Латинские и греко-латинские квадраты

Рассмотрим трехфакторный эксперимент при одинаковом количестве уровней Р. Прямой перебор уровней потребует N=P³ опытов. Число опытов можно сократить, если воспользоваться ДФЭ по схеме латинского квадрата.

Латинскими квадратом называется таблица, в которой содержится Р столбцов и Р строк и каждый элемент присутствует только один раз, как в столбце, так и в строке.

P=2 p=3 p=4

A	B
A	B

A	B	C
B	C	A
C	A	B

A	B	C	D
B	C	D	A
C	D	A	B
D	A	B	C

 

Например, применение второй матрицы для случая трехфакторного эксперимента даст нам следующую матрицу планирования:

X1	X2
B1	B2	B3
A1	C1	C2	C3
A2	C2	C3	C1
A3	C3	C1	C2

 

Фактор Х₁ имеет уровни: А₁, А₂, А₃; Х₂-B₁, B₂, B₃; Х₃-С₁, С₂, С₃. Номера элементов по столбцам и строкам соответствуют уровням 1-го и 2-го факторов, а третий выбран по латинским буквам квадрата. По факторам X₁ и Х₂ произведен полный перебор уровней (ПФЭ). Далее к каждому сочетанию этих факторов прибавлен третий X₃ на уровне, выбранном в соответствии с латинским квадратом. Всего требуется 3*3=9 опытов, что значительно дешевле ПФЭ (3³=27 опытов).

Для четырех факторов хорошими свойствами обладают планы, построенные по схеме греко-латинского квадрата. Греко-латинским квадратом называется матрица, имеющая Р строк и Р столбцов и составленная из сдвоенных элементов, каждый из которых по одному разу представлен в каждой строке и каждом столбце. Например, при P=3 имеем

A α	B β	C γ
B γ	C α	A β
C β	A γ	B α

 

Составим план эксперимента по схеме греко-латинского квадрата для четырех факторов. Фактор Х₁ имеет уровни:

X1	X2
B1	B2	B3
A1	C1D1	C2 D2	C3 D3
A2	C2 D2	C3 D1	C1 D2
A3	C3 D3	C1 D3	C2 D1

 

По факторам Х₁ и X₂ произведен полный перебор уровней. Уровни факторов Х₃ и Х₄ выбраны по буквам греко-латинского квадрата. Общее и количество опытов 3*3=9 вместо 3⁴=81. В греко-латинском квадрате имеется Р² различных комбинаций уровней вместо Р⁴ в ПФЭ. Поэтому греко-латинские квадраты представляют собой 1/Р² реплику ПФЭ.0

Если наложить друг на друга три ортогональных латинских квадрата, то получим латинский квадрат третьего порядка. Он называется гипергреко-латинским квадратом. Например, гиперквадрат 4x4 с пятью факторами:

X1	X2
B1	B2	B3	B4
A1	A α a	B β b	C γ c	D δ d
A2	B γ d	C δ a	D α b	A β c
A3	C δ c	D α d	A β a	B γ b
A3	D β b	A γ c	B δ d	C α a

 

Таким образом, при Р уровнях в план можно ввести k+1 фактор. Гипергреко-латинские квадраты представляют собой 1/Р³ реплику ПФЭ. Такие обычно применяют на первых стадиях исследования процесса, когда приходится проводить сложный перебор качественных и количественных факторов, с тем чтобы выделить наиболее перспективные. По принципу латинских и греко-латинских квадратов можно построить латинские и греко-латинские кубы. Однако на практике такие планы при Р> 3 применяются редко из-за большого числа опытов.

На основе латинских квадратов разработаны сбалансированные и несбалансированные планы, позволяющие экономнее организовать эксперимент. Сбалансированными планами называются такие, у которых в каждой строке и каждом столбце одинаковые уровни встречаются одинаковое число раз.

Планы также могут быть полноблочными и неполноблочными. Полноблочными называются такие планы, в которых опыты проводятся во всех точках плана. В неполноблочных планах часть опытов пропускается. Примером несбалансированных и неполноблочных планов являются квадраты Юдена

X1	X2
	G	A	C
	A	B	D
	B	C	E
	C	D	F
	D	E	G
	E	F	A
	F	G	B

 

Факторы Х₁ и Х₃ имеют одинаковое число уровней. Всего комбинаций уровней 7x3x7=147. Реализуется только 21 опыт. Несбалансированы факторы Х₁ и Х₃.

Пример 1

Необходимо изучить давление металла на валки при холодной прокатке ленты в зависимости от трех факторов: величины зазора между валками, толщины исходной полосы и типа смазки. Примем, что все независимые факторы изменяются на трех уровнях: Х₁=1, 2, 3; X₂=1, 2, 3; фактор X₃ - качественный - это три эмульсии различного состава.

Проведем эксперимент по схеме латинского квадрата 3х3

X1	X1	Y̅
	Э1(25)	Э2(31)	Э3(38)
	Э2(35)	Э3(42)	Э1(48)	41, 7
	Э3(43)	Э1(35)	Э2(43)	35, 7
Y̅	29, 7

 

 

В круглых скобках приведены значения параметра оптимизации Y (кг/мм²). Для уровней фактора Х₃ значения параметра оптимизации выпишем в отдельную таблицу:

Э1	Э2	Э3
Y̅
	36, 3	36, 3

 

По средним значениям построим графические зависимости Y от каждого фактора в отдельности.

Рис. 5.1. Графические зависимости параметра оптимизации от факторов

 

Подберем эмпирические формулы, описывающие частные зависимости:

Так как все факторы независимые, то результирующее уравнение будет иметь вид

Все коэффициенты модели могут быть определены методом наименьших квадратов (МНК).

Пример 2

Составить план для изучения факторов, влияющих на популярность певицы. Успех певицы зависит от репертуара, наряда, аудитории и т.п. Показатель успеха -продолжительность аплодисментов.

Фактор Х₁ хорошо подготовленные арии, имеет следующие уровни:

1. Ария Далилы («Самсон и Далила», Сен-Санс).

2. Ария Любаши («Царская невеста», Римский-Корсаков).

3. Частушки Варвары («Не только любовь», Р. Щедрин).

4. Хабанера («Кармен», Бизе).

5. Песнь Леля («Снегурочка», Римский-Корсаков).

 

Фактор Х₂ - наряды:

A. Черное узкое платье с глубоким декольте.

В. Синее бархатное платье с серебристой отделкой.

С. Русский сарафан.

 

Фактор Х₃ - зрительские аудитории:

α. Консерватория.

β. Дворец культуры завода.

γ. Сельский клуб.

δ. Театр.

ε. Актовый зал вуза.

Составим следующий план:

Арии	Наряды
A	B	C
	α	β	γ
	β	γ	δ
	γ	δ	ε
	δ	ε	α
	ε	α	β

 

Всего комбинаций уровней 5x3x5=75. Реализуется только 15. План - неполноблочный и несбалансированный. Несбалансированы арии и аудитории.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое дисперсионный анализ?

2. Для каких целей применяется дисперсионный анализ?

3. Каковы основные этапы проведения дисперсионного анализа?

4. Как подсчитать дисперсию ошибки опыта при однофакторном дисперсионном анализе?

5. Как подсчитать ошибку опыта при двухфакторном дисперсионном анализе?

6. Назовите основные параметры, влияющие на ошибку опыта при двухфакторном дисперсионном анализе.

7. Что называется латинским квадратом?

8. В чем отличие греческо-латинского квадрата от латинского?

9. Какие планы называются сбалансированными и несбалансированными? Поясните на примерах.

10. Чем отличаются полноблочные планы от неполноблочиых? Приведите примеры.

11. Какое предельное число факторов может использоваться планах, построенных по принципу греко-латинских квадратов?

12. По какому принципу заполняются клетки греко-латинского квадрата?

13. Как рассчитать коэффициенты математической модели по данным греко-латинского квадрата?

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ARS NOVA В ИТАЛИИ. Франческо Ландини
2. ARS NOVA ВО ФРАНЦИИ. Гийом Машо
3. II. Суждение как форма мышления
4. IX. ОБРАЩЕНИЕ КАК СРЕДСТВО АДРЕСАЦИИ
5. VI. Рефлексия Работа по учебнику
6. А. Государственное устройство
7. Автоматизация работ в офисных приложениях
8. АГ 52.Направляющие косинусы вектора а удовлетворяют условию
9. АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ ДИЗАЙН В 70-е ГОДЫ
10. Анализ результатов тестирования обучающихся шестых классов
11. Аналитические и синтетические суждения
12. Аппликациядекоративная 25 неделя (прорезной декор)