Однородные системы уравнений, матричный метод решения систем уравнений

Система уравнений называется однородной, если B=0, т.е система уравнений имеет вид АХ=0.

Однородная система всегда совместима, т.е имеет решение Х=0. Система всегда имеет нулевое решение. Если определитель системы не равен 0, то Это решение единственное, если же определитель системы равен 0, то кроме нулевого решения существует бесчисленное множество решений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц. Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: A*X = B. Сделаем следующее преобразование: A^-1*A*X = A^-1*B, т.к. А^-1*А = Е, то Е*Х = А^-1*В Х = А^-1*В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =
Найдем обратную матрицу А^-1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ = = -5; M₁₂ = = 1; M₁₃ = = -1;
M₂₁ = M₂₂ = M₂₃ =
M₃₁ = M₃₂ = M₃₃ =

A^-1 = ;

Cделаем проверку:
A*A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.
Х = = А^-1В = * = .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Метод Гаусса

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Определение. Элементарные преобразования системы уравнений — это:

1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;

2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.

Определение. Переменная x_i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x_i входит с коэффициентом 1;

2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x_i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x_i, и равносильную исходной;

3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;

4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Множество вещественных чисел и их свойства.

Множество вещественные чисел обозначается R и содержит в себе следующие подмножества:

1) N(натуральные числа)

2) Z(целые числа: N, 0 и отрицательные)

3) Q(рациональные числа: Z, правильные несократимые дроби, десятичные дроби

4) R(вещественные числа: Q, периодические дроби, и т.д.)

Свойства

1. Вещественные числа можно складывать, и при этом выполняются следующие законы:
α +β =β + α (коммутативный),

Ǝ (α +β )+γ =α +(β +γ )(ассоциативный),

Ǝ 0: α +0=0(существование нуля),

Ǝ (-α ): α +(-α )=0(существование противоположного элемента.

2. Вещественные числа можно перемножать, и при этом выполняются следующие законы:

α *β =β *α (коммутативный),

(α *β )*γ = α *(β *γ )(ассоциативный),

Ǝ 1: α *1=α (существование едининцы),

Ǝ : α * =1(существование обратного элемента).

α /β =α *

α *(β +γ )=α *β +α *γ (дистрибуция)

3. Каждое вещественное число, отличное от нуля, либо положительно, либо отрицательно. При этом сумма и произведение положительных чисел — положительное числа.
Если α — положительное число, то (-α ) — отрицательное, а если α — отрицательное число, то (-α ) — положительное.

4. Каждое вещественное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, и при этом каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого вещественного числа. Разные вещественные числа имеют разные десятичные записи.

Предел последовательности)

Последовательностью назыв. совокупность чисел каждому из которого соотв. определенный номер, причем одному и тому же числу могут соотв. разные номера.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Предел числовой последовательности: число А назыв. пределом последовательности {аn}, если для любого исп. малого положительного эпсила найдется такое N что для n выполнится неравенство / аn – A / < e

Последовательности:

1.монотонно возрастающие аn+1 ≥ аn

2. монотонно убывающие аn+1 ≤ аn

Последовательность {аn}, называется ограниченной сверху если найдется такое число М что начиная с некоторого момента аn < = M

Последовательность {аn}, называется ограниченной снизу если найдется такое число М что начиная с некоторого момента аn > = M.

Всякая возрастающая не ограниченная сверху последовательность имеет предел и этот предел – точная верхняя грань.

47 (Верхние и нижний грани множеств)

верхняя грань (граница) множества — число , такое что .

нижняя грань (граница) множества — число , такое что

Верхняя грань некоторого множества действительных чисел - наименьшее число, ограничивающее сверху это множество. Нижняя грань данного множества - наибольшее число, ограничивающее его снизу.

Пусть имеется некоторое множество вещественных чисел М, число а называется точной верхней гранью множества М если для любого " х Î М выполнено 2 условия:

1) х ≤ а

2) " e > 0 $х Î М х > а - e

Число а называется точной нижней гранью множества М если для любого " х Î М выполняется 2 условия:

1) х ≥ а

2) " e > 0 $х Î М х > а + e

Частичный предел)

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо ее подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность имеющая предел. Очевидно, что только определенная точка множества элементов подпоследовательности может быть ее частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать dn = 1/n и, выбирая в каждой d-окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность)

Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( или ) — наибольший элемент.

Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности не пусто. Пусть — верхняя грань множества частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку ). Значит, по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность сходится к тогда и только тогда, когда , так как получается, что — единственная предельная точка множества элементов последовательности

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

(1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

(2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Поэтому (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Функция. Основные понятия. Предел функции.)

Функция (или Функциональная зависимость) – это зависимость переменной y от переменной x. Это такая зависимость, при которой каждому значению переменной x соответствует только одно значение переменной y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом.

Переменную y называют зависимой переменной или функцией от переменной x.

Значение независимой переменной называют абсциссой (горизонтальная плоскость графика).

Соответствующее значение зависимой переменной называется ординатой (вертикальная плоскость графика).

Совокупность значений независимой переменной называется областью определения функции.

Совокупность значений зависимой переменной называют областью значений функции.

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции.

Преде́ л фу́ нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒