Площадь треугольника не зависит от выбора пары векторов

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых, до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная большая, чем расстояние между фокусами.

|F₁M| + |FM|=2a – векторное уравнение.

2a> 2c

|FF₁|=2c, следовательно F₁(-c; 0), F(c; 0), M(x; y).

|F₁M| =

|FM| =

+ =2a

Избавимся от иррациональности и введем величину в²=а²-с².

Тогда получим уравнение + =1, где в²=а²-с².

А₁; А – вершины эллипса А₁ ; А( а; 0)

В₁ ; В - вершины эллипса В₁ ; В (0; в).

F₁ ; F – фокусы эллипса F₁ ; F( c; 0)

|А₁A|=2a – большая ось эллипса.

|BB₁|=2в – малая ось эллипса.

|FF₁|=2c – фокусное расстояние эллипса.

|FM|=r

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси его.

e= = = e= , так как а> c, то 0 e 1.

Если е 1, то с а, следовательно в 0 – эллипс сужается к оси(ОХ).

Если е 0, то с 0, следовательно в а – эллипс стремится занять положение окружности.

Если е=0, то с=0, следовательно в=а, + =1, где а²=а²-с².

х²+у²=а² и с=0, следовательно F₁=F=0 – центр окружности.

Окружность – есть честный вид эллипса при условии, что, а=в.

Если фокусы находятся на оси (ОУ), то уравнение + =1, где а²=в²-с².

е= = e= .

A1(- ; 0)

то уравнение эллипса будут:

+ =1, в²=a²-с², - на (ОХ).

+ =1, а²= в²-с², - на (ОУ).

Пример №1.

+ =1. Найти все элементы эллипса.

a²=64, в²=36, в²=а²-с² с²=а²-в²=64-36=28

а=8; в=6; с=2

А; А₁ ( 8; 0); B; B₁ (0; 6); F; F₁( 2 ; 0).

e = = = =

Пример №2.

Составить уравнение эллипса, если большая ось равна 50, фокусы находятся на оси (ОУ) и е = 0, 6.

Так как F₁F находятся на оси (ОУ), то:

+ =1, где а²=в²-с², e= .

|BB₁| - большая ось эллипса 2в=50 в=25.

=0, 6 с=0, 6· 25 с=15; a²=25²-15²=500.

Получим + =1 – ответ.

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых, до двух точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

||F₁M|-|FM||=2a, 2a< 2c |FF₁|=2c - Векторное уравнение гиперболы.

Аналогично выводу уравнения эллипса. При условии, что

в²= с²-а². + =1, где в²= с²-а².

A; A₁( a; 0) – вещественные вершины гиперболы.

|AA₁|=2a – вещественная ось гиперболы.

B; B₁ (0; в) – мнимые вершины гиперболы.

|BB₁|=2в – мнимая ось гиперболы.

F; F₁( с; 0) – фокусы.

|FF₁|=2c – фокусное расстояние.

(МР) и (NQ) - асимптоты гиперболы.

У= ·х – уравнение асимптот гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния и длина вещественной оси гиперболы.

е = = е = , так как a< c, тоe> 1.

Если е , то с , в , т. е. ветви гиперболы расширяются.

Если е 1, то с а, в 0, т. е. ветви гиперболы сужаются.

x²-y²=a²(уравнение равносторонней гиперболы), где с²=2а² с=а

e = = =

e=

(MN); (NQ): y= 1·x – уравнение асимптот.

Сопряженная гипербола.

Если фокусы гиперболы находятся на оси (ОУ), гипербола называется сопряженной. - =-1,

где а²= с²-в²,

|AA₁|=2a – мнимая ось.

|BB₁|=2в – вещественная ось.

F; F₁; 0(0; с), (MP) и (NQ) – асимптоты.

у= x. е = = е = , е=

Пример №1.

Найти все элементы гиперболы.

- =-1 – это сопряженная гипербола, следовательно. a²=c²-в²

a²=36; в²=64; с²= a²+в²=36+64=100;

а=6, в=8, с=10, тогда.

В, В₁(0; +8); А, А₁( 6; 0); F, F₁ (0; 10)

|BB₁|=16; |AA₁|=12; |FF₁|=20 Ответ.

y= ·х= х; е= = =

Пример №2.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= ·х и она проходит через точку М₁(6; -4).

Решение: так как у= ·х = .

Так как точка М₁ принадлежит гиперболе, то координаты точки удовлетворяют уравнению гиперболы.

- =1 - =1.

Уравнения и мы решаем системой.

a2=12; в2=8, тогда - =1 – ответ.

- =1

ПАРАБОЛА.

Параболой называется множество точек плоскости расстояние от каждой из которых до точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, равны между собой.

Расстояние от фокуса до директрисы |FK|=P и называется параметром параболы.

N(- ; y). NM {x+ ; 0}. FM {x- ; y}.

|NM| = ; |FM| =

=

Парабола со смещенной вершиной.

Пусть вершиной параболы будет точка А (х₀; у₀).

|KF|=P, точка А делит |KF| напополам. у=у₀ – ось симметрии F(x₀+ ; у₀) директриса будет иметь уравнение: х=х₀- .

Уравнение параболы (у-у₀)²=2р(х-х₀).

Уравнения остальных парабол со смещенной вершиной будут выглядеть так:

(у-у₀)²=-2р(х-х₀) – ось симметрии || (ОХ), ветви направлены влево.

(x-x₀)²= 2р(y-y₀) – ось симметрии || (ОУ), ветви направлены вверх, если (+), вниз, если (-).

Пример №1.

у²-8у-8х-8=0

у²-8у=8х+8

у²-2·4·у+4²=8х+8+4²

(у-4)²=8х+24

(у-4)²=8(х+3) А (-3; 4) 2p=8 =2

F(-3+2; 4)=(-1; 4), x=-3-2=-5. x=-5 – директриса,

у=4 – ось симметрии ветви параболы вправо.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ.

Матрицы.

Определение: Таблица, составленная из чисел, вида

а₁₁ а₁₂ а₁₃ …..a_1n

А= a₂₁ a₂₂ a₂₃ …..a_2n называется матрицей

………………….

a_m1 a_m2 a_m3….a_mn

Коротко матрица записывается А=(а_ij) (i=1, 2…m; j=1, 2, …n);

Если m=n, то матрица называется квадратной

Если m n, то матрица называется прямоугольной

Если m=1, n> 1, то А=(a₁ a₂ a₃ …a_n) – односторонняя матрица

а₁

а₂

Если m> 1, n=1, то А=.. - одностолбцовая матрица

..

a_m

Действия над матрицами.

Сложение матрицы с одинаковым количеством строк и одинаковым количеством столбцов можно складывать.

Причем: а_ij в_ij=c_ij (i=1, 2…m; j=1, 2, …n);

А В=С

Пример.

2 3 4 -1 4 -2 2+(-1) 3+4 4+(-2)

5 7 -1 + 3 -1 0 = 5+3 7+(-1) -1+0 =

8 9 -5 -5 3 2 8+(-5) 9+3 -5+2

1 7 2

= 8 6 -1

3 12 -3

Умножение на число.

А= ∙ (а_ij) (i=1, 2…m; j=1, 2, …n);

При умножении матрицы на число, все ее элементы умножаются на это число.

Пример.

2 3 4 2∙ 5 3∙ 5 4∙ 5 10 15 20

5∙ 5 7 -1 = 5∙ 5 7∙ 5 -1∙ 5 = 25 35 -5

8 9 -5 8∙ 5 9∙ 5 -5∙ 5 40 45 -25

Умножение матриц.

Произведением матрицы А=(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B=(в_ij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=(с_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которого элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, то есть с_ij=a_i1∙ в_1j+a_i2∙ в_2j+…+a_ik∙ в_kj, (i=1, 2…m; j=1, 2, …n).

Причем k столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение неопределено.

Пример.

1 3 -4

2 3 4 5 -3 2 =

5 6 7 -2 4 3

5∙ 1+6∙ 5+7∙ (-2) 5∙ 3+6∙ (-3)+7∙ 4 5∙ (-4)+6∙ 2+7∙ 3 21 18 13

Определение: Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единицы, называются единичной матрицей и обозначается Е.

1 0 0.. 0

…………………………..

0 0 0.. 1

А – квадратная и Е – квадратная с тем же количеством строк и столбцов что и А

.

Каждой матрице соответствует свой определитель ( ДЕТЕРМИНАНТ ).

a₁ в₁ c₁a₁ в₁ c₁

А= a₂ в₂ с₂ треугольник = a₂ в₂ с₂

а₃ в₃ с₃а₃ в₃ с₃

Теория матриц и определителей имеет широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию и решению системы трех линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными.

a₁x+в₁y₊c₁z=d₁

a₂x+в₂y₊c₂z=d₂

a₃x+в₃y₊c₃z=d₃

Упорядоченная тройка чисел (x₀; y₀; z₀) является решением системы, если в результате подстановки этих чисел в систему вместо x, y, z все три уравнения обращаются в верные равенства.

Геометрически каждое уравнение системы - есть плоскость. Три плоскости в пространстве могут располагаться следующим образом:

1. Все три плоскости пересекаются в точке M₀ (x₀; y₀; z₀) – координаты этой точки и есть решение системы. Система будет иметь единственное решение.

2. Все три плоскости параллельны или две из них параллельны, а третья пересекает их, или совпадает с одной из них. Тогда общих точек плоскостей нет. Система не будет иметь решений.

3. Все три плоскости совпадают. Получается бесконечное множество общих точек. Система будет иметь бесконечное множество решений.

Для решения системы алгебраически составим определители.

- главный, _х – вспомогательный по х.

_у – вспомогательный по y

_z – вспомогательный по z.

a₁ в₁ c₁ d₁ в₁ c₁

= a₂ в₂ с₂; _х= d₂ в₂ с₂

а₃ в₃ с₃ d₃ в₃ с₃

_. a₁ d₁ c₁ a₁ в₁ d₁

_у= a₂ d₂ с₂; _z= a₂ в₂ d₂

а₃ d₃ с₃ а₃ в₃ d₃

1. Если ∆ 0, то система имеет единственное решение

х= ; y= ; z= .

Это формулы Крамера (Швейцарский математик).

2. Если ∆ =0, ∆ _х 0 или ∆ _у 0 или ∆ _z 0, то система не имеет решения.

3. Если ∆ =∆ _x∆ _y=∆ _z=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Система. а₁x+в₁у+с₁z=0

a₂x+в₂у+с₂z=0 называется однородной системой

а₃x+в₃у+с₃z=0

Эта система всегда имеет решение М₀(0; 0; 0).