РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Цель работы

Целью работы являются изучение построения моделей линейного программирования, способов учета затрат на производство продукции и применение методов линейного программирования для максимизации прибыли и объема выпуска продукции предприятием.

Общие положения

2.1. Постановка задачи оптимизации производственной программы предприятия

Для большинства экономических задач характерна ситуация, когда цель может быть достигнута различными способами при определенных огра­ничениях.

Самый эффективный вариант достижения цели называется оптимальным планом. Оптимальный план обеспечивает либо заданный производственный результат при минимальных затратах, либо максимальный производственный эффект при заданном объеме ресурсов.

Все задачи оптимального планирования имеют три общих момента:

1) наличие единой цели (это обычно либо увеличение объема произ­водства, либо снижение затрат);

2) ограниченность ресурсов (трудовых, материальных, финансовых);

3) возможность достижения конечной цели различными способами (различными вариантами использования ресурсов).

Постановки задач оптимального планирования различаются критериями оптимизации и ограничениями.

 

1. Критерии оптимальности:

а) максимум прибыли, получаемой от реализации продукции m:

,

где P_j - цена j-го изделия,

S_j - себестоимость j-го изделия,

X_j - выпуск j-го изделия, шт.

Этот критерий приводит к наиболее полному использованию ресур­сов за счет увеличения выпуска в первую очередь наиболее рентабельной продукции.

В лабораторной работе данный критерий оптимальности имеет вид:

,

где AVC_j – переменные издержки производства j-го изделия,

AFC – постоянные издержки производства.

Прибавление или вычитание константы на результат влияния не оказывает, поэтому целевая функция примет вид:

;

б) минимум себестоимости товарного выпуска:

,

где C_j - себестоимость j-го изделия.

Критерий обеспечивает наибольшую экономию ресурсов при мини­мально допустимом выпуске (в лабораторной не рассчитывается);

в) максимум объема реализованной продукции:

.

Этот критерий ориентирует предприятие на увеличение производс­тва продукции с большой ценой и малой трудоемкостью.

 

2. Ограничения

Достижение сформулированных выше критериев оптимальности долж­но происходить при реальных ограничениях ресурсов предприятия:

а) ограничения по фонду времени работы оборудования:

,

где j=1, m - вид изделия,

z=1, s - номер цеха (категории работ),

k_вн.z - коэффициент выполнения нормы в z-м цехе,

t_jz - трудоемкость производства единицы j-й продукции в z-м цехе.

Здесь Tz - эффективный фонд времени работы оборудования за год в часах. Его можно найти по формуле:

,

где F_эф - эффективный фонд времени работы цеха в днях, который опре­деляется как " количество дней в году" - " праздничные и выходные дни" - " отпуска (30 дней)" - " время на ТО (5 дней)",

k_см.z - коэффициент сменности в z-м цехе,

N_z - количество оборудования в z-м цехе;

б) ограничения по материальным ресурсам (в лабораторной работе не используются) n:

,

где a_ij - норма расхода i-го материала на производство единицы j-го изделия,

B_i - максимальный запас i-го материала;

в) ограничения по выпуску продукции:

. (1)

Ограничения по максимальному выпуску устанавливаются исходя из доли рынка, которую может получить наше предприятие по конкретным из­делиям (это можно выяснить, проведя соответствующее маркетинговое исс­ледование).

Второе ограничение связано с существованием точки безубыточности для конкретного производства. Эта точка характеризует объем продаж Q₀, при котором покрываются издержки производства, но экономическая прибыль равна 0. Если объем продаж меньше Q₀, то производство убыточно и убытки тем больше, чем меньше объем продаж. Если объем продаж больше Q₀, то производство прибыльно: прибыль тем больше, чем больше выпуск:

2.2. Линейная задача математического программирования

При формализации задачи оптимизации производственной программы предприятия используются модели математического программирования, частным случаем которых является задача линейного программирования.

Модели линейного программирования используются для решения следу­ющих экономических задач:

- транспортная задача;

- максимизация прибыли предприятия;

- максимизация объема выпуска продукции;

- задача оптимального раскроя материалов;

- составление оптимальных смесей;

- задача о загрузке транспорта и т.д.

Общая задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом: найти экстремум (min или max) целевой функции

, j=1, n,

при ограничениях типа

, , , .

Для решения задачи линейного программирования необходимо привести ограничения типа " " и " " к ограничениям типа " =" путем введения дополнительных переменных.

От ограничений типа " " избавляются путем добавления в левую часть неравенства переменной с коэффициентом " +1" при ней:

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +…+ a_in x_n + x_n+1 = b_i .

От ограничений типа " " переходят к ограничениям в виде равенс­тва, добавляя в левую часть неравенства дополнительную переменную с коэффициентом " -1":

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +…+ a_in x_n – x_n+1 = b_i.

Но для решения задачи на ЭВМ необходимо, чтобы новая переменная имела при себе коэффициент " +1", поэтому все выражение умножаем на " -1" и получаем:

- a_i1 x₁ - a_i2 x₂ -…- a_in x_n + x_n+1 = - b_i .

Решением задачи линейного программирования называют такой набор переменных X1...Xn, который доставляет max(min) целевой функции. Наи­более простой метод решения таких задач - это Simplex-method.

2.3. Свойства двойственных оценок

С каждой задачей линейного программирования связана другая линей­ная задача, называемая двойственной. Связь исходной и двойственной за­дач в том, что решение одной из них может быть получено из решения другой. Решение двойственной задачи позволяет более глубоко проанали­зировать результаты.

Пусть предприятие выпускает j=1, n видов продукции. Цена - P_j, руб., выпуск - X_j, шт., расход i-го материала на производство j-го из­делия - aij. Тогда модель исходной задачи на максимум товарной продук­ции будет иметь вид:

,

, .

Для этого же предприятия можно сформулировать и двойственную за­дачу. Требуется найти такие оценки ресурсов Y_j, руб./кг, которые обес­печивали бы минимум общего расхода ресурсов в стоимостном выражении, а затраты на производство каждого вида продукции не были бы меньше его цены, т.е.

, .

Прямая задача является задачей на max, а двойственная - на min. Параметры целевой функции исходной задачи являются ограничениями двойственной задачи. Ограничения исходной задачи являются параметрами целевой функции двойственной задачи. Матрица коэффициентов a_ij исход­ной задачи транспонируется в двойственной задаче. Переменные Y_i назы­ваются оценками, или учетными, неявными ценами ресурсов.

Свойства двойственных оценок

1. Если , т.е. i-й ресурс потребляется полностью, то Y_i > 0 и i-й ресурс является дефицитным. Если , то Y_i = 0, т.е. если ресурс избыточен, то он имеет нулевую " цену". Y_i> 0 показывает стои­мость недополученной продукции с каждой единицы i-го ресурса.

2. Если X_jopt > 0, то, , т.е. если изделие выпускается, то суммарная оценка ресурсов, идущих на ее производство, равна цене.

3. Если X_jopt = 0, то , т.е. изделие избыточно, суммарная оценка больше цены.

4. В оптимальном плане , т.е. товарная продукция равна оценке израсходованных ресурсов (предприятие работает неубыточно).

В неоптимальном плане , т.е. расходуется

больше, чем получается, предприятие работает с убытком.

 

2.4. Анализ решения задачи оптимизации производственной программы предприятия

Необходимо проанализировать дефицитность некоторых ресурсов, ре­зервы ресурсов, каков наиболее эффективный план, почему он наиболее эффективен, что можно сделать для улучшения оптимального плана.

Пусть на предприятии выпускается 3 вида изделий. Построена модель оптимизации производственной программы по прибыли:

Z =100 X1+200 X2+300 X3 à max.

X₁, X₂, X₃ - объем выпуска соответствующих изделий.

Ограничены мощности 5 цехов по фонду времени работы оборудова­ния, ч:

(t₁₁/k_вн1)X₁+(t₁₂/k_вн1)X₂+(t₁₃/k_вн1)X₃ T₁,

(t₂₁/k_вн2)X₁+(t₂₂/k_вн2)X₂+(t₂₃/k_вн2)X₃ T₂ ,

……………………………………………

(t₅₁/k_вн5)X₁+(t₅₂/k_вн5)X₂+(t₅₃/k_вн5)X₃ T₅ .

Чтобы от неравенств " " перейти к равенствам, добавим в левые части по 1-й дополнительной переменной с коэффициентом " +1". Кроме того, для упрощения перед добавлением новой переменной умножим каждое неравенство на k_внz:

 

t₁₁ X₁ + t₁₂ X₂ + t₁₃ X₃ + X₄ = T₁ k_вн1 ,

t₂₁ X₁ + t₂₂ X₂ + t₂₃ X₃ + X₅ = T₂ k_вн2,

…………………………………….

t₅₁ X₁ + t₅₂ X₂ + t₅₃ X₃ + X₈ = T₅ k_вн5 .

В результате получены ограничения:

 

2X₁ + 3X₂ + X₄ = 1200,

5X₁ + 2X₂ + 3X₃ + X₅ = 600,

4X₃ + X₆ = 2500,

3X₁ + 3X₂ + 2X₃ + X₇ =1500,

2X₂ + 4X₃ + X₈ = 2000.

 

Ограничены выпуски по каждому изделию:

 

X₁ 100 à 6 X₁ + X₉ =100

X₂ 100 à 6 X₂ + X₁₀ =100

X₃ 150 à 6 X₃ + X₁₁ =150

100 X₁+200 X₂+300 X₃ 1000 à -100X₁–200X₂–300X₃+X₁₂ =-1000.

Чтобы от неравенства “ ” перейти к равенству, добавим в левую часть дополнительную переменную с коэффициентом ''-1''. Обе части полученного равенства умножим на ''-1''.

Для решения задачи вводятся дополнительные переменные, имеющие следующий смысл:

X₄, X₅, X₆, X₇, X₈ - неизрасходованный фонд времени работы обору­дования по пяти цехам;

X₉, X₁₀, X₁₁ - разность между максимальным и оптимальным выпус­ками по 3 изделиям.

При решении симплекс-методом получаются следующие результаты:

X₁=0, X₂=100, X₃=133, X₄=900, X₅=0, X₆=1967, X₇=933, X₈=1267, X₉=100, X₁₀=0, X₁₁=17, Х₁₂=59000; Z=60000; Y₁=0, Y₂=100, Y₃=0, Y₄=0, Y₅=0, Y₆=0, Y₇=0, Y₈=0, Y₉=0.

Таким образом 2-е изделие выпускается по максимуму, т.к. оно, с одной стороны, наиболее прибыльно, а с другой - наименее трудоем­ко. 3-е изделие выпускается в объеме 133 единицы, т.к. из оставшихся оно наиболее прибыльно.

Из ресурсов наиболее дефицитным является фонд времени работы 2-го цеха (X₅=0, Y₂=100). Это узкое место на предприятии. Фонды времени ос­таль-ных цехов не израсходованы: 1-го - на 900 ч, 3-го - на 1967 ч, 4-го - на 933 ч, 5-го - на 1267 ч. Это резервы предприятия.

Дальнейшее увеличение выпуска продукции сдерживают недостаточные мощности 2-го цеха. Но можно использовать мощности других цехов на производство какого-нибудь другого нового изделия.

2.5. Определение затрат на производство продукции

По одному из способов определения затрат на производство продукции они группируются по статьям калькуляции. Статьи калькуляции объединяют затраты, одно­родные по функциональной роли в производственном процессе.

По способу отнесения затрат на себестоимость единицы продукции они делятся на прямые и косвенные. Прямые затраты могут быть прямо от­несены к определенной продукции и измерены. Косвенные затраты связаны одновременно с производством нескольких видов продукции.

Прямые затраты	1. Сырье и материалы за вычетом возвратных отходов 2. Покупные полуфабрикаты 3. Зарплата основных рабочих 4. Отчисления на социальные нужды
Косвенные затраты	5. Цеховые расходы 6. Общезаводские расходы 7. Потери от брака 8. Прочие производственные расходы ИТОГО - ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ СЕБЕСТОИМОСТЬ 9. Внепроизводственные расходы ИТОГО - ПОЛНАЯ СЕБЕСТОИМОСТЬ

В данной лабораторной работе предлагается следующий способ определения затрат: все издержки с точки зрения их связи с объемом производства делятся на переменные (пропорциональные) и постоянные.

Переменные издержки изменяются прямо пропорционально изменению объема производства. Переменные издержки могут быть прямо отнесены к определенной продукции и измерены.

Постоянные издержки – часть затрат на производство продукции за определенный период времени, величина которых не зависит от объема произведенной за этот период продукции. Надо иметь в виду, что реально расходы, относимые к постоянным, несколько увеличиваются с ростом объема производства. Поэтому зачастую в литературе и нормативной документации они называются условно постоянными.

Переменные затраты	1. Сырье и материалы 2. Покупные полуфабрикаты 3. Основная зарплата производственных рабочих 4. Отчисления на социальные нужды 5. Переменная часть цеховых расходов
Постоянные затраты	1. Постоянная часть цеховых расходов 2. Общезаводские расходы 3. Потери от брака 4. Прочие производственные расходы 5. Внепроизводственные расходы

 

Рассмотрим содержание и способы расчета переменных затрат.

1.Сырье и основные материалы:

,

где j=1, m - вид продукции,

i=1, n - вид сырья и материалов,

a_ij - норма расхода i-го сырья для производства j-го изделия,

p_i - цена единицы i-го вида сырья,

a'_ij - норма технологических отходов,

p_iотх. - цена единицы отходов при их реализации,

M_j - расход сырья на j-й вид продукции, руб.

2. Покупные полуфабрикаты:

,

где k=1, h - вид полуфабриката,

b_ik - норма применяемости k-го полуфабриката на i-е изделие,

p_k - цена k-го полуфабриката.

3. Основная заработная плата производственных рабочих.

Зарплату, относимую на единицу j-й продукции (ЗП_j), мож­но рассчитать следующим образом:

,

где z=1, s - номер цеха (категории работ),

r_z - часовая ставка заработной платы в z-м цехе,

t_jz - трудоемкость производства единицы j-й продукции в z-м цехе.

 

Но эта ЗП_j изменяется за счет перевыполнения (недовыполнения) нормы. Ее учитывает коэффициент выполнения нормы (k_вн). Тогда

 

4.Отчисления на социальные нужды включают отчисления:

1) в пенсионный фонд – 28 %,

2) в фонд социального страхования - 5.4 %,

3) в государственный фонд занятости - 1.5 %,

4) в фонды медицинского страхования - 3.6 %,

Итого отчислений - 38.5 %.

Эти отчисления считаются от фонда заработной платы, т.е. себесто­имость j-й продукции увеличивается на 0.385ЗП_j.

 

5. К переменной части цеховых расходов относятся:

- затраты на топливо и энергию для технологических нужд;

- дополнительная зарплата рабочих (оплата отпусков, премии из ФЗП и др.);

 

,

где ЦР_j - расходы цеха на производство единицы j-й продукции;

ЦР % - процент цеховых расходов;

ЗП_j - зарплата, относимая на единицу j-й продукции.

 

Сумма всех переменных затрат составляет переменные затраты на j-е изделие – AVC_j.

 

Рассмотрим содержание постоянных затрат.

1. К постоянной части цеховых расходов относятся:

- затраты на содержание, амортизацию и ремонт производственного оборудования, цехового транспорта, помещений и др.;

- затраты на топливо и энергию для бытовых нужд;

- оплата труда персонала цехового уровня;

- все отчисления на обязательное страхование служащих цеха;

- расходы по охране труда и пр.

2. К общезаводским расходам относятся затраты, связанные с управ­лением предприятием в целом, расходы на испытания, рационализаторство, охрану труда, подготовку кадров и т.д.

3. К потерям от брака относятся:

- стоимость окончательно забракованной продукции;

- стоимость материалов и полуфабрикатов, испорченных при отлад­ке техпроцессов;

- затраты на устранение брака;

- затраты на ремонт продукции, проданной с гарантией.

4. Прочие производственные расходы включают:

- оплату процентов по кредитам в пределах ставки рефинансирования ЦБ РФ;

- затраты по гарантийному обслуживанию изделий;

- отчисления в спецфонды, образуемые по решению Правительства и др.

5. Внепроизводственные расходы включают:

- затраты на тару и упаковку на складах предприятия;

- расходы на транспортировку до станции отправления, комиссионные расходы, расходы на рекламу и др.

Численные значения постоянных расходов указаны в табл. 5. Сумма всех постоянных расходов составляет общие постоянные расходы по варианту – AFC.

3. Содержание домашней подготовки

3.1. Ознакомиться с методом калькуляции себестоимости продукции.

3.2. Ознакомиться с постановкой задачи линейного программирования.

Порядок выполнения работы

4.1. Ознакомиться с исходными данными, приведенные в табл.1 – табл.4. Исходные данные соответс­твуют показателям по трем изделиям начиная с номера варианта.

4.2. Для своего варианта подсчитать переменные затраты на изделия, постоянные затраты производства, а также фонд времени работы каждого цеха.

4.3. Найти оптимальный план выпуска для максимизации прибыли предприятия, для чего:

- построить целевую функцию и ограничения;

- подготовить модель для расчета на ЭВМ. Для сопоставимости вводимых данных необходимо обе части ограничения по минимальному объему выпуска (см. (1)) и целевой функции разделить на 1000. Правые части всех ограничений также разделить на 1000 (учитывая, что прог­рамма " doub.exe" находит минимум целевой функции);

- рассчитать на ЭВМ с помощью программы " doub.exe" опти­мальный план.

4.4. Привести полученные результаты к исходной размерности, домножив их на 1000. Провести анализ полученного оптимального плана.

4.5. Сформулировать, решить и проанализировать результаты для максимизации объема выпуска предприятия, руб.

Исходные данные

Таблица 1

	Вид изделия	Вид материала
	Норма расх.	Техн. отх., %	Норма расх.	Техн. отх., %	Нор-ма расх.	Техн. отх., %	Нор-ма расх.	Техн. отх., %	Норма расх.	Техн. отх., %	Норма расх.	Техн. отх., %
	1.8		2.3		-	-	1.4		-	-	-	-
	-	-	4.8		6.8		-	-	-	-	-	-
	-	-	-	-	8.2		-	-	21.3		2.2
	-	-	-	-	-	-	2.1		-	-	-	-
	2.1		-	-	5.0		3.8		16.8		-	-
	-	-	3.6		8.7		-	-	-	-	-	-

Окончание таблицы 1

	1.5		-	-	-	-	3.2		12.1		6.8
	-	-	2.8		-	-	2.6		-	-	2.5
	3.5		-	-	-	-	5.1		26.8		4.2
Цена за ед. м-ла
Цена за ед. отх.

 

Таблица 2

	Вид изделия	Норма применяемости k-го полуфабриката	kвых.годн	Цена реализации изделия, руб.	Доля рынка, шт.
		-		-	-	0.95
			-		-	0.98
		-		-		0.96
		-				0.87
		-	-	-	-	0.95
				-	-	0.86
		-	-	-		0.98
			-	-	-	0.95
		-	-	-	-	0.88
	Цена за ед.п/ф

 

Таблица 3

№ цеха	Кол-во оборуд.	kвн	kсм	Kвнутрисм.пот	Почасовая ставка	% цеховых расходов
		1.2	1.3	0.08
		1.1	1.7	0.1
		1.05	1.8	0.09
		1.2	1.5	0.12
		1.15	1.8	0.1

Таблица 4

Вид изделия	Трудоемкость по цехам
	1.8	0.8	-	1.2	-
	0.6	0.7	-	1.2	0.5
	-	0.8	2.2	0.9	0.4
	-	0.6	-	0.8	1.5
	0.8	1.6	1.2	-	-
	0.5	0.3	-	1.5	-
	0.6	0.5	1.8	-	0.5
	0.8	0.7	1.0	0.8	-
	0.8	0.6	2.1	-	-

 

Таблица 5

№ варианта
1. Пост. часть цеховых расходов, млн руб.
2. Общезав. расходы, млн руб.
3. Потери от брака, млн руб.
4. Прочие произв. расходы, млн руб.
5. Внепроизв. расходы, млн руб.

 

Приложение. Расчеты на ЭВМ

При расчете целевой функции используется программа " doub.exe".

Количество ограничений в нашем случае равно 9. Число переменных равно 12: X₁, X₂, X₃, т.е. объем выпуска каждого вида изделий в шт., и еще 9 дополнительных переменных: X₄, X₅, X₆, X₇, X₈, X₉, X₁₀, X_11, Х₁₂.

Программа " doub.exe" находит min целевой функции, поэтому для отыскания max исходную целевую функцию необходимо взять со знаком " -".

Например, имеются следующая целевая функция и ограничения:

Z=100X₁+200X₂+300X₃ à max,

2X₁+3X₂+X₄=1200,

5X₁+2X₂+3X₃+X₅=600,

4X₃+X₆=2500,

3X₁+3X₂+2X₃+X₇=1500,

2X₂+4X₃+X₈=2000,

X₁+X₉=100,

X₂+X₁₀=100,

X₃+X₁₁=150,

-100Х₁ –200Х₂ –300Х₃ +Х₁₂ = -1000.

Изменим знак целевой функции:

-Z =100X₁-200X₂-200X₃ à min.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. EP 3302 Экономика предприятия
2. III. Экономико-управленческие задачи производственной практики
3. IV. Организация прохождения производственной практики
4. Return 0; //завершение работы программы
5. SPA-программы «Времена года».
6. V. Руководство ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ практикой
7. VII. Перечень вопросов для проведения проверки знаний кандидатов на получение свидетельства линейного пилота с внесением квалификационной отметки о виде воздушного судна - вертолет
8. Аксиомы линейного пространства
9. Алгоритмы на различных языках программирования. Заполнение массивов
10. Анализ деловой активности предприятия
11. Анализ дивидендной политики предприятия
12. Анализ запаса финансовой устойчивости (зоны безубыточности) предприятия