Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Оценка переменных. Организация перебора.



Один из самых распространенных приемов при решении задач в целых числах - это заключение целочисленной пе­ременной в интервал с последующим перебором всех целых значений из этого интервала. Иногда для этого приходится складывать неравенства, полученные согласно условиям за­дачи (при этом знаки неравенств должны быть «повернуты» в одну сторону). Также возможен переход от двойного нера­венства к одинарному путём исключения центральной части двойного неравенства. Надо понимать, что оба этих преобра­зования не являются равносильными, а осуществляют пере­ход к следствию, т.е. при их применении возможно появле­ние посторонних решений. В связи с вышесказанным после применения данных преобразований необходима проверка. Рассмотрим несколько примеров.

Уровень А:

Пример 1. Груз вначале погрузили в вагоны по 80 тонн, но один вагон оказался загружен не полностью. Тогда весь груз переложили в вагоны по 60 тонн, однако понадобилось на 8 вагонов больше и при этом все равно один вагон ока­зался не полностью загруженным. Наконец, груз переложи­ли в вагоны вместимостью по 50 тонн, однако понадобилось еще на 5 вагонов больше, при этом все такие вагоны были загружены полностью. Сколько было груза?

Решение. Пусть - количество вагонов вместимостью 80 тонн, a -количество тонн груза. То, что один вагон ока­зался не полностью загружен, означает выполнение нера­венств

Аналогично, используяостальные условия задачи, полу­чим систему:

Так как количество вагонов - целое число, то единст­венное возможное значение , удовлетворяющее полученной системе неравенств, это . Значит,

Ответ: 1750 тонн.

Пример 2. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи, однако три человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, за­работав каждый на 1, 5 тыс. руб. больше, чем в случае рабо­ты в составе полной бригады. Определить выделенную бри­гаде сумму денег, если 5%-й сбор за ее банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находя­щуюся в пределах от 1, 2 до 1, 6 тыс. руб.

Решение. Пусть тыс. руб. — выделенная сумма денег, — первоначальное количество членов бригады. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:

.

Существует единственное натуральное число , удовлетворяющее последнему неравенству, при этом Таким образом, выделенная сума денег составляет 27 тыс. руб.

Ответ: 27 тыс. руб.

Пример 3. Линию, связывающую города , обслужи­вают самолеты трех типов. Каждый из самолетов первого, второго и третьего типов может принять на борт, соответст­венно, 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 кон­тейнеров. Все самолеты линии могут принять на борт, одно­временно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найти число действующих на линии самолетов каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 8.

Решение. Пусть - число самолетов первого, вто­рого и третьего типов соответственно. Согласно условиям задачи имеем следующую систему:

Если разделим первое уравнение системы на 10 и вычтем его из второго уравнения, то получим, что . Так как и , то отсюда следует, что и (так как - целое число). С другой стороны, из полученного равенства и условия задачи вытекает, что , т.е. и . Значит, и . Имеем далее:

Таким образом, линию обслуживают по два самолета каждого типа.

Ответ: По два самолета каждого типа.

Уровень В:

Часто бывает так, что перебирать приходится большое число вариантов, и такой перебор становится неразумным. В этом случае на помощь приходят дополнительные сообра­жения. Иногда проблему решают свойства делимости (на­пример, в силу каких-либо условий задачи рассматриваются не все целые числа в данном промежутке, а только те числа, которые делятся на 5). В некоторых задачах бывает полез­ным дополнительно воспользоваться неотрицательностью какой-либо переменной. Кроме этого, существуют некоторые специальные приемы решения такого рода задач. В целом можно сказать, что наибольшую сложность при решении задач данного типа представляет разумная организация пе­ребора. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. В течение нескольких дней двое рабочих изго­товляли специальные детали, причем ежедневная выработка деталей у каждого рабочего была постоянной. В итоге за все эти дни второй рабочий изготовил на деталей больше, чем первый, где число удовлетворяет неравенствам . Если бы первый рабочий увеличил ежедневную выра­ботку в 2 раза, то за то же количество дней он изготовил бы на 77 деталей больше, чем второй. Сколько дней рабочие изготовляли детали? Какова была ежедневная выработка каждого из них?

Решение. Пусть и - производительность первого и второго рабочего, соответственно, а - количество рабочих дней. Согласно условиям задачи имеем систему:

Из второго уравнения системы следует, что число должно быть делителем числа 77, т.е. может принимать значения 1, 7, 11 или 77. Так как согласно условию задачи дней было несколько, не может быть равным единице. Пусть . Имеем:

Так как целое число, то число должно делиться на 7. Однако в промежутке нет ни одно­го такого числа. Поэтому не удовлетворяет условию задачи. При получим следующую систему:

В промежутке существует единственное целое число, делящееся на 11, это число - 132. При этом данная система примет вид

и имеет решением пару чисел и . И, наконец, случай разбирается аналогично случаю и реше­ний задачи не дает.

Ответ: 11 дней; 19 деталей и 31 деталь.

Пример 5. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полуго­дии свою успеваемость, заключен в пределах от 2, 9 до 3, 1%. Определить минимально возможное число учеников в таком классе.

Решение. Пусть - число учеников в классе. Ясно, что будет минимальным, если минимально число учеников, повысивших во втором полугодии свою успеваемость. Пусть это будет один ученик. Число 1 от числа составляет Согласно условию задачи имеем

Только два целых числа удовлетворяют полученным неравенствам: это и . Ясно, что меньшее среди них - это

Ответ: 33 ученика.

Уровень С:

Пример 6. Непустое множество состоит из конечного числа натуральных чисел. Четных чисел в меньше двух третей от , а нечетных — не больше 36% от . Какое ми­нимальное значение может принимать число ?

Решение. Пусть - количество четных чисел в . Со­гласно условиям задачи имеем следующую систему нера­венств:

.

Так как неравные между собой целые числа и различаются по крайней мере на единицу, последнее нера­венство эквивалентно неравенству

.

Если , то промежуток [ ) не содержит целых чисел, если же , то этот промежуток содержит целое число . Таким образом, общее количество чисел в равно 14.

Ответ: .

Пример 7. На первом складе сахара было на 16 тонн больше, чем соли. За день с первого склада вывезли часть сахара и часть соли, причем сахара вывезли на 2 тонны больше, чем соли. На втором складе соли было на 4 тонны больше, чем сахара. За день со второго склада также вывезли часть сахара и часть соли, причем сахара вывезли на 3 тонны больше, чем соли. Сколько соли было на первом и втором складах, если известно, что целое число? При каких задача имеет решение?

Решение. Обозначим через количество соли на первом складе, тогда - количество сахара на этом же скла­де. Пусть также и -соответственно, количество са­хара и соли на втором складе. Согласно условиям задачи имеем следующую систему уравнений:

следовательно, , так как — целое число.

Значит, Таким образом, на первом и втором складах было 24 и 80 тонн соли соответственно.

Ответ: 24 и 80 тонн;

Пример 8. Две бригады однотипных тракторов задейст­вованы на вспашке поля. Время вспашки поля только пер­вой бригадой отличается от времени вспашки поля только второй бригадой не более чем на часть времени вспашки поля одним трактором. Если сначала восьмая часть первой бригады вспашет первую половину поля, а затем пятая часть второй бригады вспашет оставшуюся половину поля, тогда затраченное на вспашку поля время составит от времени вспашки поля одним трактором. Определить коли­чество тракторов в каждой бригаде.

Решение. Пусть — количество тракторов в первой и второй бригаде соответственно, — производительность одного трактора, всю работу примем за единицу. Согласно условиям задачи получаем следующую систему:

причем – целые числа, т.е. кратно 8, а кратно 5. Преобразуем данную систему следующим образом:

,

так как целое число. Кроме того, кратно 8, поэтому . Если , то кратно 5. Если или , то не является целым числом. И, на­конец, если , то не кратно 5. Таким образом, в первой бригаде было 24 трактора, а во второй — 45 тракто­ров.

Ответ: 24 трактора и 45 тракторов.

Задачи для самостоятельного решения.

Уровень А:

1. Группа школьников, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5. Сумма всех полученных оценок равна 93, причём троек было больше, чем пяте­рок, и меньше, чем четвёрок. Число четвёрок делилось на 10, а число пятерок было чётным. Определить, сколь­ко и каких оценок получили школьники.

2. Один рабочий бригады, состоящей из 5 человек, произ­водит в среднем 14 деталей в час, причем каждый из ра­бочих производит в час целое число деталей, не превы­шающее 16. Сколько деталей в час может делать при этих условиях рабочий с самой низкой производительно­стью?

3. За время первый рабочий сделал на 3 детали больше второго. Затем второй рабочий увеличил производитель­ность труда на 0, 2 детали в минуту и черев некоторое целое число минут догнал и обогнал первого, работавше­го с постоянной производительностью, на 2 детали. Най­ти наибольшее возможное время .

Уровень В:

4. При подведении итогов соревнования вычислено, что процент числа членов бригады, перевыполнивших план, заключён в пределах от 92, 5 до 93, 5%. Определить ми­нимально возможное число членов этой бригады.

5. В течение нескольких дней в города и завозили ар­бузы, причем ежедневные поставки арбузов в каждый город были постоянными и составляли целое число тонн. В итоге за все эти дни в город было завезено на тонн арбузов больше, чем в город , где число удов­летворяет неравенствам . Если бы еже­дневные поставки в город были увеличены в 2 раза, то за то же число дней в завезли бы на 91 тонну арбу­зов больше, чем в . Сколько дней продолжался завоз арбузов? Каковы были ежедневные поставки в каждый город?

6. Автоматы двух типов красили детали, и все детали были покрашены за час. Определить число автоматов, если известно, что каждый из них мог бы покрасить все детали за целое число часов, общая сумма которых рав­на 55.

7. Около дома посажены липы и берёзы, причём общее их количество более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а количество берёз увеличить на 18, то берёз ста­нет больше. Если увеличить вдвое количество берёз, не изменяя количества лип, то лип все равно будет боль­ше. Сколько лип и сколько берёз было посажено?

Уровень С:

8. Непустое множество состоит из конечного числа действительных чисел, отличных от нуля. Положительных чисел в меньше трёх четвертей от , а отрицательных - не больше 27% от . Какое минимальное значение может принимать число ?

9. Химический завод имеет цеха трёх типов. В каждом цехе первого, второго и третьего типов работают, соот­ветственно, 350, 80 и 30 рабочих, а также 91, 19 и 8 технологов. Всего в цехах завода работают 980 рабочих и 252 технолога. Найти число цехов каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 15.

10. Группа самолетов, пятая часть из которых бомбарди­ровщики, вылетела с аэродрома. При этом не более 10 из них полетели на запад, а остальные на восток. Оказалось, что число самолетов, полетевших на восток, больше 50%, но меньше 55% от общего количества. Сколько самолетов полетели на запад?

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 3772; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.031 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь