ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИСОВСКИЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов по

дисциплине “ МАТЕМАТИКА ”

для заочного отделения по специальности

«Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Нижняя Тура

ОДОБРЕНО Цикловой комиссией математических и естествнно – научных дисциплин. Председатель: _________________Н.С.Жукова «____» ___________20__г.

Составлены в соответствии с примерной программой по_Математике на базе основного общего образования для специальностей среднего профессионального образования 2002 года. Заместитель директора по учебной работе: __________О.А.Зинурова «____» ___________20__г.

Составитель: Л.Н.Фот – преподаватель общеобразовательных, математических и естественно – научных дисциплин.

Пояснительная записка

Рекомендации по самостоятельной работе студентов составлены в соответствии с рабочей программой автора Л.Н.Фот от 2009 года.

Внеаудиторная самостоятельная работа студентов по дисциплине математика составляет 37 часов.

Самостоятельная работа предусмотрена по основным разделам дисциплины, пропорционально аудиторной нагрузке.

В рекомендациях предложен краткий теоретический материал, разобраны решения заданий по разделам дисциплины, а так же задания для контрольной работы, вопросы для зачёта.

Характер работ, предложенных студентам, разнообразен, так как имеет разные цели: первичное овладение знаниями, усвоение нового материала, закрепление и систематизация знаний, применение знаний, формирование умений. Студентам предлагаются следующие виды заданий: чтение и конспектирование дополнительной и справочной литературы; работа со словарями и справочниками; решение задач по образцу.

Внеаудиторная самостоятельная работа рассчитана на самостоятельное выполнение студентом, с использованием конспекта лекций по дисциплине, учебников, справочников и учебных пособий.

Программа по математике

МЕТОД КООРДИНАТ.

Векторный базис на плоскости. Прямоугольные координаты. Формулы преобразования прямоугольных координат. Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном соотношении. Полярные координаты. Связь между полярными и прямоугольными координатами.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ.

Понятие об уравнении линии на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых. Параметрическое уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой. Ориентация плоскости. Расстояние от точки до прямой. Уравнение биссектрисы. Угол между прямыми. Условие параллельности перпендикулярности прямых.

КРИВЫЕ ВОРОГО ПОРЯДКА.

Уравнение второй степени с двумя неизвестными. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Кривые второго порядка как конические сечения. Исследование общего уравнения прямой второго порядка.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы. Свойства матриц. Действия над матрицами. Определители второго порядка. Решение и исследования систем линейных уравнений с помощью определителей. Определители третьего порядка. Решение и исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Решение систем линейных уравнений матричным способом. Понятие обратной матрицы.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

Понятие вектора. Действия над векторами. Координаты в пространстве. Координаты вектора на плоскости и в пространстве. Действия над векторами в координатах разложения вектора по ортам. Скалярные произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

ПЛОСКОСТЬ. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Векторное и нормальное уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Связка плоскостей. Пучок плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Условия компланарности двух прямых. Прямая как линия пересечения двух плоскостей, приведение её уравнения к каноническому виду. Решение задач на плоскость и прямую.

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Функция. Способы задания функций. Взаимно обратные функции наложение функциональных зависимостей. Сложная функция. Основные свойства функции. Приращение аргумента, функции.

Бесконечная числовая последовательность и её предел. Предел функции. Бесконечно малые величины. Свойства Бесконечно малых величин. Связь Бесконечно малых и Бесконечно больших величин.

Теоремы о пределах. Признаки существования предела. Два замечательных предела. Сравнение бесконечно малых величин. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Использование непрерывности функций при вычисление предела. Точки разрыва функции.

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Определение производной функции. Непрерывность и дифференцируемость функции. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования элементарных функций. Дифференцирование неявных функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференциал функции. Дифференциалы высших порядков.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ.

Монотонность функции. Экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Признаки возрастания и убывания функции и экстремумов функции. Выпуклость, вогнутость графика. Точка перегиба графика. Второе правило отыскания экстремума функции. Асимптоты графика. Построение графика функции.

ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Физический смысл производной первого и второго порядка. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику кривой. Дифференциал дуги. Кривизна плоской кривой. Векторная функция скалярного аргумента и её дифференцирование.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Понятие первообразной функции. Основная теорема первообразной. Понятие о не определенном интеграле. Таблица интегралов, табличное интегрирование. Общие методы интегрирования. Различные способы интегрирования. Понятие об определенном интеграле. Основные свойства определенно интеграла. Определенный интеграл с переменными пределами. Приемы вычисления определенно интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенно интеграла. Приложение определенного интеграла к решению геометрических и физических задач.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Функция нескольких переменных. Предел функции. Непрерывные функции. Функция нескольких независимых переменных. Предел функции. Частные производные и частные дифференциалы. Полный дифференциал функции. Дифференцирование сложной и неявной функции. Производная в данном направлении. Градиент функции.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.

Двойной интеграл, его основные свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойного интеграла. Приложение двойного интеграла к решению задач. Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов.

РЯДЫ.

Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Признаки сходимости ряда. Знакопеременные ряды.

Функциональный ряд; область сходимости. Степенной ряд; промежуток сходимости. Разложение функции в степенной ряд. Примеры вычисления с помощью степенных рядов.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка. Дифференциальное уравнение второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Однородные дифференциальные уравнения.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Развитие понятия числа. Комплексные числа. Свойства комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Мнимая единица. Степени мнимой единицы. Формы комплексного числа (алгебраическая, геометрическая, тригонометрическая, показательная). Переход из одной формы к другим. Действия над комплексными числами в различных формах. Решение уравнений на множестве комплексных чисел.

Метод координат.

В аналитической геометрии геометрические объекты – кривые и поверхности – изучаются при помощи алгебры. В основе такого изучения лежит метод координат, при котором положение точки на прямой плоскости или в пространстве определяется соответственно одним, двумя или тремя числами, координатами этой точки, а каждой кривой или поверхности соответствует одно или несколько уравнений, связывающих координаты всякой точки им принадлежащей.

(3; 4)

(1; 3; 2, 5)

2, 5

Подставим в уравнение.

½ =1/2*1²(u) координаты точки M удовлетворяют уравнению y=(1/2)*x²

Определение. Абсциссой точки называют расстояние этой точки до оси (OY). Абсцисса положительна, если точка расположена справа от оси (OY), отрицательна, если точка слева от оси (OY).

Определение. Ординатой точки называют расстояние этой точки до оси (OX). Ордината положительна, если точка расположена выше оси (OX), отрицательна, если точка ниже оси (OX).

Расстояние между двумя точками на плоскости.

Деление отрезка в заданном соотношении.

Выберем точку О произвольно и зададим векторы:

Выразим вектор через и .

Из (2) подставим в (1)

Из имеем

из (4) – в (3)

(5)

поместим рисунок в систему координат так, чтобы точка О стала центром системы, тогда , координаты точки - неизвестны. Т.к. начало векторов ОА, ОВ, ОС – находятся в начале координат, то эти векторы называются радиус-векторами точек А, В, С (соответственно), тогда

Равенство (5) является векторной формулой деления отрезка в данном отношении.

Чтобы получить координатные формулы необходимо подставить в (5) из (6) одноименные координаты.

Формулы координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении (считая от А к В)Если отрезок АВ разделить точкой С на два равных отрезка, то

Задача 1

Найти центр тяжести треугольника. Центр тяжести треугольника находиться в точке пересечения медиан. Находим координаты точки М₁ из условия:

Медианы в точке пересечения делятся в отношении

(от В к М₁)

Задача 2. До какой точки надо продлить отрезок АВ(от А к В) чтобы длина его стала в четыре раза больше прежней.

Задача 3.

М₁ (2; -1)М₂(-1; 3) М₃ (-4; 2) есть координаты середины сторон треугольника. Найти координаты вершин треугольника.

Пусть

Тогда по формулам **

Теорема.

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические заполнения.

Определитель n-го порядка. Вычеркнем мысленно j – строку и i – ый столбец. На пересечении будет элемент a_ij, оставшийся определителем n-1 порядка умноженный на (-1)ⁱ⁺^j будет называться алгебраическим дополнением элемента a_ij, и обозначается А_ij. А оставшийся определитель n-1 порядка называется минором (M_ij) элемента, a_ij. И тогда: A_ij=(-1)ⁱ⁺^j M_ij.

Пример.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₁ а₂₂а₂₃ а₃₁ а₃₂а₃₃

Разложить определитель по элементам первой строки.

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Определение вектора, действия над векторами, виды векторов, способы задания векторов на плоскости и в пространстве аналогичны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

Векторы, принадлежащие одной плоскости после сведения их к одному началу, называются компланарными.

{ ; ; } d Þ , , - компланарны

d, следовательно.

и - не компланарны

Определение: Векторы , , единичные и взаимно перпендикулярные образуют прямоугольную систему координат пространства (x; y; z).

М (x; y; z) – упорядоченная тройка чисел.

Z –аппликата точки М.

Во всех формулах, полученных в лекции №1, добавляется третья координата.

1. = {x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁} – координаты вектора, если А (x₁; y₁; z₁); B (x₂; y₂; z₂).

2. = - формула длины вектора.

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ

Определение: Уравнение с двумя неизвестными f(x; y)=0 являются уравнением линии, тогда и только тогда, когда координаты всех точек этой линии удовлетворяют уравнению этой линии, а координаты точек не принадлежащих этой линии не удовлетворяют уравнению.

х²+у²=25 т. М₁(3; 4) – удовлетворяют уравнению, значит точка М₁ – принадлежит графику М₂ (2; -1) – не принадлежит линии.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Прямая линия есть простейшая из кривых на плоскости. Задав на плоскости систему координат, положение любой прямой на координатной плоскости можно определить различными способами, т.е. при помощи различных параметров. В зависимости от выбора этих параметров, определяющих положение прямой на плоскости, мы получим несколько видов уравнений прямой, которые будут полезны при решении различных типов задач.

Уравнение пучка прямых.

Пучком прямых называется множество прямых, проходящих через одну точку – М₀ (х₀; у₀). Прямые L1, L2, L3…отличаются только угловым коэффициентом, следовательно у-у₀=κ (х-х₀) можно

считать уравнением пучка прямых

при условии, что κ будет меняться.

М₀(х₀; у₀) – центр пучка. L₀ (ox) Þ

Tg90⁰ – не существует. Значит в

уравнении y-y₀=κ (x-x₀) не содержит

уравнение прямой L₀. Ее уравнение

будет х=х₀, так как κ =tg90⁰ – не существует.

Ориентация полуплоскости.

l: Ax+By+C=0

если Ах₁+Ву₁+С > 0, то

если Ах₂+Ву₂+С < 0, то

Пример №2. Найти уравнение биссектрисы угла А, треугольника АВС.

1. Составим уравнение (АС), проходящей через две точки.

= Þ 8х+у-4=0 (АС)

аналогично уравнение (АВ): =

х-3у-14=0 – это (АВ).

По п. 8 имеем. =

Сориентируем L₁ и L₂ относительно любой точки, находящейся внутри угла ВАС. Этой точкой может быть середина отрезка ВС. М (2, 5; -7, 5) или любая другая точка на прямой ВС.

L₁: 2, 5-3

(-7, 5)-14, > 0 Þ |x-3y-14| = x-3y-14

L₂: 8 2, 5-7, 5-4, < 0 Þ |8x+y-4| = -8x-y+4

- выполним преобразования

и приведем к виду

( +8 ) х – (3 - ) у - (14 +4 ) = 0. – уравнение биссектрисы l.

Аналогично можно найти уравнения биссектрис и других внутренних углов этого треугольника.

Угловой коэффициент прямой.

Определение.Угловым коэффициентом называют тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси (ОХ).

k=tg φ *

Если φ < 90⁰, то k> 0

Если φ > 90⁰, но φ < 180⁰, то k< 0

Если φ =90⁰, то k – не существует

Если φ =0⁰ или φ =180⁰, то k=0

Если прямая проходит через две точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) образует с осью Оx угол , то из треугольника М₁NM₂найдем

t g φ = = Þ tg φ =k.

k = **

Кроме этого в п. 1 мы обозначили k=-

****, **, *** три способа нахождения углового коэффициента прямой.

k=tgφ, k = , k =- .

Угол между прямыми.

Определение. За угол между прямыми принимаются наименьший из углов образованных этими прямыми.

l₁: A₁x+B₁y+C₁=0, {A₁; B₁}.

l₂: A₂x+B₂y+C₂=0, {A₂; B₂}.

l₁l₂ = =φ.

Найдем cos φ =

где • = A₁•A₂+B₁•B₂

| | = ; | | = ;

Если l₁|| l₂, то φ =0 или φ =π Þ cos φ = 1

Если l₁ l ₂, то φ =90⁰ и Þ cos φ =0

Если φ < 90⁰, то Þ cos φ > 0

Если 90⁰< φ < 180⁰, то Þ cos φ < 0

|cos φ | 1.!

Угол α ₂ – внешний угол треугольника АВС

α ₂= α ₁+ φ Þ φ = α ₂- α ₁

tg φ =tg(α ₂- α ₁) =

tg α ₂=k₂, tg α ₁=k₁.

Тогда tg φ = .

Формула tg φ, φ образован при повороте прямой l₁ вокруг точки В до совмещения с прямой l₂ (против часовой стрелки).

Если l₁||l₂, то φ =0 и φ =180⁰Þ k₂=k₁

Если l₁ l₂, то φ =90⁰, tg90⁰ – не существует, но ctg90⁰=0,

т.е. = 0 Þ 1+k₂ k₁=0, k₂=-

Если l₁ l₂=B, φ < 90⁰, то tg φ > 0.

Если 90⁰< φ < 180⁰, то tg φ < 0.

В) Взаимное расположение двух прямых.

l₁ имеет k₁ и {A₁; B₁}

l₂ имеет k₂ и {A₂; B₂}

l₁: A₁x+B₁y+C₁=0

l₂: A₂x+B₂y+C₂=0

Если l₁ l₂ = M₀(x₀; x₀), то

Þ М₀(х₀; y₀)

A₁x+B₁y+C₁=0

A₂x+B₂y+C₂=0

* Если l₁||l₂, то || Þ = и k₁=k₂

** Если l₁ l₂, то Þ A₁•A₂+B₁•B₂=0 и k₂=-

Если l₁=l₂, то = = .

* и ** есть условия параллельности и перпендикулярности прямых.

13) Площадь параллелограмма и треугольника.

Найдем координаты векторов, которые образуют данный параллелограмм.

АВ {x₂-x₁; y_2-y₁}

AC {x₃-x₁; y₃-y₁}

По определению векторного произведения векторов (лекция 3 п.1).

S_ABCD=|AB•AC|

x₂-x₁y₂-y₁ x₃-x₁y₃-y₁

так как =1, то

S_ABCD =

x₂-x₁y₂-y₁ x₃-x₁y₃-y₁

S_ABC=

Пример: А (2; -3) В(4; 2) С(-1; 5)

2 5 -3 8

а) АВ {2; 5} AC {-3; 8}

S_ABC= | |= |(16+15)| = •31=15.5 (кв.ед.) - Ответ.

-2 -5 -5 3

б) Пусть ВА {-2; -5}; BC {-5; 3}

S_ABC = | | = | (-6-25) | = • -31| = •31 = 15.5 (кв.ед.) - Ответ

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых, до двух точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

||F₁M|-|FM||=2a, 2a< 2c |FF₁|=2c - Векторное уравнение гиперболы.

Аналогично выводу уравнения эллипса. При условии, что

в²= с²-а². + =1, где в²= с²-а².

A; A₁( a; 0) – вещественные вершины гиперболы.

|AA₁|=2a – вещественная ось гиперболы.

B; B₁ (0; в) – мнимые вершины гиперболы.

|BB₁|=2в – мнимая ось гиперболы.

F; F₁( с; 0) – фокусы.

|FF₁|=2c – фокусное расстояние.

(МР) и (NQ) - асимптоты гиперболы.

У= ·х – уравнение асимптот гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния и длина вещественной оси гиперболы.

е = = е = , так как a< c, тоe> 1.

Если е , то с , в , т. е. ветви гиперболы расширяются.

Если е 1, то с а, в 0, т. е. ветви гиперболы сужаются.

Если в=а, то

=1, где а²=с²-а²,

x²-y²=a²(уравнение равностороннейгиперболы), где с²=2а² с=а

e = = =

(MN); (NQ): y= 1·x – уравнение асимптот.

Сопряженная гипербола.

Если фокусы гиперболы находятся на оси (ОУ), гипербола называется сопряженной. - =-1,

где а²= с²-в²,

|AA₁|=2a – мнимая ось.

|BB₁|=2в – вещественная ось.

F; F₁; 0(0; с), (MP) и (NQ) – асимптоты.

у= x. е = = е = , е=

Пример №1.

Найти все элементы гиперболы.

- =-1 – это сопряженная гипербола, следовательно. a²=c²-в²

a²=36; в²=64; с²= a²+в²=36+64=100;

а=6, в=8, с=10, тогда.

В, В₁(0; +8); А, А₁( 6; 0); F, F₁ (0; 10)

|BB₁|=16; |AA₁|=12; |FF₁|=20 Ответ.

y= ·х= х; е= = =

Пример №2.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями у= ·х и она проходит через точку М₁(6; -4).

Решение: так как у= ·х = .

Так как точка М₁ принадлежит гиперболе, то координаты точки удовлетворяют уравнению гиперболы.

- =1 - =1.

Уравнения и мы решаем системой.

a²=12; в²=8, тогда - =1 – ответ.

- =1

ПАРАБОЛА.

Параболой называется множество точек плоскости расстояние от каждой из которых до точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, равны между собой.

Расстояние от фокуса до директрисы |FK|=P и называется параметром параболы.

N(- ; y). NM {x+ ; 0}. FM {x- ; y}.