Исследования функции с помощью второй производной.

Функция у=f(x) называется выпуклой в точке М₁, если все точки, близкие к точке М₁, находятся ниже касательной, проведенной в точке М₁. Если функция выпукла в каждой точке (а; в), то говорят, что функция выпукла в (а; в)

Существует достаточный признак выпуклости графика функции:

y=f(x) не [a; в], если у^//< 0 во всех х [a; в].

Функция у=f(x) называется вогнутой, точке М₂, если все точки, близкие к точке М₂, находятся выше касательной, проведенной в точке М₂. Аналогично определение вогнутости на (а; в)

Существует достаточный признак вогнутости графика функции.

y=f(x) на [a; в), если y^//> 0 во х [a; в].

Отсюда возникает необходимый признак точки перегиба (точка, отделяющая выпуклую и вогнутую части графика).

В точке М₁ и М₂

1) y^//(x₁)=y^//(x₂)=0

2) y^//(x₁-б)< 0 а y^//(x₁+б)> 0.

3) y^//(x₂-б)> 0 а y^//(x₂+б)< 0, (то есть при переходе через точки х₁ и х₂, знак у^// меняется).

Смена знака у^// производной может происходить и в точках, в которых у^// не существует.

y=f(x), y^/(x₁) – не существует, значит и у^//(х₁) – не существует, но y^//(x₁-б)< 0 а y^//(x₁+б)> 0.

Правило исследования функции с помощью второй производной.

Пусть дана функция y=f(x).

1. Найдем y^/ и у^//.

2. Найдем точки, в которых у^//=0 или у^// - не , x₁, x₂, x₃… - критические точки второго рода.

3. Расположим критические точки второго рода на числовой прямой (в порядке возрастания) и проверим знак у^// в каждом полученном интервале. Могут быть следующие случаи:

у₁=f(x₁), y₃=f(x₃), y₄=f(x₄), y₅=f(x₅) – значение функции у=f(x) в точках перегиба.

Асимптоты графика функции.

Определение:

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая линия, к которой неограниченно приближается уходящая в бесконечность ветвь графика (хотя бы пересекая эту прямую бесчисленное множество раз). Уравнение асимптоты. у=kx+в, если она наклонная, у=в, если она параллельна оси ОХ, х=а, если она параллельна оси ОУ.

Пусть нам дана функция f(x), тогда для определений k – углового коэффициента

, а для

Если k=0, то в= f(x), если в – существует, то у=в – горизонтальная асимптота.

Если f(x)= , то х=а – вертикальная асимптота.

Исследовать функцию и построить ее график.

у=

1. О.О. x²-4 0 x 2

2. y ] [ - множество значений функции.

3. Четность можно определить, так как область определения функции симметрична относительно нуля.

f(-x)= - функция нечетная.

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

4. Корни

5. Промежутки законопостоянства функции.

6. Исследуем с помощью предела Асимптоты:

lim ; lim

lim ; lim , x-2 – вертикальная асимптота.

Отыскиваем наклонную асимптоту в виде у=kx+в.

k=lim в=lim

= y=1 x+0; y=x – наклонная асимптота.

7. Исследуем с помощью первой производной:

у^/= .

у^/=0 у^/ - не существует.

x_{1, 2}=0, x_{3, 4}= , x_{5, 6}= - точки разрыва функции и в этих точках функция недифференцируема.

(в точках +2, -2, и х=0 не происходит смены знака у^/, так как х² и (х²-4)² – всегда положительны).

y_max=f(-2 )= , y_{перегиб «колено»}=f(0)=

8. Исследуем с помощью второй производной.

у^//= ( )^/= =

= .

8.3

у_{перегиб.}=f(0)=0. В точке х=+2 и х=-2 – перегиба нет, так как в этих точках у=f(x) не существует.

9. Строим график функции по проведенному исследованию.

Тема: Комплексные числа.

План:

1. Развитие понятия числа

2. Комплексные числа

3. Формы комплексного числа

Алгебраическая

Геометрическая

Тригонометрическая

Показательная

Перевод комплексного числа из одной формы в другую

4. Решение уравнений в множестве комплексных чисел

Развитие понятия числа

Определение: Если результатом действия над числами некоторого множества является число этого же множества, то говорят, что это действие выполняется в этом множестве.

Пример 1. Сложение и умножение выполняются в множестве натуральных чисел, т.к. результаты этих действий есть натуральные числа.

Пример 2. Вычитание в множестве натуральных чисел не выполняются, т.к. при вычитании большего числа из меньшего получается отрицательное число, которое не является натуральным.

Аналогично можно рассмотреть примеры результатов действий деления, извлечения корня, которые не входят(соответственно) в множество целых чисел и действительных чисел.

Результаты действий вычитания, деления, извлечения корня расширяют понятия числа и приводят к появлению новых числовых множеств. Это развитие наглядно иллюстрируются с помощью кругов Эйлера.

N – множество натуральных чисел

(сложение и умножение)

Z – множество целых чисел

(сложение, умножение и вычитание)

Q – множество рациональных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление)

Рациональные числа выражаются в виде бесконечной десятичной дроби периодической дроби.

R – множество действительных чисел (сложение, умножение, вычитание и деление, возведение в целую степень и извлечение корня из неотрицательного числа)

Действительные числа выражаются бесконечной десятичной непериодической дробью.

Все действительные числа расположены на оси (OX), которую называют действительной осью, т.к. между действительными числами и точкамиоси (OX) установлено взаимно-однозначное соответствие. Каждому действительному числу соответствует единственная точка оси (OX) и каждой точке оси (OX) соответствует одно и только одно действительное число.

Но в множестве действительных чисел не выполняется действие извлечение корня из отрицательного числа, не имеет действительного решения и уравнение x²+1=0. Для того, чтобы все это стало возможным введем новую единицу i (мнимая единица).

i²=-1

Определение. Мнимой единицей (i) называется такое число, квадрат которого равен –1,

В этом случае любое отрицательное число можно представить: и тогда - есть мнимое число.

Решим уравнение x²+1=0

x²=-1

x²=i²

Ответ:

С введением мнимой единицы появились мнимые числа вида и стало возможным извлекать корень четной степени из отрицательного числа.

Если к множеству действительных чисел (а) добавить множество всех мнимых чисел (вi), то получим новое множество -комплексных чисел. ( К ), в котором выполняются все арифметические действия; сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в любую степень и извлечение корня.

Комплексные числа

Определение. Числа, вида , где «а» и «в» действительные числа, i-мнимая единица, называются комплексными числами.

а – действительная часть комплексного числа,

вi – мнимая часть комплексного числа,

в – коэффициент мнимой части,

i – мнимая единица.

Определение Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны действительные части комплексного числа и мнимые части комплексного числа, т. е. если