Потенциал электростатического поля. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении в нём электрического заряда

Работа dА, совершаемая кулоновскими силами при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле:

где - напряжённость поля в месте нахождения заряда q. Работа кулоновской силы при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории движения заряда (т.е. кулоновские силы являются консервативными силами). Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q вдоль любого замкнутого контура L равна нулю. Это можно записать в виде теоремы о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю:

Это соотношение, выражающее потенциальный характер электростатического поля, справедливо как в вакууме, так и в веществе.

Работа dА, совершаемая силами электростатического поля при малом перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна убыли потенциальной энергии этого заряда в поле:

dА= - dW_П и А₁₂= - DW_П = W_П1 - W_П2,

где W_П1 и W_П2 - значения потенциальной энергии заряда q в точках 1 и 2 поля. Энергетической характеристикой электростатического поля служит его потенциал.

Потенциалом электростатического поля называется скалярная физическая величина j, равная потенциальной энергии W_П положительного единичного точечного заряда, помещённого в рассматриваемую точку поля, В.

Потенциал поля точечного заряда q в вакууме

Принцип суперпозиции для потенциала

т.е. при наложении электростатических полей их потенциалы складываются алгебраически.

Потенциал поля электрического диполя в точке С (рис. 1.2)

Если заряды распределены в пространстве непрерывно, то потенциал j их поля в вакууме:

Интегрирование проводится по всем зарядам, образующим рассматриваемую систему.

Работа А₁₂, совершаемая силами электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 поля (потенциал j₁) в точку 2 (потенциал j₂):

А₁₂= q (j₁ - j₂).

Если j₂ = 0, то .

Потенциал какой-либо точки электростатического поля численно равен работе, совершаемой силами поля при перемещении положительного единичного заряда из данной точки в точку поля, где потенциал принят равным нулю.

При изучении электростатических полей в каких-либо точках важны разности, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с нулевым потенциалом определяется только удобством решения данной задачи. Связь между потенциалом и напряжённостью имеет вид

Е_х = , Е_у = , Е_z = и ,

т.е. напряжённость электростатического поля равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциала.

Геометрическое место точек электростатического поля, в которых значения потенциалов одинаковы, называется эквипотенциальной поверхностью. Если вектор направлен по касательной к эквипотенциальной поверхности, то и . Это означает, что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности в каждой точке, т.е. E = E_n.

Примеры применения теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей

Поле заряда q, равномерно распределённого по поверхности сферы радиусом R с поверхностной плотностью выражается формулами:

если r > R, то = q и Е _r = .

если r < R, то = 0 и Е _r = 0.

Из связи между потенциалом и напряжённостью поля следует, что . Полагая j =0 при r®¥ , получим для потенциала поля вне сферы (r³ R):

Внутри сферы (r< R) потенциал всюду одинаков:

j = sR/e₀.

Графики зависимостей E _r и j от r приведены на рис. 1.4.

Поле заряда q, равномерно распределённого в вакууме по объёму шара радиусом R с объёмной плотностью выражается формулами:

если r> R, то = q и ;

если r< R, то

и .

Из связи j и следует, что для r> R ,

для r< R j = j(R) - и .

Графики зависимостей Е _r и j от r приведены на рис. 1.5.

Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме по плоскости с поверхностной плотностью s.

Эта плоскость (х=0) является плоскостью симметрии поля, вектор напряжённости которого направлен перпендикулярно плоскости от неё (если s> 0) или к ней (если s < 0).

Для всех точек поля

Так как , и полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости (х = 0), получим

Графики зависимостей Е и j от x приведены на рис. 1.6.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒