F(c; 0), M(x; y).

|F1M| =

|FM| =

+ =2a

Избавимся от иррациональности и введем величину в222.

 

Тогда получим уравнение + =1, где в222.

А1; А – вершины эллипса А1 ; А( а; 0)

В1 ; В - вершины эллипса В1 ; В (0; в).

F1 ; F – фокусы эллипса F1 ; F( c; 0)

1A|=2a – большая ось эллипса.

|BB1|=2в – малая ось эллипса.

|FF1|=2c – фокусное расстояние эллипса.

--
фокальные радиусы точки М. r1+r=2a    
|F1M|=r1

|FM|=r

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси его.

e= = = e= , так как а> c, то 0 e 1.

Если е 1, то с а, следовательно в 0 – эллипс сужается к оси(ОХ).

Если е 0, то с 0, следовательно в а – эллипс стремится занять положение окружности.

Если е=0, то с=0, следовательно в=а, + =1, где а222.

х222 и с=0, следовательно F1=F=0 – центр окружности.

Окружность – есть честный вид эллипса при условии, что, а=в.

Если фокусы находятся на оси (ОУ), то уравнение + =1, где а222.

е= = e= .

A1(- ; 0)
Если центр эллипса смещен в т. М00; у0),

то уравнение эллипса будут:

+ =1, в2=a22, - на (ОХ).

+ =1, а2= в22, - на (ОУ).

 

 

Пример №1.

+ =1. Найти все элементы эллипса.

a2=64, в2=36, в222 с222=64-36=28

а=8; в=6; с=2

А; А1 ( 8; 0); B; B1 (0; 6); F; F1( 2 ; 0).

Ответ.
|AA1|=2a=16; |BB1|=2в=12; |FF1|=2c=4

e = = = =

Пример №2.

Составить уравнение эллипса, если большая ось равна 50, фокусы находятся на оси (ОУ) и е = 0, 6.

Так как F1F находятся на оси (ОУ), то:

+ =1, где а222, e= .

|BB1| - большая ось эллипса 2в=50 в=25.

=0, 6 с=0, 6· 25 с=15; a2=252-152=500.

Получим + =1 – ответ.

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых, до двух точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

||F1M|-|FM||=2a, 2a< 2c |FF1|=2c - Векторное уравнение гиперболы.

Аналогично выводу уравнения эллипса. При условии, что

в2= с22. + =1, где в2= с22.

A; A1( a; 0) – вещественные вершины гиперболы.

|AA1|=2a – вещественная ось гиперболы.

B; B1 (0; в) – мнимые вершины гиперболы.

|BB1|=2в – мнимая ось гиперболы.

F; F1( с; 0) – фокусы.

|FF1|=2c – фокусное расстояние.

(МР) и (NQ) - асимптоты гиперболы.

У= ·х – уравнение асимптот гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния и длина вещественной оси гиперболы.

е = = е = , так как a< c, тоe> 1.

Если е , то с , в , т. е. ветви гиперболы расширяются.

Если е 1, то с а, в 0, т. е. ветви гиперболы сужаются.

y
Если в=а, то + =1, где а222,

x2-y2=a2(уравнение равносторонней гиперболы), где с2=2а2 с=а

e = = =

e=

(MN); (NQ): y= 1·x – уравнение асимптот.

Сопряженная гипербола.

Если фокусы гиперболы находятся на оси (ОУ), гипербола называется сопряженной. - =-1,

где а2= с22,

|AA1|=2a – мнимая ось.

|BB1|= – вещественная ось.

F; F1; 0(0; с), (MP) и (NQ) – асимптоты.

у= x. е = = е = , е=

 

 

Пример №1.

Найти все элементы гиперболы.

- =-1 – это сопряженная гипербола, следовательно. a2=c22

a2=36; в2=64; с2= a22=36+64=100;

а=6, в=8, с=10, тогда.

 

В, В1(0; +8); А, А1( 6; 0); F, F1 (0; 10)

|BB1|=16; |AA1|=12; |FF1|=20 Ответ.

y= ·х= х; е= = =

Пример №2.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= ·х и она проходит через точку М1(6; -4).

Решение: так как у= ·х = .

Так как точка М1 принадлежит гиперболе, то координаты точки удовлетворяют уравнению гиперболы.

- =1 - =1.

Уравнения и мы решаем системой.

a2=12; в2=8, тогда - =1 – ответ.
=

- =1

ПАРАБОЛА.

Параболой называется множество точек плоскости расстояние от каждой из которых до точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, равны между собой.

Расстояние от фокуса до директрисы |FK|=P и называется параметром параболы.

 

N(- ; y). NM {x+ ; 0}. FM {x- ; y}.

|NM| = ; |FM| =

=

Избавившись от корней и, выполнив алгебраические преобразования, получим у2=2рх. Ветви этой параболы направлены вправо, вершина в точке О (0; 0).

 

 

 
 
y2=-2px (Ox) – ось симметрии

 


 


Парабола со смещенной вершиной.

Пусть вершиной параболы будет точка А (х0; у0).

|KF|=P, точка А делит |KF| напополам. у=у0 – ось симметрии F(x0+ ; у0) директриса будет иметь уравнение: х=х0- .

Уравнение параболы (у-у0)2=2р(х-х0).

Уравнения остальных парабол со смещенной вершиной будут выглядеть так:

(у-у0)2=-2р(х-х0) – ось симметрии || (ОХ), ветви направлены влево.

(x-x0)2= 2р(y-y0) – ось симметрии || (ОУ), ветви направлены вверх, если (+), вниз, если (-).

 

Пример №1.

Так как у2, то ветви будут направлены влево или вправо, следовательно приведем к виду (у-у0)2=2р(х-х0)
Найти все элементы параболы.

у2-8у-8х-8=0

у2-8у=8х+8

у2-2·4·у+42=8х+8+42

(у-4)2=8х+24

(у-4)2=8(х+3) А (-3; 4) 2p=8 =2

F(-3+2; 4)=(-1; 4), x=-3-2=-5. x=-5 – директриса,

у=4 – ось симметрии ветви параболы вправо.

 

 

 

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ.

Матрицы.

Определение: Таблица, составленная из чисел, вида

а11 а12 а13 …..a1n

А= a21 a22 a23 …..a2n называется матрицей

………………….

am1 am2 am3….amn

 

Коротко матрица записывается А=(аij) (i=1, 2…m; j=1, 2, …n);

Если m=n, то матрица называется квадратной

Если m n, то матрица называется прямоугольной

Если m=1, n> 1, то А=(a1 a2 a3 …an) – односторонняя матрица

а1

а2

Если m> 1, n=1, то А=.. - одностолбцовая матрица

..

am

Действия над матрицами.

Сложение матрицы с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов можно складывать.

Причем: аij вij=cij (i=1, 2…m; j=1, 2, …n);

А В=С

Пример.

2 3 4 -1 4 -2 2+(-1) 3+4 4+(-2)

5 7 -1 + 3 -1 0 = 5+3 7+(-1) -1+0 =

8 9 -5 -5 3 2 8+(-5) 9+3 -5+2

 
 


1 7 2

= 8 6 -1

3 12 -3

 

Умножение на число.

А= ∙ (аij) (i=1, 2…m; j=1, 2, …n);

При умножении матрицы на число, все ее элементы умножаются на это число.

Пример.

2 3 4 2∙ 5 3∙ 5 4∙ 5 10 15 20

5∙ 5 7 -1 = 5∙ 5 7∙ 5 -1∙ 5 = 25 35 -5

8 9 -5 8∙ 5 9∙ 5 -5∙ 5 40 45 -25

 

Умножение матриц.

Произведением матрицы А=(aij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(вij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=(сij), имеющая m строк и n столбцов, у которого элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, то есть сij=ai1∙ в1j+ai2∙ в2j+…+aik∙ вkj, (i=1, 2…m; j=1, 2, …n).

Причем k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение неопределено.

Пример.

1 3 -4

2 3 4 5 -3 2 =

5 6 7 -2 4 3

       
   


=
=
2∙ 1+3∙ 5+4∙ (-2) 2∙ 3+3∙ (-3)+4∙ 4 2∙ (-4)+3∙ 2+4∙ 3 9 13 10

5∙ 1+6∙ 5+7∙ (-2) 5∙ 3+6∙ (-3)+7∙ 4 5∙ (-4)+6∙ 2+7∙ 3 21 18 13

Определение: Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единицы, называются единичной матрицей и обозначается Е.

1 0 0.. 0

Е =
0 1 0.. 0 Она обладает свойством А∙ Е=А, если

…………………………..

0 0 0.. 1

А – квадратная и Е – квадратная с тем же количеством строк и столбцов что и А

.

Каждой матрице соответствует свой определитель ( ДЕТЕРМИНАНТ ).

a1 в1 c1a1 в1 c1

А= a2 в2 с2 треугольник = a2 в2 с2

а3 в3 с3а3 в3 с3

 

Теория матриц и определителей имеет широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию и решению системы трех линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными.

a1x+в1y+c1z=d1

a2x+в2y+c2z=d2

a3x+в3y+c3z=d3

Упорядоченная тройка чисел (x0; y0; z0) является решением системы, если в результате подстановки этих чисел в систему вместо x, y, z все три уравнения обращаются в верные равенства.

Геометрически каждое уравнение системы - есть плоскость. Три плоскости в пространстве могут располагаться следующим образом:

1. Все три плоскости пересекаются в точке M0 (x0; y0; z0) – координаты этой точки и есть решение системы. Система будет иметь единственное решение.

2. Все три плоскости параллельны или две из них параллельны, а третья пересекает их, или совпадает с одной из них. Тогда общих точек плоскостей нет. Система не будет иметь решений.

3. Все три плоскости совпадают. Получается бесконечное множество общих точек. Система будет иметь бесконечное множество решений.

 

 

Для решения системы алгебраически составим определители.

- главный, х – вспомогательный по х.

у – вспомогательный по y

z – вспомогательный по z.

a1 в1 c1 d1 в1 c1

= a2 в2 с2; х= d2 в2 с2

а3 в3 с3 d3 в3 с3

 

 

. a1 d1 c1 a1 в1 d1

у= a2 d2 с2; z= a2 в2 d2

а3 d3 с3 а3 в3 d3

 

1. Если ∆ 0, то система имеет единственное решение

х= ; y= ; z= .

Это формулы Крамера (Швейцарский математик).

2. Если ∆ =0, ∆ х 0 или ∆ у 0 или ∆ z 0, то система не имеет решения.

3. Если ∆ =∆ xy=∆ z=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Система. а1x+в1у+с1z=0

a2x+в2у+с2z=0 называется однородной системой

а3x+в3у+с3z=0

Эта система всегда имеет решение М0(0; 0; 0).


Поделиться:



Популярное:

  1. Административно-хозяйственная структура и общая площадь
  2. Бедные уверены: «От меня ничего не зависит».
  3. Векторы в пространстве. Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.
  4. Вопрос 2. Уклон 1:5 означает, что длина одного катета прямоугольного треугольника равна?
  5. Глава 7. УЧАСТИЕ ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ОБЪЕДИНЕНИЙ В ВЫБОРАХ
  6. Глава 9 Пять слов, от которых зависит конечный результат.
  7. Диагностика на этапе выбора профессии
  8. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
  9. Для пары сцепляющихся колес окружной шаг должен быть одинаковым.
  10. Для того чтобы пользоваться методикой Тройственного Выбора применительно к деньгам, вы должны выучить наизусть все свои цифры.
  11. ЗА НАРУШЕНИЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА О ВЫБОРАХ
  12. Записать выражение для векторов Е(r,t) и Н(r,t) в плоской монохроматической электромагнитной волне.


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 566; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.149 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь