Оценка переменных. Организация перебора.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 14Следующая ⇒

Один из самых распространенных приемов при решении задач в целых числах - это заключение целочисленной переменной в интервал с последующим перебором всех целых значений из этого интервала. Иногда для этого приходится складывать неравенства, полученные согласно условиям задачи (при этом знаки неравенств должны быть «повернуты» в одну сторону). Также возможен переход от двойного неравенства к одинарному путём исключения центральной части двойного неравенства. Надо понимать, что оба этих преобразования не являются равносильными, а осуществляют переход к следствию, т.е. при их применении возможно появление посторонних решений. В связи с вышесказанным после применения данных преобразований необходима проверка. Рассмотрим несколько примеров.

Уровень А:

Пример 1. Груз вначале погрузили в вагоны по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны по 60 тонн, однако понадобилось на 8 вагонов больше и при этом все равно один вагон оказался не полностью загруженным. Наконец, груз переложили в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось еще на 5 вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько было груза?

Решение. Пусть - количество вагонов вместимостью 80 тонн, a -количество тонн груза. То, что один вагон оказался не полностью загружен, означает выполнение неравенств

Аналогично, используяостальные условия задачи, получим систему:

⇔

Так как количество вагонов - целое число, то единственное возможное значение , удовлетворяющее полученной системе неравенств, это . Значит,

Ответ: 1750 тонн.

Пример 2. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи, однако три человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каждый на 1, 5 тыс. руб. больше, чем в случае работы в составе полной бригады. Определить выделенную бригаде сумму денег, если 5%-й сбор за ее банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находящуюся в пределах от 1, 2 до 1, 6 тыс. руб.

Решение. Пусть тыс. руб. — выделенная сумма денег, — первоначальное количество членов бригады. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:

⇔ ⇒ .

Существует единственное натуральное число , удовлетворяющее последнему неравенству, при этом Таким образом, выделенная сума денег составляет 27 тыс. руб.

Ответ: 27 тыс. руб.

Пример 3. Линию, связывающую города , обслуживают самолеты трех типов. Каждый из самолетов первого, второго и третьего типов может принять на борт, соответственно, 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты линии могут принять на борт, одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найти число действующих на линии самолетов каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 8.

Решение. Пусть - число самолетов первого, второго и третьего типов соответственно. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:

Если разделим первое уравнение системы на 10 и вычтем его из второго уравнения, то получим, что . Так как и , то отсюда следует, что и (так как - целое число). С другой стороны, из полученного равенства и условия задачи вытекает, что , т.е. и . Значит, и . Имеем далее:

Таким образом, линию обслуживают по два самолета каждого типа.

Ответ: По два самолета каждого типа.

Уровень В:

Часто бывает так, что перебирать приходится большое число вариантов, и такой перебор становится неразумным. В этом случае на помощь приходят дополнительные соображения. Иногда проблему решают свойства делимости (например, в силу каких-либо условий задачи рассматриваются не все целые числа в данном промежутке, а только те числа, которые делятся на 5). В некоторых задачах бывает полезным дополнительно воспользоваться неотрицательностью какой-либо переменной. Кроме этого, существуют некоторые специальные приемы решения такого рода задач. В целом можно сказать, что наибольшую сложность при решении задач данного типа представляет разумная организация перебора. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. В течение нескольких дней двое рабочих изготовляли специальные детали, причем ежедневная выработка деталей у каждого рабочего была постоянной. В итоге за все эти дни второй рабочий изготовил на деталей больше, чем первый, где число удовлетворяет неравенствам . Если бы первый рабочий увеличил ежедневную выработку в 2 раза, то за то же количество дней он изготовил бы на 77 деталей больше, чем второй. Сколько дней рабочие изготовляли детали? Какова была ежедневная выработка каждого из них?

Решение. Пусть и - производительность первого и второго рабочего, соответственно, а - количество рабочих дней. Согласно условиям задачи имеем систему:

Из второго уравнения системы следует, что число должно быть делителем числа 77, т.е. может принимать значения 1, 7, 11 или 77. Так как согласно условию задачи дней было несколько, не может быть равным единице. Пусть . Имеем:

Так как целое число, то число должно делиться на 7. Однако в промежутке нет ни одного такого числа. Поэтому не удовлетворяет условию задачи. При получим следующую систему:

В промежутке существует единственное целое число, делящееся на 11, это число - 132. При этом данная система примет вид

и имеет решением пару чисел и . И, наконец, случай разбирается аналогично случаю и решений задачи не дает.

Ответ: 11 дней; 19 деталей и 31 деталь.

Пример 5. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии свою успеваемость, заключен в пределах от 2, 9 до 3, 1%. Определить минимально возможное число учеников в таком классе.

Решение. Пусть - число учеников в классе. Ясно, что будет минимальным, если минимально число учеников, повысивших во втором полугодии свою успеваемость. Пусть это будет один ученик. Число 1 от числа составляет Согласно условию задачи имеем

Только два целых числа удовлетворяют полученным неравенствам: это и . Ясно, что меньшее среди них - это

Ответ: 33 ученика.

Уровень С:

Пример 6. Непустое множество состоит из конечного числа натуральных чисел. Четных чисел в меньше двух третей от , а нечетных — не больше 36% от . Какое минимальное значение может принимать число ?

Решение. Пусть - количество четных чисел в . Согласно условиям задачи имеем следующую систему неравенств:

⇔ ⇔ .

Так как неравные между собой целые числа и различаются по крайней мере на единицу, последнее неравенство эквивалентно неравенству

⇔ .

Если , то промежуток [ ) не содержит целых чисел, если же , то этот промежуток содержит целое число . Таким образом, общее количество чисел в равно 14.

Ответ: .

Пример 7. На первом складе сахара было на 16 тонн больше, чем соли. За день с первого склада вывезли часть сахара и часть соли, причем сахара вывезли на 2 тонны больше, чем соли. На втором складе соли было на 4 тонны больше, чем сахара. За день со второго склада также вывезли часть сахара и часть соли, причем сахара вывезли на 3 тонны больше, чем соли. Сколько соли было на первом и втором складах, если известно, что целое число? При каких задача имеет решение?

Решение. Обозначим через количество соли на первом складе, тогда - количество сахара на этом же складе. Пусть также и -соответственно, количество сахара и соли на втором складе. Согласно условиям задачи имеем следующую систему уравнений:

⇔ ⇒

следовательно, , так как — целое число.

Значит, Таким образом, на первом и втором складах было 24 и 80 тонн соли соответственно.

Ответ: 24 и 80 тонн;

Пример 8. Две бригады однотипных тракторов задействованы на вспашке поля. Время вспашки поля только первой бригадой отличается от времени вспашки поля только второй бригадой не более чем на часть времени вспашки поля одним трактором. Если сначала восьмая часть первой бригады вспашет первую половину поля, а затем пятая часть второй бригады вспашет оставшуюся половину поля, тогда затраченное на вспашку поля время составит от времени вспашки поля одним трактором. Определить количество тракторов в каждой бригаде.

Решение. Пусть — количество тракторов в первой и второй бригаде соответственно, — производительность одного трактора, всю работу примем за единицу. Согласно условиям задачи получаем следующую систему:

причем – целые числа, т.е. кратно 8, а кратно 5. Преобразуем данную систему следующим образом:

⇔ ⇔ ⇔ ⇒

⇒ ,

так как целое число. Кроме того, кратно 8, поэтому . Если , то кратно 5. Если или , то не является целым числом. И, наконец, если , то не кратно 5. Таким образом, в первой бригаде было 24 трактора, а во второй — 45 тракторов.

Ответ: 24 трактора и 45 тракторов.

Задачи для самостоятельного решения.

Уровень А:

1. Группа школьников, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. Сумма всех полученных оценок равна 93, причём троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четвёрок. Число четвёрок делилось на 10, а число пятерок было чётным. Определить, сколько и каких оценок получили школьники.

2. Один рабочий бригады, состоящей из 5 человек, производит в среднем 14 деталей в час, причем каждый из рабочих производит в час целое число деталей, не превышающее 16. Сколько деталей в час может делать при этих условиях рабочий с самой низкой производительностью?

3. За время первый рабочий сделал на 3 детали больше второго. Затем второй рабочий увеличил производительность труда на 0, 2 детали в минуту и черев некоторое целое число минут догнал и обогнал первого, работавшего с постоянной производительностью, на 2 детали. Найти наибольшее возможное время .

Уровень В:

4. При подведении итогов соревнования вычислено, что процент числа членов бригады, перевыполнивших план, заключён в пределах от 92, 5 до 93, 5%. Определить минимально возможное число членов этой бригады.

5. В течение нескольких дней в города и завозили арбузы, причем ежедневные поставки арбузов в каждый город были постоянными и составляли целое число тонн. В итоге за все эти дни в город было завезено на тонн арбузов больше, чем в город , где число удовлетворяет неравенствам . Если бы ежедневные поставки в город были увеличены в 2 раза, то за то же число дней в завезли бы на 91 тонну арбузов больше, чем в . Сколько дней продолжался завоз арбузов? Каковы были ежедневные поставки в каждый город?

6. Автоматы двух типов красили детали, и все детали были покрашены за час. Определить число автоматов, если известно, что каждый из них мог бы покрасить все детали за целое число часов, общая сумма которых равна 55.

7. Около дома посажены липы и берёзы, причём общее их количество более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берёз увеличить на 18, то берёз станет больше. Если увеличить вдвое количество берёз, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше. Сколько лип и сколько берёз было посажено?

Уровень С:

8. Непустое множество состоит из конечного числа действительных чисел, отличных от нуля. Положительных чисел в меньше трёх четвертей от , а отрицательных - не больше 27% от . Какое минимальное значение может принимать число ?

9. Химический завод имеет цеха трёх типов. В каждом цехе первого, второго и третьего типов работают, соответственно, 350, 80 и 30 рабочих, а также 91, 19 и 8 технологов. Всего в цехах завода работают 980 рабочих и 252 технолога. Найти число цехов каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 15.

10. Группа самолетов, пятая часть из которых бомбардировщики, вылетела с аэродрома. При этом не более 10 из них полетели на запад, а остальные на восток. Оказалось, что число самолетов, полетевших на восток, больше 50%, но меньше 55% от общего количества. Сколько самолетов полетели на запад?

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒