Услов паралел.,перпен. прямых.

Так как угол между двумя прямыми высчитываеться по формуле:

Cos(ϕ )=+-(A₁A₂+B₁B₂)/((A₁²+ B₁²)^1/2*(A₂²+ B₂²)^1/2

Услов паралел: A1/A2=B1/B2

Услов перпен: A₁A₂+B₁B₂=0

Расстояние от точки до плоскости..

Даны плоскость (n, r-r₀) и точка M₁,

NM₁=r₁-r₀-M­₀N, умножим части равенства скалярно на вектор n₀=n/|n|:

(NM₁, n₀)=+-d; (r₁-r₀, n₀)=(r₁-r₀, n)/|n|; (M₀N, n₀)=0

d=|(r₁-r₀, n)|/|n|=> d=|Ax₁+By₁+Cz₁+D|/(A²+B²+C²)^1/2

Угол между плоскостями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; n₁=(A₁, B₁, C₁); A₂x+… B₂, C₂)

(n₁, n₂)=|n₁|*|n₂|*cos(α )

Cos(α )=(n₁, n₂)/|n₁|*|n₂|

Cos(α )=(A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂)/(( A₁²+B₁²+C₁²)^1/2*( A₂²+B₂²+C₂²)^1/2)

Услов паралел и перпенд плоск-тей

Для того чтобы две плоскости были паралел достаточно чтобы их норм. векторы были колинеарные: A₁/A₂= B₁/B₂= C₁/C₂

Для того чтобы две плоскости были перпенд достаточно чтобы их норм. векторы были ортогональные: A₁A₂₊B₁B₂+C₁C₂=0

Уравнение прямой в пространстве. Векторное, каноническое уравнение прямой.

Данная система задает уравнения прямой в пространстве, как систему пересечения двух плоскостей.
S(m, n, p) – направленный вектор прямой, (х-а; у-в; z-с); || ;

= ; =λ откуда = λ ( );

= – векторное уравнение прямой, в параметрической форме имеет вид:

, где tЄR – параметр

каноническое уравнение, где А(x₀; y₀; z₀) – заданная точка прямой, а вектор S(m, n, p) – направленный вектор прямой.

Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

Пусть две прямые заданы в каноническом виде: и

Направленные векторы данных прямых S₁(m₁, n₁, p₁) и S₂(m₂, n₂, p₂)

, откуда

Углом между прямой и плоскостью будем считать один из смежных углов между прямой и её проэкцией на эту плоскость:

Q: Ax+By+Cz+D=0; L:

откуда

25 условия параллельности и перпендикулярности прямых, прямой и плоскости
условие параллельности прямых – прямые L₁ и L₂ будут параллельными, если координаты соответствующих им направляющих векторов будут пропорциональными - если прямые заданы в канонической форме. (это для прямой в пространстве)

Прямые l₁ и l₂ будут параллельными, если координаты нормальных векторов n₁ и n₂ будут пропорциональными .(прямые заданы общим уравнением прямой (для прямой на плоскости))

Если прямые заданны уравнением с угловым коэффициентом к, то необходимым условием параллельности таких прямых является равенство этих коэффициентов.( для прямой на плоскости)

Условие перпендикулярности прямых - прямые L₁ и L₂ будут перпендикулярными, если скалярное произведение направляющих векторов равное нулю m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂ = 0 - если прямые заданы в канонической форме. (это для прямой в пространстве)

Прямые l₁ и l₂ будут перпендикулярными, если скалярное произведение нормальных векторов n₁ и n₂ будет равно 0: А₁А₂+В₁В₂=0.(прямые заданы общим уравнением прямой (для прямой на плоскости))

Если прямые заданны уравнением с угловым коэффициентом к, то необходимым условием перпендикулярности таких прямых является: к₂= - .( для прямой на плоскости)

Прямая и плоскость –

|| прямой L и плоскости Q – скалярное произведение нормального вектора и направляющего вектора плоскости должно равняться нулю. (то есть данные векторы должны быть перпендикулярны между собой)

то есть Am+Bn+Cp=0

_|_ прямой L и плоскости Q – вектор нормаль должен быть параллелен направляющему вектору плоскости.
то есть

Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида Ax2+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.

Отличительные особенности окружности в общем уравнении:

- коэффициенты при х² и у² – равны;

- отсутствует член, содержащий произведение ху;

уравнение

для 1) , для 2) .
соответственно так же и для оси Х.

Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокуса есть величина постоянная и равная 2а.

r₁ и r₂ – фокальные радиусы точки М
F₁ и F₂ - фокусы

и

каноническое уравнение эллипса:

а и b – полуоси эллипса, точки А₁, А₂, В₁, В₂ – вершины эллипса; ОХ и ОУ – главные оси эллипса, ОХ – фокальная ось; О – центр эллипса; - фокусы эллипса; при а=в имеем уравнение круга.

эксцентриситет эллипса

Директрисы эллипса –

Дилектрисы – прямые, перпендикулярные оси Х, находящиеся на равном расстоянии от оси эллипса.

Гипербола.

Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

r₁ - r₂ = 2а

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a² + b² = c².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Парабола

Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и от директрис.

; ; y²=2px – уравнение параболы

Р – называется параметром параболы.

Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы, до её фокуса.
Координаты фокуса F( ; 0) (фокус параболы лежит на ее оси симметрии).

Уравнение директрисы – Х= - .

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямой, параллельной какому-либо вектору и скользящей по всем точкам некоторой кривой второго порядка.

Прямая, параллельная вектору, называется образующей.

Кривая второго порядка называется направляющей.

Свойства цилиндрических поверхностей:

Если некоторая точка принадлежит поверхности, описываемой уравнением F(x, y) = 0, то все точки прямой, проходящей через эту точку || оси OZ, так же принадлежат цилиндрической поверхности.

Уравнение в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, || оси OZ направляющей является эллипс с полуосями а и в.

В частности уравнение х² + у²= R² в трехмерном пространстве определяет круглый цилиндр.

Уравнение y²=2px в трехмерном пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующими, || оси OZ, направляющей является парабола.

Конические поверхности

Конические поверхности – это поверхности, образованные перемещением прямой, закрепленной в одной точке и пересекающей все точки направляющей.

Сечения конической поверхности

Уравнения конусов второго порядка

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Оценка инженерно-геологических и гидрогеологических условий площадки застройки.
2. I.4. СЕМЬЯ И ШКОЛА : ОТСУТСТВИЕ УСЛОВИЙ ДЛЯ ВОСПИТАНИЯ
3. IV. Основные условия культуры
4. IX. Порядок и условия заочного голосования (опросным путём).
5. MS Excel. Расчеты с условиями. Работа со списками
6. А – диаграмма срабатывания триггера; б – условные обозначения синхронизирующих входов; в – диаграмма приема двухступенчатого
7. Абсолютная монархия в России (признаки, особенности, идеалогия, условия возникновения, реформы Петра первого)
8. АГ 52.Направляющие косинусы вектора а удовлетворяют условию
9. Актуальные проблемы совершенствования деятельности налоговых органов РФ для реализации промышленно-торговой политики РФ в современных условиях хозяйствования
10. Актуальные проблемы совершенствования деятельности налоговых органов РФ для реализации промышленно-торговой политики РФ в современных условиях хозяйствования.
11. Анализ инженерно-геологических условий
12. Анализ предполагаемого технологического процесса с точки зрения охраны окружающей среды и условий труда