Основные положения теории антагонистических игр

Реальные конфликтные ситуации обычно очень сложны и потому трудны для непосредственного анализа благодаря большому количеству сопутствующих факторов, из которых многие, однако, являются второстепенными. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликтной ситуации, ее необходимо упростить, учитывая только основные факторы. Упрощенная схематизированная модель конфликтной ситуации называется игрой.

В игре могут сталкиваться интересы двух или более противников; в первом случае игра называется парной, во втором - множественной.

Наиболее простой и теоретически разработанной игрой является парная антагонистическая игра. В ней участвуют два игрока, преследующие прямо противоположные цели. Парная антагонистическая игра относится к классу так называемых игр с нулевой суммой. В этих играх сумма выигрышей всех оперирующих сторон равна нулю. Действительно, в парной антагонистической игре один игрок выигрывает ровно столько, сколько проигрывает второй.

В нашем примере сумма выигрышей при всех сочетаниях постоянна и равна потребности в продукте заказчика. Вычитая половину этой потребности, равной 100 единицам, из всех элементов платежных матриц для каждой из фирм, получаем две матрицы: и , для которых .

Общий выигрыш , значит, мы имеем дело с парной антагонистической игрой.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Игра конечна, если конечно число возможных стратегий у каждого из игроков, и бесконечна в противном случае.

Основная теорема теории игр - так называемая теорема о существовании решения игры - гласит:

«Любая конечная антагонистическая игра имеет решение, т.е. оптимальные стратегии для обоих игроков и соответствующую цену игры.»

 

Решение конечных антагонистических игр

Процесс поиска решения любой конечной парной антагонистической игры целесообразно строить состоящим из следующих основных этапов:

1.Упрощение игры в целях уменьшения ее размерности.

2.Проверка игры на седловую точку; если игра имеет седловую точку, то следует перейти к этапу 3, иначе - к этапу 4.

3.Решение игры в чистых стратегиях.

4.Решение игры в смешанных стратегиях.

Упрощение игры

Упрощение игры сводится к вычеркиванию некоторых излишних стратегий из платежной матрицы. Строка, соответствующая i-й стратегии игрока 1, вычеркивается, если существует такая строка-стратегия , что для любого , т.е. стратегия к обеспечивает игроку 1 выигрыш не меньший, чем стратегия i при любой стратегии игрока 2.

Столбец j вычеркивается, если существует такой столбец к, что для любого .

 

Проверка игры на седловую точку. Решение игры в чистых стратегиях

Для получения решения игры введем понятие максимина и минимакса.

Максимином, или нижней ценой игры, называют элемент платежной матрицы, равный максимуму из минимумов по строкам матрицы. Обозначим максимин через , тогда

. (5)

Минимаксом, или верхней ценой игры, называется элемент платежной матрицы, равный минимуму из максимумов по столбцам матрицы. Обозначим минимакс через , тогда

. (6)

 

В нашем примере платежная матрица игрока 1 имеет вид:

 

Очевидно, что , стратегия игрока 1, соответствующая максимину , называется максиминной стратегией. Стратегия игрока 2, соответствующая минимаксу , называется минимаксной стратегией.

Максиминная и минимаксная стратегии образуют пару так называемых минимаксных стратегий.

Существуют игры, для которых максимин равен минимаксу, т.е. . Элемент платежной матрицы, соответствующий максиминной стратегии игрока 1 и минимаксной стратегии игрока 2, называется седловой точкой. Значение этого элемента является чистой ценой игры . Совокупность минимаксных стратегий и чистая цена игры являются решением игры в чистых стратегиях. Под чистой стратегией понимается стратегия, выбираемая игроком в результате сознательного акта, без привлечения для своего выбора какого-либо случайного механизма.

 

Игры без седловых точек

Игры с седловыми точками встречаются достаточно редко. Более часто встречаются игры без седловой точки, для которых выполняется неравенство:

< . (7)

В данном случае решение ищется в смешанных стратегиях. Смешанной называется стратегия, состоящая в чередовании своих чистых стратегий с определенными частотами. Отклоняясь от минимаксных стратегий, игроки могут обеспечить себе: игрок 1 - выигрыш больше максимина, игрок 2 - проигрыш меньше минимакса. При этом они стараются скрыть выбор стратегии. Самый надежный для этого путь - выбирать свою стратегию случайным образом. Игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию с вероятностью , , игрок 2 выбирает свою j-ю стратегию с вероятностью , . Смешанные стратегии обозначаются: для игрока 1 - , для игрока 2 - .

Причем выполняются условия: и (8)

Для любой игры без седловой точки существует пара оптимальных стратегий и , которые вместе с ценой игры - платежом, соответствующим этим стратегиям, образуют решение парной антагонистической игры в смешанных стратегиях.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. DSM-IV-TR: Основные характеристики.
2. I. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ НАПИСАНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
3. I. Теоретические основы экономического воспитания детей старшего дошкольного возраста посредством сюжетно-ролевой игры
4. I.1. Основные предпосылки и механизмы развития речевой деятельности
5. II. Основные задачи управления персоналом.
6. II. Основные принципы создания ИС и ИТ управления.
7. III. Основные идеологические течения в истории гражданского права. Идеализм и позитивизм
8. III. Основные учебники, учебные пособия, словари и хрестоматии.
9. IV. ОСНОВНЫЕ ПРИЧИНЫ ЗАБОЛЕВАНИЙ.
10. IV. Основные условия культуры
11. IV. Политика и гражданское общество. Гармонизация межконфессиональных, межнациональных, миграционных процессов.
12. IX. Заключительные положения