П3. Расчёт трёхфазного приёмника переменного тока

(см. задание КР6-3)

П3.1. Основные определения. Трёхфазная цепь – это совокупность трёх­фаз­ной системы ЭДС, трёхфаз­ной нагрузки (нагрузок) и соединительных проводов. Трёх­фазной системой ЭДС (напряжений) называют систему, состоящую из трёх (однофазных) элек­трических цепей, в которых действуют три синусоида­ль­ные ЭДС одной и той же частоты, равные по амплитуде и сдвинутые по фа­зе относительно друг друга на угол 2p/3 (120°). Три ЭДС создаются в неподвижных обмотках, разме­щён­ных в пазах статора трёхфазного генератора под углом 120° относи­тельно друг друга, при вращении ротора с намотанной на него катушкой, по которой про­текает постоянный ток.

Под фазойтрёхфазной цепи пони­мают участок цепи, по которому про­те­ка­ет одинаковый ток. Под фазой бу­дем также понимать аргу­­мент (wt - Y) синусо­идальной функции. Таким об­разом, в зависимо­сти от рас­смат­риваемого воп­ро­са, фаза - это либо учас­ток трёхфазной це­пи, либо аргу­мент синусоидаль­ной фун­кции.

Рис. П3.1. Схемы соединения фаз трёхфазных генератора и приёмника

Линейный провод А

iN

А

eС

c

В

eA

n

Нейтральный провод

N

a

b

Za

Zc

Zb

eВ

а)

iA

С

eCA

C

B

A

c

eBC

eAB

b

Zca

a

Zab

Zbc

б)

iA

iС

iB

iB

iС

П3.2. Схемы соединения фаз трехфазных генератора и приёмника.Об­мо­тки статора трёхфазного генератора соединяют по схеме зве­зда (Y) (рис. П3.1а, слева) или треугольник (D) (рис. П3.1б, слева). Трёхфаз­ная нагрузка (при­­ёмник) также может быть соединена по схеме звезда или треугольник (рис. П3.1а и б, справа). Электрические величины, относя­щи­е­­­ся к ге­не­ратору, будем сна­бжать ин­декса­ми из про­писных букв А, B и C, а ве­ли­чины, от­нося­щиеся к трёхфазному при­ём­ни­ку, - ин­дек­сами из строч­ных букв а, b и c.

Провода, соединяющие точки А и а, B и b, С и с, называют линейными(провод А, про­вод B и провод С); соот­ветственно и токи в них I_A, I_B, I_C называют линейными. Про­вод, соеди­ня­ющий точку N (нейтраль ге­­не­­ра­­то­ра) с точкой n (нейтральюприёмни­ка) (см. рис. П3.1а), назы­ва­ют нейтральным(иногда, ну­ле­­вым), а ток I_N в нём - током в ней­траль­ном проводе.

П3.3. Схемы соединения фаз генератора и приёмника звездой.Для упрощения анализа процессов в трёхфазной цепи будем пренеб­регать сопротивлениями ли­ней­­ных и нейтрального проводов и считать ис­точ­ники напряжения (рис. П3.2, слева) с ЭДС E_A, E_B и E_C идеальными. Напряжения меж­ду линейными проводами называют линейными: U_AB, U_BC, U_CA, а между каждым из линейных проводов и ней­тра­льным - фазными: U_A, U_B, U_C генератора и U_a, U_b, U_c при­ёмника (второй индекс N или n опус­ка­ют). Условно положительные направления ЭДС, линейных и фазных напряжений и токов в четырёхпроводной схеме звезда-звезда (Y-Y) указаны на рис. П3.2.

При принятых допущениях фазные напряжения трёхфазного приёмника в схеме Y-Y с четырьмя проводами (называемой соединением звез­да-звезда с нейтральным (нулевым) проводом) равны фазным нап­ряже­ниям ге­не­ра­тора, т. е.

U_a = U_A, U_b = U_B, U_c = U_C,

IB

IC

UC

IA

А

EC

В

EA

Ub

N

EB

C

UAB

UBC

Uc

UB

UA

UCA

Рис. П3.2. Четырехпроводная схема соединения генератора и трехфазного приемника

b

a

n

c

Za

Zc

Zb

Uа

IN

Ib

Ic

Iа

а так называемое напряжение смещения нейтралимежду точками n и N равно нулю (U_nN = 0).

Если сопротивления фаз приёмника одинаковые (см. рис. П3.2), т. е.

то нагрузка называется симметричной. В этом случае модули фазных токов одинаковые и равны соответствующим линейным токам:

I_a = I_b = I_c = I_ф= I_А = I_В = I_С = I_л = U_ф/Z_ф, (П3.1)

где U_ф = U_a = U_b = U_c = U_A = U_B = U_C - модули фазных напряжений при­ём­ника и трёхфазного генератора.

На рис. П3.3а приведена век­торная диаграмма напряжений и токов трёхфазного приёмника при симметричной нагрузке, носящей активно-ём­ко­с­тный характер: .

Uс = UС

jc

jа

Uab = UAB

Ic

Ubc = UBC

Iа

Ua = UA

Uca = UCA

Ib

jb

n

а)

Uл

30°

30°

120°

Рис. П3.3. Векторная диаграмма напряжений и токов приёмника при симметричной нагрузке (а) и треугольник фазных и линейного напряжений при соединении фаз приёмника по схеме звезда (б)

б)

Ub = UB

Uф

Uф

Как напряжения так и токи I_a, I_b, I_c составляют сим­метричные звёзды, поэтому сумма ком­плексов фазных токов

I_N = I_a + I_b + I_c = 0, (П3.2)

т. е. ток в нейтральном проводе равен нулю и нейтральный провод можно отключить. В результате получим эквивалентную трёхпроводную систему вклю­­чения при­ём­ника с генератором по схеме Y-Y.

Для соедине­ния фаз приёмника звёздой (см. рис. П3.3а) очевидно соотно­шение между линейными и фазными токами:

I_ф= I_л. (П3.3)

Выведем соотношения между линейными и фазными напряжениями для соединения приёмника и генератора по схеме Y-Y (четырёхпроводная схема). Согласно 2ЗК имеем (см. рис. П3.2 и рис. П3.3а)

U_AB = U_A - U_B = U_ab = U_a - U_b,

U_BC = U_В - U_С = U_bc = U_b - U_c,

U_CA = U_C - U_A = U_ca = U_c- U_a .

Если рассмотреть один из треугольников (рис. П3.3б), то легко вы­вести соотношение между линейным и фазным напряжениями, а именно:

(П3.4)

т. е. фазное напряжение в раз меньше линейного и отстаёт от него по фазе на угол 30° (точнее, вектор напряжения U_a отстаёт по фазе от век­тора U_ab, вектор U_b - от вектора U_bc, а вектор U_c - от вектора U_ca, , см. рис. П3.3а).

В четырёхпроводной системе при несимметричнойнагрузке, в кото­рой комплексные сопротивления фаз Z_a ¹ Z_b ¹ Z _c (на­п­ри­­мер, Z_a = -jX_a, Z_b = R_b - jX_b и Z_c = R_c - - jX_c), фаз­ные напряжения приём­ни­ка равны соответствующим фазным напря­же­ни­ям генератора, т. е.

Ua

Uc

Ub

Ib

IN

jc

jb

Ia

Ic

Ic

Рис. П3.4

Ia

jа

U_a = U_A, U_b = U_B, U_c = U_C,

а фа­зные токи различны и равны:

.

Ток в нейтральном проводе (рис. П3.4)

I_N = I_a + I_b + I_c. (П3.5)

Zc

Рис. П3.5. Схема приёмника (а), векторнные диаграммы напряжений и токов приёмника при нормальной режиме работы (б) и при обрыве фазы «с» (в)

Za

A

C

B

N

n

Ia

Zb

IN

a)

Ua

Uc

Ub

IN

Ia

Ib

Iс

б)

Ua

Uc

Ub

IN

Ia

Ib

Ib

в)

Ib

Ic

Uл

Пример П3.1.В схеме рис. П3.5а линейное напряжение нагрузки U_л = 380 В. Модули соп­ротивлений фаз нагрузки равны Z_ф = 110 Ом, но имеют раз­лич­ный ха­рак­тер: Z_a = R, Z_b = jX_L, Z_с = -jX_C. Найти токи и мощности фаз и приёмника, ток I_N в нейтраль­ном про­во­де, в том числе и при обрыве фазы «с».

Решение.1. Фазные напряжения приёмника:

2. Комплексы токов фаз

3. Построим векторную диаграмму напряжений и токов приёмникa.

В н и м а н и е! При построении векторных диаграмм напряжений и токов в трёхфазной цепи комплексную плоскость поворачивают против хода часовой стрелки на 90° и направляют по оси действительных чисел (вертикально вверх) вектор напряжения U_a = U_a = U_ф фазы «а» (или комплекс U_ab фазы «ab» при соединении фаз приёмника по схеме треугольник). Векторы напряжений и вычерчивают в комплексной плоскости в соответствии с их аргументами.

В цепи ( см. её схему на рис. П3.5а) ток I_а совпадает по фазе с напряжением U_a, ток I_b отстаёт по фазе от напряжения U_b на 90°, а ток I_c опережает по фазе напряжение U_с на 90° (рис. П3.5б).

4. Комплекс тока в нейтральном проводе равен сумме комплексов фазных токов, т.е.

I_N = I_а + I_b + I_c = =

= 2 + 4× (-0, 866) = -1, 464 = A.

5. Комплекс тока в нейтральном проводе при обрыве фазы «с» равен сумме комплексов фазных токов I_а и I_b, т.е.

I_N = I_а + I_b =

= 2 - 2× (-0, 866) + j2× 0, 5 = 0, 268 + j = 1, 035e^j75° A.

6. Векторная диаграмма напряжений и токов приёмника при обрыве фазы «с» пред­ставлена на рис. П3.5в).

7. Комплексные мощности фаз приёмника:

S_a = U_a = 220 × 2 = 440 B× A (P_a = 440 Вт, Q_a = 0),

S_b = U_b = × = 440cos270^° - j440sin270^° B× A = j440 B× A

(P_b = 0, Q_b = 440 вар).

S_с = U_с = × = 440cos270^° + j440sin270^° B× A = -j440 B× A

(P_с = 0, Q_с = - 440 вар).

8. Комплексная мощность приёмника, фазы которого соединены звездой,

S_Y = S_a + S_b + S_с = 440 + j440 - j440 = 440 B× A (P_Y = 440 Вт, Q_Y = 0).

Iab

Рис. П3.6. Схема соединения трехфазного приёмника энергии с генератором, соединенных по схеме треугольник

Ica

Ibc

ЕCA

B

C

A

c

ЕBC

ЕAB

b

Zca

a

Zab

Zbc

UAB = Uab

UBC = Ubc

UCA = Uca

IA

IB

IC

2.7.3. Схема соединения фаз генератора и приёмника треугольником.Пусть обмотки трёхфазного генератора и трёхфазный приёмник сое­динены по схеме треугольник(схема соединения D-D)(рис. П3.6). Так как три ЭДС ге­­нератора равны по модулю и сдвинуты по фазе на 120° отно­сительно друг друга, то сумма трёх комплексов ЭДС в замкнутом треугольнике А-В-С-A равна ну­лю, т. е. E_AB + E_BC + E_CA = 0. Поэтому, если к зажимам А, В и С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать уравнительный ток.

Как видно из рис. П3.6, в такой схеме возможно только трёхпроводное сое­ди­­­не­ние трёхфазного приёмника с генератором; последний может быть со­е­­ди­­нён звездой. На этом же рисунке показаны условно положительные направления линей­ных и фазных напря­же­ний и то­ков в систе­ме соединения D-D.

Фазные напряженияприёмника, фазы которго со­е­динёны треугольником, рав­ны соответствующим линей­ным нап­­ря­жениям генератора:

U_ab = U_AB, U_bc = U_BC,

U_ca = U_CA, U_ф= U_л, (П3.6)

Uab = UАВ

Ibc

-Ibc

Ica

Рис. П3.7

-Ica

-Iab

jab

IA

Iab

IC

IB

Ubc = UВС

Uca = UСА

jbc

jca

а модули фазных токов приёмника при симметричнойнагрузке (Z_ab = Z_bc = Z_ca = Z_ф = R_ф + jX_ф):

I_ab = I_bc = I_ca = I_ф = . (П3.7)

Согласно первому закону Кирхгофа для точек а, b и с (см. рис. П3.6) линейные токи:

I_A = I_ab - I_ca,

I_B = I_bc - I_ab,

I_C = I_ca - I_bc.(П3.8)

При симметричной нагрузке комплексы как фаз­­ных, так и линейных токов состав­ля­ют сим­­­­­мет­­рич­ные звёзды (рис. П3.7), а соот­но­ше­ние модулей между ними

I_л= I_ф, I_ф= , (П3.9)

При несимметричнойнагрузке фазные токи различны:

I_ab = I_bc = I_ca = (П3.10)

где

Линейные токи рассчитывают по формулам (П3.8). При несимметричной нагрузке ли­ней­ные токи могут быть как больше, так и мень­ше фазных токов нагрузки. Заметим, что сумма комплексов линейных токов всегда рав­на нулю, т. е.

I_A + I_B + I_C = 0.(П3.11)

Рис. П3.8. Схема приёмника энергии (а) и векторныея диаграммы напряжений и токов при нормальной работе (б) и при обрыве фазы «bc» (в)

Iab

Ibc

IC

IB

Ica

c

b

Zca

a

Zab

Zbc

Uab

Ubc

Uca

IA

А

В

С

а)

Uab

-Ica

Ibc

Uсa

Ubc

IA

Iab

IB

-Iab

б)

IС

Ica

-Ibc

Uab

-Ica

Uсa

Ubc

IA

Iab

IB

= -Iab

в)

IС

= Ica

Пример П3.2.Трёхфазный потребитель энергии (рис. П3.8) с сопротивлениями фаз Z_ab = 10 Ом, Z_bc = 10 + j10 = , Z_ca = 10 - j5 = Ом сое­динён треу­голь­­ни­ком и включён в трёхфазную сеть с линейным нап­­ряже­ни­ем U_л= 380 В. Оп­ре­делить фаз­ные и линейные токи, мощности фаз и приёмника и построить вектор­ную диаграмму токов и напряжений, в том числе и при обрыве фазы «bс».

Решение. 1. Комплексы фазных токов:

I_ab = = 38 A,

I_bc = А,

I_ca =

2. Комплексы линейных токов:

I_A = I_ab - I_ca = 38 -

I_B = I_bc- I_ab =

I_C = I_ca- I_bc -

3. Комплексы фазных и линейных токов при обрыве фазы «bc»:

I_ab = 38 A, I_bc = 0, I_ca

I_A = I_ab - I_ca = I_B = I_bc- I_ab = -I_ab = -38 A,

I_C = I_ca- I_bc = I_ca

4. Комплексные мощности фаз:

S_ab = U_ab = 380× 38 = 14440 B× A (P_ab = 14, 44 кВт, Q_ab = 0),

S_bc = U_bc = 380 × = 10220 B× A = 10, 21 кB× A

(P_bс = S_bс cos45° = 10, 21 × 0, 707 = 7, 22 кВт, Q_bс = S_bсsin45° = 10, 21 × 0, 707 = 7, 22 квар),

S_ca = U_ca = 380 × = 12882 B× A » 12, 88 кB× A

(P_сa = S_сacos26, 5° = 12, 88 × 0, 895 = 11, 53 кВт,

Q_сa = -S_сasin26, 5° = -12, 88 × 0, 446 = -5, 75 квар),

5. Комплексная мощность, потребляемая приёмником,

S_∆ = S_ab + S_bc + S_ca = 14, 44 + 10, 21 + 12, 88 =

= 14, 44 + 7, 22 + j7, 22 + 11, 53 - j5, 75 = 33, 19 + j1, 47 = 33, 22 кB× A,

где активная мощность приёмника Р_∆ = 33, 19 кВт и реактивная индуктивная мощность Q_∆ = 1, 47 квар.

6. Векторные диаграммы напряжений и токов потребителя энергии при нормальной работе и при обрыве фазы «bc» приведены на рис. П6.8б и на рис. П6.8в.

 

Л и т е р а т у р а

 

1 Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Учебное пособие для втузов. – М.: Физматлит, 2007.

– 568 с.

2. Марченко А.Л., Опадчий Ю.Ф.Электротехника и электроника. Учебник для вузов. В 2-х кн. Кн. 1. Электротехника. – М.: НИЦ Инфра-М, 2015. – 560 с.

3 Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Компакт-диск (660 Мб). – М.: Дискарт, 2007.

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Популярное:

1. I Расчет номинального состава бетона
2. III. Порядок заполнения титульного листа расчета
3. MS Excel. Расчеты с условиями. Работа со списками
4. Алгоритм расчета доз органических и минеральных удобрений по прогнозному ротационному балансу элементов питания растений
5. Алгоритм расчета непроизводительных затрат рабочего времени
6. Алгоритм расчета режимов ТИГ
7. Алгоритмы проектных расчетов гидрометаллургического оборудования
8. Алгоритмы проектных расчетов пирометаллургического оборудования
9. Алгоритмы проектных расчетов электрометаллургического оборудования.
10. Анализ денежных потоков и расчет ликвидного денежного потока.
11. АНАЛИЗ И РАСЧЁТ ОДНОФАЗНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
12. АНАЛИЗ И РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ