Теорема Остроградского — Гаусса.

Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q₁, q₂, …, q_n,

y = Sq _i_,

где n - число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.

17. Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного, положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру

§ E_idl,

где E _i - проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке. В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:

§ E_idl = 0.

Г. Работа по перемещению заряда. Энергия электрического поля

18. Потенциал электрического поля - это отношение величины потенциальной энергии, точечного, положительного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:

j = П/q,

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного, положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

j = A/q.

Потенциал электрического поля в бесконечности услонно принят равным нулю.

Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа А _в.с. внешних сил равна по модулю работе А _с.п. сил поля и противоположна ей по знаку:

А _в.с.= - А _с.п..

19. Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии г от заряда,

j = (1/4pe₀)(q/er).

20. Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусом R, на расстоянии г от центра сферы:

внутри сферы ( г < R)

j = (1/4pe₀)(q/eR).

на поверхности сферы ( г = R)

j = (1/4pe₀)(q/eR).

вне сферы ( г > R)

j = (1/4pe₀)(q/er).

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

21. Потенциал электрического поля, созданного системой n точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов j₁, j₂, …, j _n, создаваемых отдельными точечными зарядами q₁, q₂, …, q_n,

j = Sj_i.

Д. Электроемкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов. Энергия электрического поля.

22. Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов

q₁, q ₂, …, q _n определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

W = (1/2) Sq_ij_i,

где j_i - потенциал поля, создаваемого всеми n-1 зарядами (за исключением i -го) в точке, где расположен заряд q_i.

23. Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением Е = - grad j. В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

E = - dj/dr,

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,

E = (j₁- j ₂)/d,

где j₁ и j ₂ - потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d - расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.

24. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал j₁ в другую, имеющую потенциал j₂,

А = q(j₁ - j ₂), или

А = qò E_ldl,

где E_l - проекция вектора напряженности Е на направление перемещения; dl - перемещение.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ. СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИКОВ

25. Диполь есть система двух точечных электрических зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния г от центра диполя до точек наблюдения. Вектор l, проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя: Произведение заряда |q| диполя на его плечо l называется электрическим моментом диполя:

P = |q|l.

26. Напряженность поля диполя

Е = (p/4pe₀er³)(Ö (1 + 3cos²a)),

где р - электрический момент диполя; г - модуль радиус-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; a - угол между радиус-вектором г и плечом 1 диполя. Напряженность поля диполя в точке, лежащей на оси диполя (a = 0),

E = p/(2pe₀er³)

и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восставленном из его середины (a = p/2),

Е = p/(4pe₀er³).

27. Потенциал поля диполя

j = (p/(4pe₀er²))cos a.

Потенциал поля диполя в точке, лежащей на оси диполя (a = 0),

j = p/(4pe₀er²).

и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восставленном из его середины (a = p/2),

j = 0.

28. Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е,

М = [р.Е], или

М = pEsina,

где a - угол между направлениями векторов р и Е.

В неоднородном электрическом поле кроме механического момента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего симметрией относительно оси х, сила выражается соотношением

F_x = p(dE/dx) cosa

где (dE/dx) - частная производная напряженности поля, характеризующая степень неоднородности поля в направлении оси х.

При a > p/2 сила F_x положительна. Это значит, что под действием ее диполь втягивается в область сильного поля.

29. Поляризованность (при однородной поляризации)

P = (1/DV)Sp_i _,

где p_i - электрический момент отдельной ( i-й ) молекулы (или атома); N - число молекул, содержащихся в объеме DV.

30. Связь поляризованности с напряженностью Е среднего макроскопического поля в диэлектрике

Р = ce₀E,

где c - диэлектрическая восприимчивость; e₀ - электрическая постоянная.

31. Связь диэлектрической проницаемости e с диэлектрической восприимчивостью e = 1 + c.

32. Напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике связана с напряженностью E₀ внешнего поля соотношениями Е = Ео/e, и Е = Ео - Р/e₀.

Д. Электроемкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ

33. Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора С = Dq/Dj,

где Dq - заряд, сообщенный проводнику (конденсатору);

Dj - изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

34. Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью e, С = 4pe₀eR.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

35. Электрическая емкость плоского конденсатора

С = ee₀S/d,

где S - площадь пластин (каждой пластины); d - расстояние между ними; e - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектриком толщиной d, каждый с диэлектрическими проницаемостями e, (слоистый конденсатор),

C = (e₀S)/(d₁/e₁+ d₂/e₂+... + d_n/e_n).

36. Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e )

С = (4pe₀e)(R₁R₂/(R₂ – R₁)).

37. Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной 1 и радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e ),

C = (2pe₀el)/ln(R₂/R₁).

38. Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов:

1/С = 1/C₁+ 1/C₂ + … + 1/C_n, где n - число конденсаторов;

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый

С = C₁/n.

39. Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:

в общем случае С = С₁+ С₂ + … + С _n;

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый

С = nС₁.

40. Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал j и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями:

W = (1/2)Cj² = (1/2)(q²/C) = (1/2)qj.

41. Энергия заряженного конденсатора

W = (1/2)CU² = (1/2)(q²/C) = (1/2)qU.

где С - электрическая емкость конденсатора; U - разность потенциалов на его пластинах.

42. Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)

w = (1/2)ee_oE² = (1/2)ED,

где Е - напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью e; D - электрическое смещение.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒