Статистические игры с единичным идеальным экспериментом

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 16Следующая ⇒

Пусть вероятности возможных состояний природы оцениваются априори как q₁, q₂...q_n, где . Стоимость проведения эксперимента известна и равна С.

Требуется определить, целесообразно ли проведение эксперимента и какая стратегия является оптимальной в случае проведения эксперимента и при отказе от него.

Максимально возможный средний выигрыш без проведения эксперимента определяется по формуле (3).

Если в результате эксперимента действительным состоянием природы оказалось П_j, то нужно выбрать стратегию, для которой достигается выигрыш , равный

. (10)

Чтобы оценить возможный выигрыш после проведения эксперимента, осредним с весами, равными априорным вероятностям:

(11)

С учетом стоимости С эксперимента средний выигрыш с применением идеального эксперимента равен

(12)

Если , то эксперимент проводить целесообразно.

Иначе (13),

учитывая, что (14)

получаем . (15)

Т.к. , то

(16)

т.е. эксперимент следует проводить, если затраты на его осуществление меньше минимального среднего риска:

. (17)

Статистические игры с единичным неидеальным экспериментом

Допустим, что исход единичного эксперимента случаен и состоит в появлении одного из k несовместимых событий S₁, S₂,.., Sk, образующих полную систему событий. Отдельные исходы эксперимента связаны с состоянием природы П₁, П₂,..., П_n. Эта связь проявляется в том, что для каждого возможного состояния природы имеется определенная вероятность появления того или иного исхода S_l эксперимента в условиях состояния природы П_j:

w_lj=P(S_l/П_j), , . (18)

Т.к. S₁, S₂,..., S_k образуют полную систему событий, то

для . (19)

Предполагается, что матрица полностью известна.

Необходимо ответить на два вопроса:

1. Целесообразно ли проведение эксперимента?

2. Если да, то какая из стратегий должна быть выбрана в качестве оптимальной в случае того или иного исхода эксперимента?

Предположим, что после реализации эксперимента появился исход S_l, т.е. можно определить апостериорные вероятности v_1l, v_2l,..., v_nl состояний природы. Их можно посчитать по формуле Байеса:

. (20)

Тогда средний выигрыш при стратегии x_i

. (21)

Условно-оптимальная стратегия находится из условия

, где (22)

- условно-максимальный средний выигрыш, если эксперимент дал исход S_l.

Подобный расчет необходимо провести для всех исходов эксперимента, чтобы определить решающее правило, определяюще, какую стратегию x_i следует предпринять при каждом из возможных исходов эксперимента.

Обозначим вероятность появления исхода S_l через h_l :

(23)

Пусть - среднее значение максимального выигрыша, которое может быть получено при условии проведения эксперимента:

(24)

Чтобы решить вопрос о целесообразности проведения эксперимента, необходимо сравнить выигрыш с тем максимальным средним выигрышем , который может быть получен без проведения эксперимента [см. формулу (3)].

Проведение эксперимента целесообразно, если выполняется условие: - > C. (25)

3. Содержание домашней подготовки

Ознакомиться с методикой принятия решений в условиях действия неопределенных факторов стохастической природы.

Порядок выполнения работы

4.1. Для своего варианта задания с помощью программы statgame.exe найти оптимальную стратегию для случая статистической игры без эксперимента, предварительно приведя данные к матричному виду и избавившись от явно невыгодных стратегий, если они есть.

4.2. Для случая статистической игры с единичным идеальным экспериментом с помощью программы statgame.exe рассчитать предельные эффективные затраты на проведение эксперимента.

4.3. Для случая статистической игры с единичным неидеальным экспериментом рассчитать предельные эффективные затраты на эксперимент.

4.4. Сделать выводы по проделанной работе.

Содержание отчета о работе

5.1. Результаты решения статистической игры без эксперимента.

5.2. Выводы о необходимости проведения эксперимента для игры с единичным идеальным экспериментом.

5.3. Результаты решения игры с единичным неидеальным экспериментом.

5.4. Выводы о проделанной работе.

6. Контрольные вопросы

6.1. Общая постановка задачи принятия решений в условиях природных неопределенностей.

6.2. Определение риска игрока.

6.3. Идеальный и неидеальный единичные эксперименты.

6.4. В чем суть и различие между критериями крайнего пессимизма и оптимизма?

6.5. Попробуйте доказать, что применение смешанных стратегий в статистических играх не может быть выгоднее, чем применение чистой оптимальной стратегии.

6.6. Определение решающего правила.

Варианты заданий

Вариант 1

На технологическую линию может поступать сырье разного качества.

Из прошлого опыта известно, что в 65 % случаев поступает сырье с малым количеством примесей, а в 35 % - с большим количеством примесей. На линии возможны четыре режима работы.

Прибыль предприятия в расчете на 1 день работы зависит от качества сырья и режима работы линии.

Если применяют первый режим работы, то при использовании сырья с малым количеством примесей прибыль на 1 день составляет 5 у.е., с большим - 1. Для второго режима соответственно - 4 и 2. Третий режим безразличен к используемому сырью и дает 2 у.е. в день. Четвертый – 2 и 3 у.е. прибыли в день.

1. Исходя из данных условий выбрать наилучший режим работы технологической линии.

2. Определить предельную стоимость эксперимента, который целесо-образно проводить 1 раз с целью точного определения качества сырья.

3. Считая возможным проведение неидеального единичного экспери-мента с целью уточнения обстановки, определить предельные эффективные

затраты на его проведение. Возможные исходы эксперимента даны в табл. 1.

Таблица 1

исходы варианты	П1	П2
S1	0.3	0.6
S2	0.7	0.4

Вариант 2

Фирма может поставлять продукцию на один из четырех региональных рынков, относительно конъюнктуры которых можно сделать 3 прогноза с вероятностями 35 %, 10 %, 55 %.

Прибыль фирмы в расчете на один квартал зависит от выбранного рынка сбыта и общей конъюнктуры. Прибыль на первом рынке при различных прогнозах может составить соответственно 15, 18 и 10 у.е.; на втором - 16, 15 и 11 у.е.; на третьем - 14, 12 и 12 у.е.; на четвертом - 13, 11 и 11 у.е.

1. Исходя из данных условий выбрать наилучший рынок сбыта.

2. Определить предельную эффективную стоимость эксперимента, который целесообразно проводить 1 раз в квартал с целью точного определения конъюнктуры.

3. Считая возможным проведение неидеального единичного эксперимента с целью уточнения обстановки, определить предельные эффективные затраты на его проведение. Возможные исходы эксперимента даны в табл. 2.

Таблица 2

исходы варианты	П1	П2	П3
S1	0.3	0.2	0.3
S2	0.5	0.4	0.5
S3	0.2	0.4	0.2

Вариант 3

На технологическую линию может поступать сырье разного качества.

Из прошлого опыта известно, что в 30 % случаев поступает сырье с малым количеством примесей, а в 70 % - с большим количеством примесей. На линии возможны четыре режима работы.

Прибыль предприятия в расчете на 1 день работы зависит от качества сырья и режима работы линии.

Если применяют первый режим работы, то при использовании сырья с малым количеством примесей прибыль на 1 день составляет 10 у.е., с большим - 8. Для второго режима соответственно - 7 и 9; третьего -13 и 5 у.е. в день; четвертого - 4 и 14 у.е. прибыли в день.

1. Исходя из данных условий выбрать наилучший режим работы технологической линии.

2. Определить предельную стоимость эксперимента, который целесообразно проводить 1 раз с целью точного определения качества сырья.

3. Считая возможны проведение неидеального единичного эксперимента с целью уточнения обстановки, определить предельные эффективные затраты на его проведение. Возможные исходы эксперимента даны в табл. 3.

Таблица 3

исходы варианты	П1	П2
S1	0.3	0.5
S2	0.7	0.5

Вариант 4

Фирма может поставлять продукцию на один из четырех региональных рынков, относительно конъюнктуры которых можно сделать 3 прогноза с вероятностями 50 %, 30 %, 20 %.

Прибыль фирмы в расчете на один квартал зависит от выбранного рынка сбыта и общей конъюнктуры. Прибыль на первом рынке при различных прогнозах может составить соответственно 10, 12 и 14 у.е.; на втором - 14, 13 и 10 у.е.; на третьем - 10, 11 и 10 у.е.; на четвертом - 15, 10 и 13 у.е.

1. Исходя из данных условий выбрать наилучший рынок сбыта.

Таблица 4

исходы варианты	П1	П2	П3
S1	0.3	0.4	0.5
S2	0.2	0.2	0.2
S3	0.5	0.4	0.3

Вариант 5

На технологическую линию может поступать сырье разного качества. Из прошлого опыта известно, что в 40 % случаев поступает сырье с малым количеством примесей, а в 60 % - с большим количеством примесей. На линии возможны три режима работы.

Прибыль предприятия в расчете на 1 день работы зависит от качества сырья и режима работы линии.

Если применяют первый режим работы, то при использовании сырья с малым количеством примесей прибыль на 1 день составляет 10 у.е., с большим - 12. Для второго режима соответственно - 13 и 11. Для третьего - 15 и 10 у.е. прибыли в день.

1. Исходя из данных условий выбрать наилучший режим работы технологической линии.

2. Определить предельную стоимость эксперимента, который целесообразно проводить 1 раз в квартал с целью точного определения качества сырья.

Таблица 5

исходы варианты	П1	П2
S1	0.3	0.4
S2	0.7	0.6

Вариант 6

Фирма может поставлять продукцию на один из трех региональных рынков, относительно конъюнктуры которых можно сделать 3 прогноза с вероятностями 30 %, 25 %, 45 %.

Прибыль фирмы в расчете на один квартал зависит от выбранного рынка сбыта и общей конъюнктуры. Прибыль на первом рынке при различных прогнозах может составить соответственно 5, 8 и 7 у.е.; на втором - 6, 7 и 3 у.е.; на третьем - 3, 2 и 8 у.е.

1. Исходя из данных условий выбрать наилучший рынок сбыта.

Таблица 6

исходы варианты	П1	П2	П3
S1	0.5	0.3	0.6
S2	0.5	0.7	0.4

Библиографический список

1. Теория прогнозирования и принятия решений: Учеб. Пособие / Под ред. С.А.Саркисяна. М.: Высш.школа, 1977. 351 с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 208 с.

Лабораторная работа № 8

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒