Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса

Теорема Если Р(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула

 

,

 

где L – граница поверхности S; cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S.

 

Пример 6.8.13.Вычислить с помощью формулы Стокса ,

L- окружность

А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x² + y² +z² =1.

 

 

 

.

Контрольные работы

Контрольная работа №1

Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель

и определитель матрицы, транспонированной к данной.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

 

Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка

 

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ;

19. ; 20.

 

 

Задание 3. Найдите матрицу, обратную матрице. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

Задание 4. Решите систему линейных уравнений матричным способом.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

Задание 5. Решите систему линейных уравнений по формулам

Крамера.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

Задание 6. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16 ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

 

 

Задание 7. Даны координаты векторов а₁, а₂, а₃, а₄ и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис и найдите координаты вектора b в этом базисе.

 

1. а₁(1, 2, -1, -2); а₂(2, 3, 0, 1); а₃(1, 2, 1, 3); а₄(1, 3, -1, 0); b(7, 14, -1, 2).

2. а₁(2, 1, 0, -1); а₂(2, 3, 0, -2); а₃(2, 4, 2, 1); а₄(0, -3, 0, 2); b(5, 2, 1, 0).

3. а₁(1, 1, 4, 2); а₂(2, -1, 3, 1); а₃(0, 2, 0, 0); а₄(1, -1, 0, 1); b(5, 0, 0, 5).

4. а₁(1, 2, 3, 4); а₂(2, 3, 4, 1); а₃(3, 4, 1, 2); а₄(4, 1, 2, 3); b(2, 2, 2, 4).

5. а₁(2, 0, 0, 0); а₂(0, 4, 0, 0); а₃(0, 0, 6, 0); а₄(0, 0, 0, 8); b(6, 7, 0, 1).

6. а₁(1, 2, -1, -2); а₂(2, 3, 0, 1); а₃(1, 2, 1, 3); а₄(1, 3, -1, 0); b(6, 7, 0, 1).

7. а₁(2, 3, 4, 5); а₂(3, 4, 5, 2); а₃(4, 5, 2, 3); а₄(5, 2, 3, 4); b(-1, 2, 1, -2).

8. а₁(3, 5, -1, -1); а₂(3, 5, 1, 4); а₃(2, 5, 0, 3); а₄(1, 3, -1, 0); b(7, 14, -1, 2).

9. а₁(4, 4, 0, -3); а₂(4, 7, 2, -1); а₃(2, 1, 2, 3); а₄(0, -3, 0, 2); b(5, 2, 1, 0).

10. а₁(3, 0, 7, 3); а₂(2, 1, 3, 1); а₃(1, 1, 0, 1); а₄(1, -1, 0, 1); b(5, 0, 0, 5).

11. а₁(3, 5, 7, 5); а₂(5, 7, 5, 3); а₃(7, 5, 3, 5); а₄(4, 1, 2, 3); b(2, 2, 2, 4).

12. а₁(2, 4, 0, 0); а₂(0, 4, 6, 0); а₃(0, 0, 6, 8); а₄(0, 0, 0, 8); b(-14, 6, 0, 1).

13. а₁(1, 2, -1, -2); а₂(3, 5, -1, -1); а₃(3, 5, 1, 4); а₄(2, 5, 0, 3); b(6, 7, 0, 1).

14. а₁(2, 1, 0, -1); а₂(4, 4, 0, -3); а₃(2, 7, 2, -1); а₄(2, 1, 2, 3); b(-3, 2, 5, 0).

15. а₁(5, 7, 9, 7); а₂(7, 9, 7, 5); а₃(9, 7, 5, 7); а₄(5, 2, 3, 4); b(-1, 2, 1, -2).

16. а₁(1, 3, 5, 3); а₂(3, 5, 3, 2); а₃(5, 3, 1, 3); а₄(3, 0, 1, 2); b(-6, 0, 2, -3).

17. а₁(-1, 1, 3, 1); а₂(1, 3, 1, -1); а₃(3, -1, -1, 1); а₄(2, -1, 0, 1); b(-3, 6, 7, -2).

18. а₁(0, 1, 2, 3); а₂(1, 2, 3, 0); а₃(2, 3, 0, 1); а₄(3, 0, 1, 2); b(-6, 0, 2, -3).

19. а₁(-1, 0, 1, 2); а₂(0, 1, 2, -1); а₃(1, 2, -1, 0); а₄(2, -1, 0, 1); b(-3, 6, 7, -2).

20. а₁(4, 4, 3, 0); а₂(-17, 24, 1, 1); а₃(-6, -1, 2, 0); а₄(-5, 3, 1, 0); b(-9, 10, 1, 1).

 

Задание 8

 

По координатам вершин пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄ найти:

1) длины ребер а₁ а₂ и а₁ а₃;

2) угол между ребрами а₁ а₂ и а₁ а_з;

3) площадь грани а₁ а₂ а₃;

4) объем пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄;

5) уравнения прямых а₁ а₂ иа₁ а₃;

6) уравнения плоской а₁ а₂ а₃ иа₁ а₂ а₄;

7) угол между плоскостями а₁ а₂ а₃ иа₁ а₂ а₄;

8) угол между ребром а₁ а₃ и гранью а₁ а₂ а₄;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃;

10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ , и вершину а₁ пирамиды;

11) расстояние от вершины.а₃до плоскости а₁ а₂ а_4.

 

	а1	а2	а3	а4
	(3; 1; 4)	(-1; 6; 1)	(-1; 1; 6)	(0; 4; -1)
	(3; 3; 9)	(6; 9; 1)	(1; 7; 3)	(8; 5; 8)
	(3; 5; 4)	(5; 8; 3)	(1; 9; 9)	(6; 4; 8)
	(2; 4; 3)	(7; 6; 3)	(4; 9; 3)	(3; 6; 7)
	(9; 5; 5)	(-3; 7; 1)	(5; 7; 8)	(6; 9; 2)
	(0; 7; 1)	(4; 1; 5)	(4; 6; 3)	(3; 9; 8)
	(5; 5; 4)	(3; 8; 4)	(3; 5; 10)	(5; 8; 2)
	(6; 1; 1)	(4; 6; 6)	(4; 2; 0)	(1; 2; 6)
	(7; 5; 3)	(9; 4; 4)	(4; 5; 7)	(7; 9; 6)
	(6; 6; 2)	(5; 4; 7)	(2; 4; 7)	(7; 3; 0)
	(0; 3; 2)	(-1; 3; 6)	(-2; 4; 2)	(0; 5; 4)
	(-1; 2; 0)	(-2; 2; 4)	(-3; 3; 0)	(-1; 4; 2)
	(2; 2; 3)	(1; 2; 7)	(0; 3; 3)	(2; 4; 5)
	(0; -1; 2)	(-1; -1; 6)	(-2; 0; 2)	(0; 1; 4)
	(3; 0; 2)	(2; 0; 6)	(1; 1; 2)	(3; 2; 4)
	(0; 2; -1)	(-1; 2; 3)	(-2; 3; -1)	(0; 4; 1)
	(2; 3; 2)	(1; 3; 6)	(0; 4; 2)	(2; 5; 4)
	(-1; 0; 2)	(-2; 0; 6)	(-3; 1; 2)	(-1; 2; 4)
	(2; 0; 3)	(1; 0; 7)	(0; 1; 3)	(2; 2; 5)
	(2; -1; 2)	(1; -1; 6)	(0; 0; 2)	(2; 1; 4)

 

Задание 9

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям a и b:

 

	M	a	b
	(2; 1; -5)	3X-2Y+Z+7=0	5X-4Y+3Z+1=0
	(1; -1; 1)	X-Y+Z-1=0	2X+Y+Z+1=0
	(2; -1; 1)	3X+2Y-Z+4=0	X+Y+Z-3=0
	(1; 8; 2)	5X+6Y+11Z-3=0	3X+Y+4Z-12=0
	(-1; -2; 0)	4X+6Y-5Z-14=0	X+3Y-2Z-1 =0
	(5; 1; 2)	X-7Y-2Z-10=0	2X-2Y-Z-13=0
	(2; 4; 1)	X-2Y+5Z-7=0	2X-3Y+7Z-5=0
	(1; 1; 1)	X-2Y+2Z+8=0	3X+5Y+7Z-1=0
	(1; 4; 5)	X+Y+5Z+3=0	3X+2Y+8Z-9=0
	(3; 0; 7)	X+Y+4Z=0	3X+2Y+7Z-2=0

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂ перпендикулярно плоскости a:

 

	М1	М2	a
	(2; -1; 4)	(3; 2; 1)	X+Y+Z-3=0
	(1; 1; 1)	(2; 2; 2)	X-Y-Z=0
	(0; -5; 0)	(0; 0; 2)	X+5Y+2Z-10=0
	(2; 0; -1)	(1; -1; 3)	3X+2Y-Z+3=0
	(-1; -2; 0)	(1; 1; 2)	X+2Y+2Z-4=0
	(1; -2; 4)	(2; -3; 5)	X+Y-3Z+8=0
	(0; 1; 3)	(1; 2; 7)	X+2Y+5Z+6=0
	(1; 1; 0)	(2; -1; -1)	5X+2Y+3Z-7=0
	(1; 4; 0)	(2; 14; 3)	X+6Y+Z-3=0
	(9; 1; 1)	(19; 2; 2)	17X+2Y+Z+11=0
	(7; 1; 0)	(26; 2; 3)	9X+Y+Z-17=0
	(0; 1; 2)	(-1; 2; 3)	X+Y-Z+2=0
	(3; 4; 6)	(5; 1; 5)	X+2Y+3Z-6=0
	(4; 1; 0)	(2; -1; 1)	X-Y+Z-3=0
	(1; 0; 1)	(-1; 1; 0)	X+2Y-Z-1=0

 

Задание 10

Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей a и b:

 

	a	b
	x-2у+2z-8=0	x+2z-6=0
	3x-5y+z-8=0	2x+y-z+2=0
	x-2y+3z-4=0	3x+2y-5z-4=0
	x+z-6=0	x+6y-4=0
	x+2y-4=0	x-2y+2z-8=0
	x+2Z-6=0	x+y+z-6=0
	x+2y+3z-13=0	3x+y+4z-14=0
	x+2y+3z-1=0	2x-3y+2z-9=0
	2x+7y-z-8=0	Х+2y+z-4=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:

	А	ℓ
	(3; 1; -1)	X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0
	(2; 0; -3)
	(-4; 3; 0)	x-2y+z-4=0 2x+y-z=0
	(2; -5; 9)	2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ ₁ и ℓ ₂:

 

	А	ℓ 1	ℓ 2
	(2; -3; 4)
	(0; 1; 1)
	(2; -3; 4)	x=t; y=t; z=2t+5	x=3t+8; y=2t-4; z=t+2
	(0; 1; -1)	x=3t+1; y=15t; z=7t-2	x=t; y=2t-5; z=6
	(0; -1; 1)	x=2t; y=t-5; z=3t-2	x=4t-1; y=4t+6; z=t-4

 

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а₁ и а₂:

 

	а1	а2
	(1; -2; 1)	(3; 1; 1)
	(1; -2; 1)	(0; 6; 5)
	(3; 1; 2)	(0; 2; 5)
	(0; 1; 2)	(5; 2; 1)
	(1; 7; 3)	(0; 2; 1)
	(1; 0; 2)	(5; 1; 4)
	(3; 5; 1)	(2; 3; 1)

 

Задание 11

Найти проекцию точки А на плоскости a:

	А	a
	(1; 3; 1)	x+2y+2z-30=0
	(3; 1; -1)	3x+y+z-20=0
	(5; 2; -1)	2x-y+3z+23=0
	(4; -3; 1)	x-2y-z-15=0
	(1; -1; 0)	5x-6y+2z-76=0

 

Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:

 

	А	а
	(0; 0; 0; )	х-2у+4z-21=0
	(1; 5; 2)	2х-у-z+11=0
	(1; -3; -4)	Зх-у-2z=0
	(5; 2; -1)	2х-у+3z+23=0
	(3; -4; -6)	9х-7у-31z-108=0

Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:

 

	А	ℓ
	(2; 1; 0)
	(4; 3; 10)
	(1; -1; 2)
	(3; 2; 0)
	(2; -1; 5)
	(0; 0; 0; )

 

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскостиа с прямыми ℓ ₁ и ℓ ₂:

 

	А	ℓ 1	ℓ 2
	2x+y-3z=0
	3x-2y+z=0
	6x+3y-41=0
	3x-y-2z+5=0
	2x+3y+z-1=0

 

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости aи проходящей через точку пересечения плоскости a с прямой ℓ, перпендикулярно вектору `а:

	a	ℓ	_` а
	6x+3y-z-41=0		{1; 2; 1}
	x+2y=0		{3; -1; 2}
	x+2y=0		{5; -1; 2}
	3x-y-2z+5=0		{0; 3; 5}

Задание 12

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ ₁ и ℓ ₂:

 

	ℓ 1	ℓ 2
	x=2t+1; y=-t; z=t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ ₁, параллельно прямой ℓ ₂:

 

	ℓ 1	ℓ 2
	x=3t-1; y=-2t-3; z=-t+2	x=2t+2; y=3t-1; z=-5t+1

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямымℓ ₁ и ℓ ₂:

 

	ℓ 1	ℓ 2	М
			(-2; 0; 0)
			(6; 1; 1)
			(1; 2; 1)
			(1; 2; 3)
			(0; 0; 2)

 

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ ₁ и ℓ ₂:

	ℓ 1	ℓ 2
	x=z-2; y=2z+1
		x=t+5; y=-4t-1; z=t-4
	x=t+1; y=-2; z=-t+1	x=2t; y=2t-2; z=-3t+2
		x=3t+7; y=2t+2; z=-2t+1
	x=2t-3; y=3t-2; z=-4t+6	x=t+5; y=-4t-1; z=t-4
	x=2t+1; y=3t-2; z=-6t+1

 

Контрольная работа №2

ЗАДАНИЕ 1

Вычислите пределы:

1	11
2	12
3	13
4	14
5
6
7
8
9
10
15
16
17 18
19
20

ЗАДАНИЕ 2

Вычислите пределы:

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

ЗАДАНИЕ 3

Вычислите пределы:

а)

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

б)

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

ЗАДАНИЕ 4

Вычислите пределы:

а)

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

б)

 

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

ЗАДАНИЕ 5

Вычислите пределы:

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

ЗАДАНИЕ 6

Вычислите пределы:

1	11
2	12.
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

ЗАДАНИЕ 7

Исследуйте функции на непрерывность, найдите точки разрыва, если они существуют, установите их характер, постройте графики функций:

 

1	11
2	12
3	13
4	14
5	15
6	16
7	17
8	18
9	19
10	20

 

 

ЗАДАНИЕ 8

 

Найти производную данной функции.

⇐ Предыдущая3456789101112

Поделиться:

Популярное:

1. Автоматическая телеграфная связь
2. Б. Напряженность и потенциал электростатического поля и связь между ними. Принцип суперпозиции
3. Билет 7 Внутренняя структура процесса обучения как взаимосвязь преподавания и учения
4. БОБ НИКОГДА НЕ УСТАНАВЛИВАЛ СВЯЗЬ
5. Большое значение для успешного развития художника имеет неразрывная связь теории с практикой в течение всей его изобразительной деятельности.
6. Взаимная связь стихийных явлений.
7. Взаимодействие права и политики / Взаимосвязь политики и права
8. Взаимосвязь биологических и социальных факторов в психическом развитии личности
9. Взаимосвязь внутренней и внешней политики государства
10. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЕДИНИЧНОГО И ОБЩЕГО
11. Взаимосвязь законов сохранения импульса и энергии
12. Взаимосвязь Заповедей Божьих И Заповедей Блаженств. Основы Нравственного Закона.