Устойчивости в плоскости варьируемых

параметров x1 и x2

Исходным материалом для исследования устойчивости САУ по критерию Гурвица является ее характеристический полином A(p). Система третьего порядка будет устойчивой, если выполняется неравенство

, (4.2)

где – коэффициенты характеристического полинома.

На границе устойчивости должно выполняться равенство:

, (4.3)

В рассматриваемом случае

Оценим устойчивость САУ по условию (4.2):

Т.к. условие (4.2) (положительность главного минора определителя Гурвица ) не выполняется, то система неустойчива.

Пусть варьируемыми параметрами являются коэффициент передачи и постоянная времени первого звена САУ, то есть и . Введем третий варьируемый параметр и выведем расчетные соотношения для параметров и , так как . В этом случае выражения для коэффициентов характеристического полинома примут вид:

Подставим выражения коэффициентов в условие границы устойчивости (4.3) и разрешим полученное выражение относительно параметра . Тогда получим:

;

. (4.4)

При подстановке в качестве параметра значения постоянной времени в выражение (4.4) рассчитывается граничное значение коэффициента передачи разомкнутой цепи, что является проверкой правильности выполнения п. 3.2.3 задания:

Путем простого пересчета по формуле строится граница устойчивости САУ в области параметров и . Результаты вычислений по формуле (4.4) приведены в табл. 4.1, а сама граница устойчивости изображена на рис. 4.1. Область устойчивости САУ будет располагаться между кривой и осями координат, поскольку именно здесь выполняется условие .

Таблица 4.1

, с	0, 225	0, 25	0, 275	0, 3	0, 325	0, 35	0, 375	0, 4
	15, 38	8, 2	5, 82	4, 64	3, 94	3, 48	3, 157	2, 192

Построение логарифмических частотных

Характеристик САУ для заданного запаса

Устойчивости по амплитуде

Исходя из определения запаса устойчивости по амплитуде DG, можно записать следующее уравнение:

где и – коэффициент передачи разомкнутой цепи и его граничное значение.

Решая это логарифмическое уравнение, можно рассчитать значение необходимого коэффициента передачи разомкнутой цепи , исходя из известного и заданного запаса устойчивости по амплитуде DG:

. (4.5)

В рассматриваемом задании, для DG = 10 дБ, в соответствии с формулой (4.5) принимается следующее значение :

, отсюда .

Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) строятся непосредственно по передаточной функции разомкнутой цепи системы, причем

, (4.6)

, (4.7)

где и – ЛАЧХ и ЛФЧХ i-го звена САУ с частотной характеристикой ; – количество звеньев; – функция аргумента (для типовых звеньев может быть рассчитана через вещественную и мнимую частотные характеристики по формуле:

При построении асимптотической ПАЧХ следует руководствоваться следующим алгоритмом:

- рассчитывается коэффициент передачи на частоте w = 1 по выражению ;

- рассчитываются частоты сопряжения ЛАЧХ звеньев , где – постоянная времени i-го звена;

- асимптотическая ЛАЧХ САУ строится по асимптотическим ЛАЧХ ее звеньев, причем следует помнить, что ЛАЧХ пропорционального звена имеет нулевой наклон во всем диапазоне частот, ЛАЧХ интегрирующего звена - наклон -20 дБ/дек во всем диапазоне частот, ЛАЧХ инерционного звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон -20 дБ/дек после этой частоты, ЛАЧХ форсирующего звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон +20 дБ/дек после этой частоты, ЛАЧХ колебательного звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон - 40 дБ/дек после этой частоты.

Ниже приведены расчетные соотношения для ЛФЧХ некоторых типовых звеньев:

– для пропорционального звена;

– для интегрирующего звена;

– для инерционного звена;

– для форсирующего звена;

– для колебательного звена.

Проиллюстрируем действие описанного алгоритма для рассматриваемого задания. Рассчитаем значение коэффициента передачи на нулевой частоте

дБ.

Рассчитаем частоты сопряжения:

дек – для колебательного звена;

дек – для форсирующего звена;

дек – для инерционного звена.

Для заданного варианта расчетная формула для ЛФЧХ будет иметь вид:

На рис. 4.2а построена асимптотическая ЛАЧХ для заданной САУ. Она имеет нулевой наклон до частоты сопряжения , соответствующей инерционному звену. Инерционное звено «включается» и ЛАЧХ приобретает наклон –20 дБ/дек. Этот наклон сохраняется до частоты сопряжения . Далее «срабатывает» колебательное звено, и суммарный наклон ЛАЧХ становится равным –60 дБ/дек, который сохраняется до частоты сопряжения , соответствующей форсирующему звену. Оно снижает наклон ЛАЧХ до –40 дБ/дек и этот наклон остается неизменным при дальнейшем увеличении частоты. Частота , при которой ЛАЧХ пересекает ось lg(w) (т.е. коэффициент передачи САУ становится равным единице), называется частотой среза и характеризует запас устойчивости САУ по фазе Dj.

На рис. 4.2б показана ЛФЧХ САУ, рассчитанная по приведенному выше выражению. Легко видеть, что начальный фазовый сдвиг составляет около –50°. Это обусловлено одновременным «действием» колебательного и инерционного звеньев. Затем фаза возрастает (по абсолютной величине) и на частоте переворота фазы , определяющей запас устойчивости САУ по амплитуде, становится равной –180°. После «включения» форсирующего звена фаза начинает уменьшаться (по абсолютной величине) и асимптотически стремится к значению –180°. Отрезок °, образованный ЛФЧХ и линией, соответствующей –180°, на частоте среза является запасом устойчивости САУ по фазе.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒