МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

С А М А Р А

Каргин В.Р. Методология научного эксперимента учеб. пособие / В.Р. Каргин; , Самар. нац. исслед. ун-т им. С. П. Королева

Учебное пособие содержит основные сведения по подготовке и проведению научного эксперимента

Предназначено для студентов института ракетно-космической техники по направлению подготовки магистров 22.03.02..68 «Металлургия

Подготовлено на кафедре обработки металлов давлением

ВВЕДЕНИЕ

Материал пособия дает студентам знание и умение использования идей планирования и математической обработки эксперимента, вырабатывают определенный взгляд на сущность научной деятельности как эксперимент с его спецификой.

Несмотря на большое количество литературы по планированию и обработке эксперимента, нет учебника для студентов, который можно было бы использовать при практической постановке лабораторного эксперимента. В имеющихся книгах раскрываются в основном математические проблемы вопроса, много внимания уделяется общему и строгому обоснованию методов. При этом нередко затруднен выбор практических приемов постановки и обработки эксперимента, не сразу видны границы применимости, достоинства и недостатки того или иного математического аппарата. Для изучения многих книг предварительно необходимо прослушать серьезный математический курс по теории вероятности и математической статистике. Для магистрантов необходим промежуточный курс, который, с одной стороны, позволит им научиться читать современную литературу и не бояться непривычной терминологии, а с другой, понять неизбежность практического использования идей планирования эксперимента в научной деятельности.

При изложении материала авторы основывались на том, что студенты ранее изучали основы теории вероятности и математической статистики и получили достаточные знания по избранной ими области научного исследования, но не имеют представления о связи этих дисциплин. Раскрывая эти связи, пособие доказывает, что любая творческая работа магистра, будь то исследование или управление технологическим процессом, является экспериментом в широком смысле этого слова, поэтому должна выполняться по определенным правилам с использованием современных достижений математики и ЭВМ.

Без углубления в математические проблемы в предлагаемом пособии демонстрируются возможности современных методов планирования и математической обработки эксперимента на конкретных примерах процессов обработки металлов давлением, показывается область их использования.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Что такое эксперимент?

Термин «эксперимент» происходит от латинского experimentum - проба, опыт. Эксперимент - это система опытов и наблюдений, в процессе которых идет накопление информации об исследуемом явлении (объекте, процессе).

Опыт - это воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности измерения его результатов. Опыт - это отдельная элементарная часть эксперимента.

Наблюдение основано на непосредственном восприятии изучаемого явления с помощью органов чувств без вмешательства в процесс со стороны исследователя.

При проведении эксперимента исследователь вмешивается в изучаемый процесс с целью его познания. При этом одни условия опыта изолируются, другие исключаются, третьи усиливаются или ослабляются. Эксперименты, которые проводятся в различных отраслях науки, являются химическими, физическими, социальными и т. д.

Эксперименты подразделяются:

• по организации проведения на лабораторные, натурные, производственные, мысленные и т.д.

• по контролируемым величинам на пассивные и активные;

• по числу варьируемых факторов на однофакторные и многофакторные.

Лабораторный эксперимент проводится в лабораторных условиях с применением приборов, моделирующих установок, стендов. В эксперименте изучается не сам объект, а его образец.

Натурный (производственный) эксперимент проводится в естественных условиях и на реальных объектах.

Мысленный эксперимент - это эксперимент на мысленной модели исследуемого объекта. Результат мысленного эксперимента отображается в виде формул, графиков, чертежей. Пример мысленного эксперимента - мышление шахматиста. Мысленно разрабатываются различные варианты ходов, а выбирается только один.

Пассивный эксперимент предусматривает измерение только выбранных параметров в результате наблюдения за объектом без искусственного вмешательства в его функционирование, например, наблюдение за числом заболеваний СПИДом.

Активный эксперимент связан с выбором и управлением входных и выходных переменных.

Эксперимент имеет три стадии. На первой с помощью датчиков, приборов т.п. определяют состояние изучаемого явления, измеряют его параметры, составляют таблицу наблюдений. На второй стадии опытные данные обрабатывают для определения зависимости каких-то характеристик от параметров. На третьей стадии делают вывод о путях достижения цели эксперимента. Критерием оптимальности эксперимента является отношение количества получаемой информации к затратам на ее получение.

При проведении экспериментов необходимо:

а) стремление к сокращению числа опытов;

б) одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс;

в) использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

г) выбор четкой стратегии, позволяющей принимать решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, где можно успешно использовать эксперимент - это построение математических моделей, поиск оптимальных условий, выбор существенных факторов и т.п. Наиболее важными в области техники, металлургии являются задачи, связанные с поиском оптимальных условий и построением математических моделей.

Объект исследования. Для описания объекта исследования и используют представление о кибернетической системе которую называют " черным ящиком". Последний представляет собой систему связей, недоступную для наблюдения, т.к. о содержании, механизме изучаемого процесса нам ничего не известно, или известно лишь частично. Известны только входы, переменные x, снимаемые с датчиков, приборов и участвующие в процессе (факторы), и выходы - результат процесса (параметр оптимизации, целевая функция, отклик), обозначенный символом у (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1 Схема объекта исследования

Примеры изучения неизвестных объектов

Исследователь	Объект	Регулируе-мые факторы	Нерегули- руемые факторы	Неизвестные факторы	Параметр оптимизации
Фермер	Ферма	Удобрения	Погода	Состояние семян	Урожай
Депутат	Дума	Речь	Политическая обстановка	Настроение	Итоги голосования
Продавец	Рынок	Цена продукта	Цены конкурентов	Вкусы покупателей	Объем продукции
Представитель любой профессии	Черный ящик	Вход	Внешний вид	Устройство ящика	Выход

Под объектом исследования может быть рынок и подозреваемая личность, процесс обработки металлов давлением, сплав и т. д. (см. табл. 1.1).

Таким образом, входные переменные, факторы – это способы воздействия на поведение " черного ящика". Каждый фактор может принимать в опыте одно или несколько значений. Такие значения называют уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний " черного ящика". Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то получим полное множество различных состояний данного " ящика". Одновременно это будет число возможных различных опытов, которое может быть подсчитано по формуле

N=P^к,

где Р-число уровней, к-число факторов.

Факторы разделяются на количественные и качественные. Например, при термообработке листов количественными факторами являются температура отжига и время выдержки, влияющие на уровень механических свойств материала листа. Качественные факторы - это разные вещества, разные технологические способы, аппараты и т.д. Для их количественной оценки используют ранжирование, условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда, т.е. производят кодирование. Например: наличие смазки можно закодировать как +1, отсутствие как -1.

При выборе нескольких факторов должны выполняться следующие основные требования:

1. Управляемость - это установка нужного значения фактора и поддержание его постоянным в течение всего опыта.

2. Однозначность - трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.

3.Совместимость факторов - все их комбинации осуществимы и безопасны.

4. Независимость - возможность установления фактора любом уровне вне зависимости от уровней других факторов.

Выбор факторов - очень ответственный этап при подготовке к эксперименту. Множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-нибудь существенный фактор пропущен, это может привести к неправильному определению оптимальных условий.

Параметр оптимизации является реакцией на воздействие факторов, которые определяют поведение объекта исследования. В качестве параметров оптимизации в процессах производства и формоизменения металлов могут быть взяты экономические показатели (прибыль, себестоимость рентабельность), технико-экономические показатели (долговечность, производительность, выход годного) или технологические показатели (степень деформации, уровень механических свойств изделия и др.). Параметр оптимизации должен быть количественным, задаваться числом. Если нет способа количественного измерения результата, то используется прием, называемый ранжированием. При этом параметру оптимизации присваиваются оценки - ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. В качестве примеров рангового подхода можно привести определение чемпиона мира по фигурному катанию, дегустацию вин и т. д. Кроме того, параметр оптимизации должен быть универсальным - способным всесторонне характеризовать объект исследования, иметь физический смысл, простым и легко вычисляемым, существующим для всех различных состояний, эффективным с точки зрения достижения цели.

Схема " черного ящика" позволяет строить математические модели, связывающие параметр оптимизации с факторами:

Наибольшее распространение получили полиномиальные модели. Например, для случая двух факторов х₁и х₂ они имеют вид:

- полином первой степени

- полином второй степени.

Эксперимент в таких случаях нужно проводить для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома.

Развитие современной техники немыслимо без эксперимента. Каждый магистр в своей деятельности, работая в исследовательской лаборатории или на производстве, должен уметь проводить эксперимент, т.е.:

1) определять точность измеряемых приборов и получаемых данных;

2) составлять план проведения эксперимента;

3) уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;

4) проверять правильность полученных результатов и их точность;

5) выбрать способ обработки экспериментальных данных;

6) анализировать полученные результаты;

7) при минимуме затрат на эксперимент получать максимум информации об исследуемом явлении.

Элементы теории измерений.

Всякое экспериментальное исследование процесса пластического деформирования состоит из одного или нескольких измерений каких-то параметров a₁, a₂, а₃…a_n с некоторой точностью.

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения (эталон). Результат измерения выражается числом.

Измерения разделяются на прямые и косвенные (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Виды измерений, ошибки и погрешность

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. Примеры прямых измерений: измерение длин линейкой, штангенциркулем, масс на весах с помощью гирь, времени посредством часов или секундомера, температуры термометром.

При косвенных измерениях измеряемая величина определяется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, объем цилиндрического тела высотой H и диаметром D: , плотность тела массой М и объемом V: .

Коэффициент термического расширения рассчитывают по формуле ,

где l₁ и l₂-длина образца при температурах T_{1 и} Т₂.

При измерении любой величины мы никогда не получаем истинного значения этой величины. Результат измерения дает лишь приближенное значение. Поэтому любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями (ошибками). Ошибки подразделяются на две группы: систематические и случайные (рис. 1.3).

Систематические ошибки – это ошибки, связанные с ограниченной точностью изготовления прибора, неправильным выбором метода измерений, неправильной установкой прибора. Систематические ошибки вызываются вполне определенными причинами. Их величина при повторных измерениях остается постоянной (рис 1.3) либо измеряется по определенному закону. Примеры: положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре, капилляр термометра в разных участках может иметь разное сечение и т. д.

Рис. 1.3. Различие между случайной и систематической ошибками

Если известны причины вызывающие систематические ошибки, последние могут быть исключены путем введения поправок при измерениях.

Случайные ошибки вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и не может быть учтено. Поэтому при последовательных измерениях одной и той же величины получают различные числовые значения (рис 1.4).

Исключить случайные ошибки нельзя, но оценить ошибки, с которыми получен результат, возможно. Ошибки такого типа подчиняются законам теории вероятностей, установленным для случайных явлений.

В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом.

При большом числе измерений случайные ошибки одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

Рис. 1.4. Ошибка параллакса: а – завышенное значение; б – заниженное значение;

а – глаз; б – измеряемый предмет

Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже чем малые (рис. 1.5)

Рис. 1.5. Кривая нормального закона распределения

Допустим, что мы произвели n прямых измерений а₁, а₂, …, а_n. Обозначим через а – истинное значение. Тогда - это абсолютная погрешность i-го измерения.

Результаты измерений можно представить в виде

…………………..

Введем понятие среднеарифметической величины

Разделив обе стороны равенства (1.1) на число измерений n, получим

Если число измерений велико, то

При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины α равно среднеарифметическому значению ᾱ всех результатов произведенных измерений.

При ограниченном числе измерений необходимо α ≈ ᾱ необходимо уметь находить величину этого расхождения:

Вместо приближенного равенства α ≈ ᾱ можно записать

или

Где ∆ α - абсолютная погрешность(ошибка) измерения

Это разность между точным и приближенным значением измеряемой величины.

Назовем доверительным интервалом интервал( ᾱ - ∆ α, ᾱ + ∆ α ), в который попадает истинное значение α измеряемой величины с заданной вероятностью Р.

Надежностью результата серии измерений называется вероятность Р того, что истинное значение α измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина Р выражается или в долях единицы, или в процентах.

Чем больше величина доверительного интервала, тем с большей надежностью искомая величина α попадает в этот интервал:

где t_α,_n-критерий Стьюдента, зависящий от числа произведенных измерений n и величины уровня значимости α.

S_ᾱ_- среднеквадратическое отклонение результата серии n измерений,

Уровень значимости α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую чем α. Для приближенных расчетов α =0.1, что соответствует вероятности Р=1, α =0, 9; для инженерных расчетов α =0, 05, Р=0, 95; для научных расчетов α =0, 01, P=0, 99.

Для оценки точности измерений кроме абсолютной погрешности вводится понятие относительной погрешности измерений ε, равной отношению абсолютной погрешности ∆ α результата измерений к результату измерении ᾱ:

Относительную погрешность измерений часто выражают в процентах,

Чем меньше ε, тем выше точность измерений. Для облегчения расчетов серии измерений следует применять следующие соотношения:

Где а₀– произвольное число выбираемое таким образом, чтобы разноси a_i –a₀ содержали в основном не более двух значащих цифр.

Пример: а₁=1, 57; a₂=1, 53; a₃=1, 52; а₀=1, 50.

Обработка результатов прямых измерений проводится в следующей последовательности: Результаты каждого измерения записывают в таблицу.

l. Вычисляют среднее значение из n-измерений по формуле(1.2) или(1.4)

2. Определяют среднеквадратичную погрешность по формуле(1.3) или (1.5)

3. Задают значение уровня значимости α.

4. По таблице определяют значение коэффициента Стьюдента в зависимости от уровня значимости α и числа измерений n.

5. Находят границы доверительного интервала

6. Окончательный результат записывают в виде

7. Оценивают относительную погрешность измерения

Рассмотрим пример обработки результатов пяти прямых измерений диаметра цилиндрического тела, полученных при замере микрометром с ценой деления 0.01 мм (табл. 1.2).

Таблица 1.2 - Результаты измерений диаметра цилиндра

i	d_i_{, мм}
	14, 85 14, 80 14, 84 14, 81 14, 79

Найдем среднее значение диаметра и границы доверительного интервала из этих измерений. Выберем произвольное число Ԁ ₀, удобное для расчетов (пусть Ԁ ₀=14, 80мм); вычислим разновидности Ԁ _i-Ԁ ₀и квадраты этих разностей. Результаты приведены в табл. 1.3. Найдем среднее значение:

Таблица 1.3 - Обработка результатов измерений

i	d_i, мм	d_i-d₀, мм	(d_i –d₀)², мм²
	14, 85 14, 84 14, 84 14, 81 14, 79	0, 05 0, 00 0, 04 0, 01 -0, 01	0, 0025 0, 0000 0, 0016 0, 0001 0, 0001
	Сумма	0, 09	0, 0043

Средний квадрат погрешности серии из пяти измерений равен

Извлекая квадратный корень из , получим

Для уровня значимости α =0, 05 и n=5 из таблицы находим значение коэффициента Стьюдента t=2, 78 и вычисляем абсолютную погрешность результата измерений:

Тогда результат измерения можно представить в виде

или

Относительная погрешность

=0, 2%

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение эксперимента, опыта, наблюдения.

2. Как различаются эксперименты?

3. Дайте определение активного и пассивного эксперимента.

4. Перечислите основные стадии эксперимента.

5. Что понимают под объектом исследования?

6. Какие основные задачи решают в ходе эксперимента?

7. К чему необходимо стремиться при проведении экспериментальных исследований?

8. Что называют факторами?

9. Как подсчитать число возможных различных опытов?

10. Какие требования предъявляются при выборе факторов?

11. Что понимают под параметром оптимизации, откликом, целевой функцией?

12. Сущность метода ранжирования?

13. Почему используют схему «черного ящика»?

14. Что называют абсолютной погрешностью? Что такое относительная погрешность?

15. Как изменяется коэффициент Стьюдента в зависимости от числа опытов и уровня значимости?

16. Назовите основные шаги при исключении промаха.

17. Приведите примеры систематических и случайных ошибок.

18. Что такое дисперсия? Для чего она применяется?

19. Что такое косвенные измерения? Как определить абсолютную погрешность косвенных измерений?

20. Что такое доверительный интервал? Что он показывает?

21.Как влияет увеличение числа опытов на доверительный интервал?

22. Что такое уровень значимости? Как влияет уровень значимости на доверительный интервал?

23. Каковы основные требования к построению графиков исследуемых процессов?

24. В каких случаях целесообразно применять узкие широкие и нормальные графики?

Задачи к разделу

1. Оценить точность измерения усилия на приборе.

2. В расчетных формулах часто используется число =3, 1415926… Число трансцендентное. Как округлить число , если ε =5%?

3. При испытании на коррозию вес образца составлял 1, 54 кг, а после испытаний – 1, 52 кг. С какой точностью необходимо взвешивать образцы?

4. Найти погрешность измерения двух величин:

5.Определить абсолютную и относительную погрешность прямых измерений диаметра цилиндрического тела

Вариант 1

i
d_i, мм	4, 85	4, 80	4, 84	4, 81	4, 79	4, 81	4, 80	4, 85	4, 84	4, 80

Вариант 2

i
d_i, мм	4, 77	4, 83	4, 80	4, 85	4, 81	4, 76	4, 84	4, 80	4, 79	4, 83

Расчет провести для двух значений уровня значимости α =0, 05 и α =0, 10, n=Ф и n=Ф+5, где Ф-число букв в фамилии студента.

6. Определить абсолютную и относительную погрешность косвенных измерений при расчете объема круглого цилиндра диаметром d и высотой h> d. Выявить промах при измерении высоты h. Результаты замера диаметра использовать из задачи 5. Результаты замеров высоты h, полученные с помощью штангенциркуля, приведены в таблице. Число замеров n=Ф.

i
h_i, мм	4, 4	4, 6	4, 7	6, 0	4, 3	4, 5	4, 5	4, 9	4, 4	4, 6	4, 8

6. В таблице приведены четыре возможных варианта измерений длин

Приборы	Предел измерения, мм	Цена наименьшего деления, мкм	Измеряемая велечина, мм	Относительная ошибка, %
Линейка Штангенциркуль Микрометр Микроскоп			0, 5

Найти относительную ошибку измерений.

Метод средних

По методу средних или среднеарифметическому методу требуется, чтобы сумма разностей между значениями искомой величины, определенными по найденной формуле, и экспериментальными ее значениями равнялась нулю:

Пусть экспериментальная зависимость на рис. 2.1 аппроксимируется уравнением прямой вида

где а - постоянная, подлежащая определению. По среднеарифметическому методу имеем

Пусть экспериментальная зависимость на рис. 2.2 аппроксимируется уравнением прямой вида

где а и b – неизвестные параметры, подлежащие определению.

По среднеарифметическому методу

Рис. 2.1. Аппроксимация экспериментальных точек уравнением вида У=аХ

Рис. 2.2. Аппроксимация экспериментальных точек уравнением вида У=аХ+в

Так для определения коэффициентов а и b требуется два уравнения, то разобьем данные опытов на две группы с примерно одинаковым (если n-нечетное) или одинаковым (если n-четное) числом опытов. Тогда получим два уравнения:

Решая систему двух уравнений, получим значения коэффициентов а и b.

Для описания экспериментальных точек, изображенных на рис. 2.3, при нелинейной аппроксимации можно использовать квадратичную зависимость

По среднеарифметическому методу имеем

Так как для определения трех постоянных а, b, c требуется три уравнения, то данные опытов разбивают на три примерно равные по числу опытов группы и составляют три уравнения.

Другие примеры подбора функций показаны на рис. 2.4.

Метод наименьших квадратов

По методу наименьших квадратов (МНК), разработанному Гауссом более 170 лет назад, требуется, чтобы сумма квадратов разностей между значениями искомой величины, определенными по найденной формуле, и экспериментальными ее значениями была минимальной:

Для уравнения прямой вида У _i = α Х_i по методу наименьших квадратов

Рис. 2.3. Использование квадратичной аппроксимации

Рис. 2.4. Примеры использования нелинейных аппроксимаций

Для определения значения a надо взять производную по а от этой суммы и приравнять к нулю (n-число измерений):

Для уравнения прямой вида У_i = α X_i+b по методу наименьших квадратов

Минимум этой функции достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по а и b:

или

После преобразований получаем

Окончательные формулы для вычисления коэффициентов а и b можно найти с помощью определителей:

При нахождении параметров нелинейной зависимости имеем

Дифференцируя это соотношение по а, b и c, получаем соответственно уравнения

или

Из этой схемы можно найти значения а, b и с.

Результаты вычислений сводят в таблицу:

i	X_i	Y_Э_i	y_Э_ix_i	y_Э_i
. . .

МНК позволяет находить константы более сложных зависимостей, например, экспоненциальных:

После логарифмирования пришли к линейному уравнению

Вопросы для самопроверки

1. Что такое аппроксимация?

2. Что такое уравнение регрессии?

3. Для чего применяется аппроксимация экспериментальных данных?

4. В чем заключается метод средних?

5. Каковы основные шаги при аппроксимации методом наименьших квадратов?

6. Что общего и в чем различие между методами независимых функций и наименьших квадратов?

7. Какие функции называются линейно независимыми?

8. Как влияет количество экспериментальных точек на точность аппроксимации?

9. Как оценить точность используемого метода аппроксимации?

10. Перечислите достоинства и недостатки методов средних, наименьших квадратов и независимых функций

11. Что такое сглаживание? Для чего оно применяется?

12. Какие виды аппроксимаций можно находить методами средних, наименьших квадратов и независимых функций?

13. Что такое полиномы Чебышева? В чем заключается их ортогональность?

14. Как определить вид аппроксимируемой зависимости?

15. Какое минимальное число экспериментальных точек можно аппроксимировать методом наименьших квадратов?

16. Какое максимальное число экспериментальных точек можно аппроксимировать методом средних?

17. Какой метод аппроксимации следует использовать для аппроксимации зависимости вида у=α e^-^x?

Планирование факторного эксперимента

План эксперимента строится в зависимости от вида принятой модели, числа опытов и ряда специальных требований, предъявляемых к описательным свойствам модели.

Исходя из порядка принятой модели, различают соответственно планы первого и второго порядков. Планы первого порядка называют еще двухуровневыми, так как факторы в этих планах варьируются на двух уровнях (Р=2). Планы второго порядка предусматривают варьирование факторов на трех уровнях и называются поэтому трех уровневыми (Р=3). Если все факторы в соответствии с планом варьируются на одинаковом числе уровней, то они называются симметричными.

Наиболее широкое применение получили планы, в которых каждый фактор варьируется на двух уровнях и реализуется полный набор из 2^К комбинаций уровней факторов. Такие планы называются полными факторными типа 2^К.

Каждый фактор, участвующий в процессе, имеет вполне определенный разумный предел изменения своей величины. В связи с этим при математическом планировании эксперимента необходимо прежде всего оценить реальные границы областей определения факторов. Затем на основании априорной (полученной до начала эксперимента из литературных источников или предыдущих исследований) информации устанавливаются такие значения уровней факторов, которым соответствовал наилучший результат параметра оптимизации. Эти уровни принимают за исходные при построении плана эксперимента и называют основными уровнями .

Верхний и нижний уровни факторов устанавливают путем соответственно прибавления к основному уровню или вычитания из него некоторого числа ∆ х_i, называемого интервалом варьирования факторов:

При выборе интервала варьирования необходимо иметь в виду, что он должен быть, с одной стороны, больше ошибки фиксирования уровня фактора; с другой стороны, его необходимо ограничить сверху, чтобы не выйти за пределы области определения факторов. Принято считать интервал варьирования узким, если он составляет не более 10% от области определения фактора; не более 30%- средним, а в остальных случаях –широким.

Для упрощения записи условий каждого опыта и обработки экспериментальных данных масштабы по интервалам изменения факторов выбирают таким образом, чтобы верхний уровень соответствовал плюс единице, нижний-минус единице, а основной - нулю.

Поскольку факторы, воздействующие на объект исследования, неоднородны и имеют различные единицы измерения, а числа, выражающие величины факторов, имеют различные порядки, их следует привести к единой системе исчисления путем перехода от натуральных значений факторов к кодированным:

(3.2)

где X_j- кодированное значение j-го фактора; - натуральное значение фактора натуральное значение основного уровня фактора, интервал варьирования j-го фактора.

Руководствуясь рассмотренными понятиями и определениями, условие проведения эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов. Такие таблицы называют матрицами планирования эксперимента. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку - вектор-строкой.

Планы второго порядка

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒