Простейшие дроби и их интегрирование

Простейшие дроби — правильные дроби, которые нельзя сократить.

Есть 4 типа простейших дробей (буду сразу приводить их интегрирование) (АХТУНГ: много знаков и скобок! ):

1) A/(x-a)

∫ A/(x-a) dx=A*∫ d(x-a)/x-a=A*ln(x-a)+C

2) A/(x-a)^k

∫ A/(x-a)^kdx=A*∫ d(x-a)/(x-a)^k=(A/1-k)*(x-a)^-k+1+C

3) (mx+n)/(x²+px+q)

∫ (mx+n)/(x²+px+q) dx=∫ (mx+n)/((x+p/2)² +(q-p²/4)) dx=(x+p/2=t, dx=dt,
q-p²/4=a², x=t-p/2)=∫ (m*(t-p/2)+n)/(a²+t²) dt=(∫ (m*t)/(a²+t²) dt+
∫ (n-m* p/2)/ (a²+t²) dt=m/2*∫ 1/(a²+t²) dt²+(n-m* p/2)*∫ 1/(a²+t²) dt=
= m/2*∫ 1/(a²+t²) d(t²+ a²)+(n-m* p/2)*((1/a)*arctan(t/a))=
(m/2)*logn(a²+t²)+ ((n-m* p/2)/a)*arctan(t/a))+C

4) (mx+n)/(x²+px+q)^k

∫ (mx+n)/(x²+px+q)^k dx=∫ (mx+n)/((x+p/2)² +(q-p²/4))^k dx=(x+p/2=t, dx=dt,
q-p²/4=a², x=t-p/2)=∫ (m*(t-p/2)+n)/(a²+t²)^k dt=(∫ (m*t)/(a²+t²)^k dt+
∫ (n-m* p/2)/ (a²+t²)^k dt= m/2*∫ 1/(a²+t²)^k dt²+(n-m* p/2)*∫ 1/(a²+t²)^k dt= m/2*∫ 1/(a²+t²)^k d(t²+ a²)+ (n-m* p/2)*I_k=((m/(2*1-k))*(a²+t²)^1-k+(n-m* p/2)*I_kI_k=∫ 1/(a²+t²)^k dt=((a²+t²)^-k=u, du=-2*k*t*(a²+t²)^-k-1=dv=dt, v=t)=
t/(a²+t²)^k+2*k*∫ t²/(a²+t²)^k+1 dt=t/(a²+t²)^k+2*k*∫ (t²+a²-a²)/(a²+t²)^k+1 dt=
t/(a²+t²)^k+2*k*∫ 1/(a²+t²)^k dt-2*k*a²*∫ 1/(a²+t²)^k+1 dt;
∫ 1/(a²+t²)^k dt=t/(a²+t²)^k+2*k*(∫ 1/(a²+t²)^kdt=I_k)-2*k*a²*∫ 1/(a²+t²)^k+1 dt (∫ 1/(a²+t²)^k+1 dt=I_k+1);

I_k=t/(a²+t²)^k+2*k*I_k-2*k*a²*I_k+1;

2*k*a²*I_k+1=t/(a²+t²)^k-(2*k-1)*I_k;
I_k+1=(1/(2*k*a²))*(t/(a²+t²)^k-(2*k-1)*I_k);

I₁=(1/a)*arctan(t/a)

Такое писали на лекции…

Интегрирование тригонометрических ф-ций

Интегрирование тригонометрических функций.

I. Интеграл вида , где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

Действительно найдем.

= arctg(t);

x = 2 arctg(t); dx = ;

sin(x) = sin2 = ;

разделим числитель и знаменатель на cos2 ; |tg = t|

sin(x) = ;

cos(x) = , делим на cos2 ;

cos(х) = ; тогда

= = ∫ r(t) dt, где r(t) – рациональная функция

относительно t.

r(t)

Пример: Вычислить.

= | tg = t | = = =

= 2 = -2 = -2 = ;

Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x).

Замечание1: часто применение универсальной подстановки приводит к громоздким вычислениям. Некоторые интегралы могут быть решены другим способом.

а) ∫ R(sin(x))cos(x) dx = | sin(x) =t; cos(x)dx = dt | = ∫ R(t) dt.

∫ R(t) dt – интеграл от рациональной функции относительно t.

б) ∫ R(cos(x))sin(x) dx = – ∫ R(t) dt;

в) ∫ R(tg(x)) dx = | tg(x)=t; x= arctg(t); dx = dt/(1+t2)| = = ∫ r(t)dt,

r(t)

где r(t)- рациональная функция относительно t.

Пример: вычислить интеграл.

= = |sin(x) = t; cos(x)dx=dt| = =

= _-t2 +1 |t+2 =∫ (2 – t –3/(t+2))dt = 2t – t2/2 – 3 ln|t+2| = 2 sin(x)-1/2sin2x –3ln|sin(x)+2|+C

- t2-2t -t+2

_ 2t+1

2t+4

-3

Замечание2: если подынтегральная функция содержит sin(x) и cos(x) в четной степени и произведение sin(x)cos(x), то целесообразней применять подстановку tg(x) = t, тогда

x = arctg(t), dx = ;

;

sin(x)cos(x) = ;

В результате получается рациональная функция относительно t.

Пример: = | tg(x) = t; dx = | =

= = = = =

= = + C.

II. Интеграл вида

а)

I случай. m и n – положительные, одно из них нечетное.

Пусть m=2p+1, тогда ∫ sin2p(x)cosn(x) sin(x)dx = – ∫ (sin2x) p cosn(x) d(cos(x)) =

= – ∫ (1 –cos2x) p cosn(x) d(cos(x)).

II.случай. m и n – целые, положительные, четные.

Пусть m=2p, n=2q, тогда

∫ sinm(x)cosn(x)dx = ∫ sin2p(x)cos2q(x)dx = ∫ (sin2x) p(cos2x) qdx = ;

Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).

III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ctg(x)=t;

Пример1:

I.случай. ∫ sin5(x)cos2(x)dx = ∫ sin4(x)cos2(x)sin(x)dx = –∫ (sin2x) 2cos2(x)d(cos(x)) =

= –∫ (1 – cos2x) 2cos2(x)d(cos(x)) = –∫ (cos2x – 2 cos4x + cos6x)d(cos(x)) = –∫ cos2(x)d(cos(x)) +

+ 2 ∫ cos4(x)d(cos(x)) –∫ cos6(x)d(cos(x)) = – cos3(x)/3 + 2 cos5(x)/5 – cos7(x)/7 +C.

Пример2:

∫ sin4(x)cos2(x)dx = = ∫ (1 – cos2x)(1 – cos2(2x))dx =

= ∫ (1 – cos2x)sin2(2x))dx = ∫ sin2(2x))dx – ∫ cos2x∙ sin2(2x))dx = –

– ∫ sin2(2x))d(sin2x) = ∫ dx – ∫ cos(4x)dx – sin3(2x) = x – sin(4x) –

– sin3(2x) + C.

Пример3:

= ∫ sin2(x)cos-6(x)dx = | m+n = 2-6 = 4| = =

= ∫ tg2(x)( 1+tg2(x))d(tg(x)) = ∫ tg2(x)d(tg(x)) + ∫ tg4(x)d(tg(x)) = tg3(x)/3 + tg5(x)/5 + C.

Пример4:

= = = ∫ sin–6(x)cos–6(x) dx = | m=-6; n=-6; m+n=-12; | = = = = = = |(1+x)n= 1 + nx +

+ | = = ∫ tg–6x d(tg(x)) +

+ ∫ tg–4x d(tg(x)) + ∫ tg–2x d(tg(x)) + ∫ d(tg(x)) + ∫ tg2x d(tg(x)) +

+ ∫ tg4x d(tg(x)) = ( + 5 tg2(x) + tg3(x)+ tg5(x)) + C.

Определённый интеграл, его свойства.

Для начала рассмотрим понятие «Криволинейная трапеция».

Криволинейная трапеция — фигура, заданная на плоскости и ограниченная прямыми х=а и х=b и функ. f(x), которая непрерывна на промежутке [a, b].

Производная от площади криволинейной трапеции — функция, ограничивающая эту трапецию.

S(x)= =F(x)+c

Теорема о среднем для определенного интеграла.

Сначала рассмотрим одну теорему (Т. 1):

Если f(x) интегрируема на промежутке [a, b] и m f(x) M, то m*(b-a) .

M и m — наибольшее и наименьшее значения f(x)

Теперь теорема о среднем значении определённого интеграла.

Если f(x) интегрируема на промежутке [a, b] и m f(x) M, то =μ *(b-a), m μ M.

Доказательство

На основе Т.1 запишем, как будет выглядеть m*(b-a) для a b.

Неравенство сохраняет знаки.

В силу непрерывности f(x) найдётся μ = => .

Если f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то = , c

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f(x) интегрируема на промежутке [a, b] для всех х и x=g(t),

Есть производная g’(t₁), t₁ –[α, β ],

a< =x< =b, α < =t< =β и g(β )=b, g(α )=a.

Тогда

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

1) x=a, x=b, y=0, y=f(x)

2) y=f₁(x), y=f₂(x), f₂(x)> =f₁(x)

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 67