Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства: ; ; Операции над комплексными числами в показательной форме. Пусть и , тогда ; ; ;
Определители н-ого порядка правило крамера Пусть имеется система уравнений: Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δ j определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1, 2,...n). Теорема 1 Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:
Понятие матрицы Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так m x n)называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца. Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i, j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем: - множество всех матриц размера m на n; - матрица A с элементами в позиции (i, j); - матрица размера m на n. Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m, n), называется главной диагональю матрицы. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O. Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица. Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E. Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом. Действия над матрицами 1.Суммой двух матриц одинакового размера A=(aij) и B=(bij) называется матрица C, у которой (cij)=(aij+bij), и записывают C = A + B. 2.Произведением матрицы A=(aij) на число k называется такая матрица C=(cij), у которой (cij) = (kaij). Для операции произведение матрицы на число справедливы следующие соотношения: 1. kA=Ak; 2. k(A+B)=Ak+Bk; 3. ; 4. 3. Если A=(aij)mxp, а B=(bij)pxn, то произведением матрицы A на матрицу B назовем матрицу C, каждый элемент которой вычисляют по формуле: C = AxB = (aij)mxpx(bij)pxn=(as1b1k+as2b2k+...+askbsk)mxn=(cij)mxn Из определения 12 видно, что каждый элемент матрицы C = AB, расположенный в s -ой строке и k -ом столбце равен сумме произведений элементов s -ой строки матрицы A на элементы k -го столбца матрицы B. 4. Матрица B, у которой все элементы равны элементам матрицы A по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки по сравнению со знаками соответствующих элементов матрицы A, называется противоположной матрице A и записывается B=(-1)(aij). 5. Если в некоторой матрице A поменять местами столбцы и строки, то полученная матрица будет называться транспонированной и обозначается Aт. 6. Обратной по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство AA-1 = A-1A = E 7. Если выполняется равенство A = Aт, то такая матрица называется симметрической. 42. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi— свободными членами. Подлежат нахождению числа xn. Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме AX=B. Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей; A = ; X = — вектор-столбец из неизвестных xj. B = — вектор-столбец из свободных членов bi. Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук). Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов = Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2, ..., xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца C = Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 1369; Нарушение авторского права страницы