Пункт 1. Передаточные функции нескорректированной системы

Рис. 1.1. Структурная схема системы управления

Подставим в передаточные функции параметры, заданные по условию, для передаточной функции исполнительного устройства и объекта управления имеем:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция по управляемой координате:

Передаточная функция по ошибке:

Пункт 2. Определение требуемого коэффициента усиления ( )

Определим требуемый коэффициент усиления из условия обеспечения заданной точности ( отработки задающего сигнала вида

- допустимая величина ошибки (установившаяся ошибка).

По входному сигналу определяем, что амплитуда сигнала равна , а частота .

Установившаяся ошибка системы по амплитуде имеет вид .

Заменим в выражении для передаточной функции ошибки системы переменную на :

Подставим частоту сигнала в , тогда

Определяем установившуюся ошибку:

Это равносильно следующему:

Решениями данного квадратичного уравнения будут являться корни:

Очевидно, что . не представляет интереса, т.к. он меньше нуля, но коэффициент усиления не может быть отрицательным.

Пункт 3. Исследование устойчивости нескорректированной системы

Критерий устойчивости Рауса позволяет судить об устойчивости или неустойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней.

Для начала составим характеристический полином для замкнутой системы , он имеет вид:

Исследуем данную систему при . Тогда:

Критерий Рауса представим в видетаблицы 3.1:

Таблица 3.1.

Критерий устойчивости Рауса.

№

Для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы члены первого столбца таблицы 3.1 были одного знака. Судя по данным таблицы, можем сделать вывод, что это условие не выполняется: , , коэффициенты имеют разный знак, а значит, при система не устойчива.

Определим критические параметры , при которых система будет находиться на апериодической и колебательной границе устойчивости.

Таблица 3.2.

Критерий устойчивости Рауса для исследования критических параметров.

№

Если последний коэффициент первого столбца таблицы 3.2 , а все остальные коэффициенты положительные, то система находится на апериодической границе устойчивости. Тогда .

Система будет находиться на колебательной границе устойчивости, если , а все остальные больше нуля. Поэтому , откуда .

Пункт 4. Построение частотных характеристик

Прежде чем построить необходимые частотные характеристики, подставим в передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем найденный коэффициент .

Передаточная функция разомкнутой системы:

Если в данную передаточную функцию выполнить замену , затем помножив знаменатель на сопряженное комплексное число, получим частотно-передаточную функцию, с помощью которой построим амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) разомкнутой системы:

Стало проще отделить действительную и мнимую части частотно-передаточной функции, теперь найдем амплитудно-частотную характеристику:

Фазо-частотная характеристика:

Годограф АФЧХ для представлен на рисунке. 4.1.. Для того чтобы определить запас по фазе, для начала нужно провести окружность единичного радиуса с центром в точке (0; 0). Далее строится прямая, проходящая через начало координат и пересечение годографа с окружностью. Нужно определить угол между прямой и осью абсцисс:

Запас по амплитуде определяется следующим образом: измеряется расстояние между пересечением годографа с осью абсцисс и точкой (-1; 0j). В нашем случае запас по амплитуде будет равен: .

Рис. 4.1. АФЧХ разомкнутой системы.

Рисунок 4.2. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

На рисунке 4.2. точке соответствует значение фазы и запас по фазе будет равен .

Точкой, где , по таблице 4.1 значений годографа, является

5 дб, поэтому запас по амплитуде .

Перейдем к исследованию передаточной функции замкнутой системы:

АЧХ замкнутой системы:

ФЧХ замкнутой системы:

АЧХ и ФЧХ представлены на рисунках 4.3 и 4.4 соответственно. Таблица 4.2 содержит значения точек их годографов.

Таблица 4.1

Значения годографа АФЧХ.

w	lgw	P	Q	A	20lgA	Fi
0, 01	-2	2, 406	-0, 01	2, 406	7, 625	-0, 243
1, 01	0, 004	2, 398	-1, 259	2, 709	8, 655	-27, 671
2, 009	0, 303	0, 698	-3, 14	3, 216	10, 147	-77, 37
3, 009	0, 478	-1, 39	-1, 42	1, 987	5, 965	-134, 21
4, 008	0, 603	-0, 986	-0, 326	1, 04	0, 331	-161, 4
5, 008	0, 7	-0, 625	-0, 037	0, 626	-4, 063	-176, 39
6, 007	0, 779	-0, 417	0, 054	0, 42	-7, 528	-187, 56
7, 007	0, 846	-0, 29	0, 085	0, 302	-10, 386	-196, 5
8, 006	0, 903	-0, 208	0, 094	0, 228	-12, 834	-204, 67
9, 005	0, 955	-0, 15	0, 095	0, 178	-15	-212, 49
10, 005		-0, 109	0, 091	0, 142	-16, 973	-220, 16
11, 005	1, 042	-0, 077	0, 085	0, 115	-18, 815	-227, 75
12, 004	1, 079	-0, 054	0, 077	0, 094	-20, 574	-235, 26
13, 003	1, 114	-0, 036	0, 068	0, 077	-22, 283	-242, 64
14, 003	1, 146	-0, 022	0, 059	0, 063	-23, 964	-249, 8
15, 003	1, 176	-0, 012	0, 051	0, 052	-25, 628	-256, 67
16, 002	1, 204	-0, 005	0, 043	0, 043	-27, 279	-263, 17
16, 002	1, 204	-0, 005	0, 043	0, 043	-27, 279	-263, 17
17, 001	1, 23	-0, 001	0, 036	0, 036	-28, 916	-269, 25
18, 001	1, 255	0, 002	0, 03	0, 03	-30, 533	-274, 87
	1, 279	0, 004	0, 024	0, 025	-32, 127	-280, 04
	1, 301	0, 005	0, 02	0, 021	-33, 69	-284, 76

Рис 4.3. АЧХ замкнутой системы.

Рис 4.4. ФЧХ замкнутой системы.

Таблица 4.2

Значения точек АЧХ и ФЧХ.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒