|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Линейные уравнения с любым числом неизвестных.
Рассмотрим уравнение вида
где Одно из них, например, Примем Если примем Таким образом, решение уравнения (2.1) в целых числах сводится к решению в целых числах уравнения (2.2), в котором наибольший из коэффициентов при неизвестных (учитывая, что Т.к. последовательность убывающих натуральных чисел не может быть бесконечной, то, пользуясь указанным приемом, придем либо к уравнению с одним неизвестным, решение которого не вызывает затруднений, либо к уравнению, в котором все коэффициенты при неизвестных равны, например, к уравнению На практике, при объяснении целочисленных решений уравнения (2.1), указанный прием применяется до тех пор, пока не получается уравнение, в котором хотя бы при одном неизвестном будет коэффициент, равный единице. Пример: Решить уравнение Принимая 10-наибольшее, 10=7·1+3. Тогда Все решения в целых числах Все решения исходного уравнения в целых числах где Например, Легко показать, что если уравнение 3.1 имеет решение в целых числах, то таких решений (в случае Действительно, если существует целые числа Теорема 2.1. Если Уравнения второй степени с двумя неизвестными. Можно легко указать примеры уравнений второй степени с двумя неизвестными и с целыми коэффициентами, которые не имеют решений в целых числах, например, уравнение
Легко исследовать для каких целых чисел
имеет решение в целых числах Теорема 3.1. Уравнение (3.1) имеет по крайней мере одно решение в целых числах Доказательство. Необходимость. Если существуют целые числа Если какое-нибудь одно из чисел Наконец, если оба числа Достаточность. Предположим теперь, что целое число Если же число Теорема 3.2. Для каждого целого числа Доказательство. Достаточно доказать для натуральных Труднее исследовать вопрос, для каких натуральных имеет хотя бы одно решение в целых числах Теорема 3.3. Уравнение (3.2) имеет по крайней мере одно решение в целых числах Поэтому, например, уравнение Разумеется, для каждого целого числа Еще труднее установить необходимое и достаточное условие того, чтобы для данного натурального числа Теорема 3.4. Для каждого данного натурального числа 1) уравнение (3.2) разрешимо в целых числах 2) либо число Например, это уравнение (3.2) разрешимо в натуральных Теорема 3.5. Для того чтобы уравнение Замечание 3.1. В этом состоит необходимое и достаточное условие существования (хотя бы одного) пифагорова треугольника с гипотенузой Замечание 3.2. Легко доказать, что уравнение
имеет для каждого натурального Если уравнение Например, доказательство того, что для натурального Однако не для каждого многочлена с целыми коэффициентами, для которого уравнение В самом деле, уравнение Анджей Шинцель обнаружил, что для каждого натурального числа §4. Уравнение вида Теорема 4.1. Уравнение
имеет бесконечное множество решений в натуральных числах Доказательство. Заметим, что (1, 1)-решение уравнения (4.1) и, что если Действительно,
Предположим, что Покажем, что тогда Предположим, что Пусть теперь Положим теперь
на основании (4.5) заключаем, что
Покажем далее т.е. каждой точке плоскости с координатами Итак, если Итак, если Примем С другой стороны, если примем Учитывая полученные выше результаты, заключаем, что все решения (4.1) в натуральных числах 4.2. Уравнение Теорема 4.2: Доказательство. Предположим противное. Найдутся натуральные числа Как известно для натурального Итак, предположение, что уравнение Следствие 4.1. Для натуральных
не имеет решений в натуральных числах На практике удобно использовать следующее утверждение. Теорема 4.3. Пусть { §5. Уравнение Теорема 5.1. Дано уравнение Пусть { Доказательство аналогично (4.1) [12]. В 1950 г. Р. Облай высказал предположение, что кроме решения Предположим, что Покажем, что Если бы было Если бы было Положим теперь
На основании (5.3), найдем, что Примем, Итак, можно сказать, что исходя из любого решения Приняв же С другой стороны, легко проверить, что если Приняв Здесь мы имеем Таким путем легко получаем решения
Этих решений имеется, очевидно, бесконечное множество. Из равенств Так что здесь мы пишем, например, еще такие решения:
А. Роткевич заметил, что из всех решений уравнения (5.1) в натуральных числах
в натуральных числах В самом деле, допустим, что натуральные числа С другой стороны, если натуральные числа Таким образом, исходя из решений
Заметим здесь еще, что если натуральные числа Подобным образом, как раннее для уравнения (5.1) мы могли бы найти все решения уравнения
в натуральных числах
и для
что приводит к формуле Например, Геометрический смысл рассмотренного уравнения состоит в том, что оно дает все пифагоровы треугольники (прямоугольные с натуральными сторонами), катеты которых выражаются последовательными натуральными числами. Таких треугольников имеется бесконечно множество. Уравнение же
§6. Уравнение вида Рассмотрим вопрос о разрешимости уравнения Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 1258; Нарушение авторского права страницы
, (2.1)
натуральное число, больше 1. Будем предполагать, что все коэффициенты 
- различные натуральные числа (если 
- отрицательное, то можно взять за коэффициент его абсолютную величину, изменив знак у неизвестного; если два коэффициента равны, например, 
, то можно положить 
).
, есть наибольшим, в частности, 
. Предположим, что число 
при делении на 
дает в частности натуральное число k и в остатке 
, так что 
, 
(по теореме о делении с остатком).
, 
, 
. Тогда 
+ 
и уравнение (3.1) перейдет в уравнение 
(2.2)
, 
то из каждого решения в целых числах уравнения (2.2) получим решение в целых числах уравнения (2.1).
) меньше, чем наибольший из коэффициентов при неизвестных в уравнение (2.1). Далее, аналогичным образом из уравнения (2.2) можно получить уравнение, в котором наибольший из коэффициентов будет меньше, чем наибольший из коэффициентов (2.2) и т.д.
. Из этого уравнения следует, что свободный член 
будет делиться на 
. Если бы это условие не выполнялось, то тогда уравнение это, а, следовательно, и уравнение (2.1) не имело бы решений в целых числах. Если 
, то получаем уравнение 
все решения которого в целых числах находим, полагая 
равными любым целым числам и принимая 
.
, получаем уравнение 
, или 
. Пусть 
, тогда получим 
Теперь 7- наибольшее, 7=6·1+1. Тогда 
или 
Пусть 
тогда получаем 
этого уравнения получаем, если для 
будем назначать любые целые числа и примем 
. А так как 
, то имеем 
и далее, так как 
и 
содержится в формулах 
.
) оно имеет бесконечное множество.
такие, что 
то полагая 
а 
, где 
- произвольные целые числа, получаем целые числа 
, удовлетворяющие уравнению (2.1).
и 
– целые числа, причем среди чисел 
, по крайней мере одно отлично от нуля, то для разрешимости уравнения (3.1) в целых числах 
, необходимо и достаточно, чтобы свободный член 
или уравнение 
. Легко также указать пример уравнения, умеющего конечное число решений в целых числах. Например, уравнение 
имеет только шестнадцать решений в целых числах, именно: 
.
уравнение
.
и если оба числа 
- четные, то, очевидно, числа 
делятся на 4, и, следовательно, их разность 
, а значит и число 
– целое. Таким образом, числа 
являются целыми и, как легко проверить, удовлетворяют нашему уравнению.
, гдe 
-целое число. Тогда числа 
и 
являются целыми и, как легко проверить, удовлетворяют уравнению (3.1).
число решений в целых числах 
, где -натуральное число, то 
, откуда 
и имеем 
, что дает 
и следовательно, 
и 
; но число систем натуральных чисел 
удовлетворяющих двум последним неравенствам, равно, очевидно, 
и следовательно, является конечным.
(3.2)
тогда и только тогда, когда частное от деления натурального числа 
.
уравнение (3.2) имеет конечное 
, но неразрешимо в этих числах для 
. Отсюда легко следует: 
, где 
имело по меньшей мере один простой делитель вида 
, где 
- целое число.
, где 
- многочлен с целыми коэффициентами, имеет решение в целых числах 
существуют целые числа 
, при которых число 
такое, что не для одной системы чисел 
число 
уравнение 
не имеет решений в целых числах, можно провести посредством проверки, показать, что для 
и для любого целого 
число 
или, что то же самое, число 
не делится на 3 (действительно: 
).
, очевидно, не имеет решений в целых числах 
, где 
натуральные числа. Число 
делится на 
, поэтому существует такое натуральное число 
Итак, имеем 
, отсюда видно, что число 
из последовательности 
такое, что число 
делится на 
(4.1)
- его решение, то 
, где 
, также есть решение этого уравнения.
.
и следовательно, как это вытекает из (4.1) 
.
, 
, 
. (4.5)
. Тогда имеем, 
, а также в силу (4.1), 
, то получаем 
, или, 
что дает 
и, следовательно, 
, а это противоречит предположению 
. Тогда имеем 
, а так как, в силу (4.1), 
, то получаем 
, чего быть не может, т.к. 
Итак, доказано и второе из неравенств (4.5), из которого уже непосредственно вытекает третье.
(4.6)
и 
- натуральные числа, причем 
и, следовательно, 
. Рассмотрим выражение
, если 
, 
есть решение уравнения (4.1) в натуральных числах 
также есть решение уравнения (4.1) в натуральных числах 
, то подобным же образом, исходя из решения ( 
, 
)= 
= 
в натуральных числах 
, мы получим таким образом последовательность решений 
, 
, 
, … уравнения (4.1) во все меньших натуральных числах. Так как последовательность натуральных чисел убывающая, то она не может быть бесконечной и при некотором натуральном 
.
. (*)
легко проверить, что 
откуда при помощи индукции легко находим, что (*) 
.
будут решением (4.1) если 
, 
, …
. 
не имеет решений в натуральных числах 
такие, что 
, или 
, т.е. квадрат натурального числа равен произведению 
последовательных чисел 
и 
.
числа 
, то он был бы делителем их разности, т.е. числа 1. что невозможно). Но, как известно из арифметики, если квадратное число есть произведение двух натуральных взаимно простых чисел, то каждый из этих сомножителей должен быть квадратом натурального числа. Поэтому, если бы существовали натуральные числа 
, 
, то отсюда 
, что для натуральных чисел 
(4.3)
. Тогда все решения уравнения (4.1) в натуральных числах содержатся в бесконечной последовательности [ 
] для 
(4.4)
. 
. (5.1)
- решение уравнения (5.1) в натуральных числах содержится в бесконечной последовательности { 
, оно не имеет других решений в натуральных числах 
. Метод, аналогичный приведенному выше для уравнения 
поэтому должно быть 
.
. (5.3)
мы имели бы 
, а так как, ввиду (6.1), 
, то было бы 
, откуда 
и значит, учитывая, что 
, что невозможно. Итак, первое из неравенств (5.3) доказано.
, мы имели бы 
, а так как, ввиду (5.1), 
, то было бы 
, т.е. 
, что невозможно. Таким образом, доказано второе из неравенств (5.3), из которого уже непосредственно вытекает третье.
(5.4)
, 
и 
и, значит, 
, откуда, ввиду (5.1), 
.
.
= 
, где 
(и значит, решение в меньших натуральных числах). Отсюда, действуя как выше, найдем, что для каждого решения уравнения (5.1) в натуральных числах 
.
, (5.5) легко найдем, что 
и, следовательно, 
.
для 
получим последовательность 
для 
содержащую все решения уравнения (5.1) в натуральных числах.
, следовательно, в силу (5.5), получим 
с нечетными индексами являются нечетные, с четными – четные, а числа 
суть нечетные для 
Для получения всех решений уравнения (5.1) в целых числах 
присоединить 
и 
для 
(5.7)
.
, получим, как легко проверить, натуральные числа 
, откуда следует, что число (натуральные) 
делится на 3, следовательно, 
, где 
имеет место равенство 
, которое доказывает, что числа 
уравнения (5.1), получаем решения
уравнения (5.7).
, 
.
(5.8)
, 
и к выводу, что все решения уравнения (5.8) в натуральных числах 
для 
, 
, 
; 
; 
, как сказано, не имеет решений в натуральных числах 
, причем можно доказать, что это единственное решение в натуральных числах уравнения
.
.