Неравенства в целых числах. Графические иллюстрации.

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 14Следующая ⇒

Часто при решении уравнений, неравенств, систем, а также текстовых задач, связанных с целыми числами, удобно пользоваться графической иллюстрацией. Иногда удаётся достаточно несложно изобразить множество решений на координатной плоскости, и возникает необходимость выделить из этого множества точки с целочисленными координатами. Не всегда такую задачу можно решить «на глазок». В этом случае используются какие-либо дополнительные соображения. Можно, например, заключить данное множество в прямоугольник с последующим исключением лишних точек путем проверки. В любом случае применение графической иллюстрации при решении задачи требует сопутствующих вычислений и строгого обоснования. Рассмотрим несколько примеров.

Уровень А:

Пример 1. Найти все пары целых чисел удовлетворяющих системе неравенств

Решение. Умножим первую строку данной системы на (-1) и сложим со второй строкой. Имеем:

⇔
⇒

⇒ ⇔

так как — целое число. Подставляя в исходную систему, получаем

⇒

так как — целое число. Следовательно, или , и ответом к задаче будут служить пары чисел

Ответ:

Пример 2. Найти все пары целых чисел , удовлетворяющих системе неравенств

Решение. Складывая первое неравенство данной системы

с третьим, получаем неравенство , откуда .

Если же сложить между собой второе и третье неравенства исходной системы, то получится неравенство , которое будет иметь своим решением промежуток .

Следовательно, искомые значения переменной должны принадлежать промежутку . А так как — целое число, то

⇔ ⇒

так как также является целым числом. Таким образом, ответом к задаче будут служить пары чисел

Ответ:

Пример 3. Найти все пары целых чисел , удовлетворяющих системе

Решение.

Преобразуем данную систему следующим образом:

⇔

На координатной плоскости полученная система определяет множество точек, изображенное на рис.1 (граница не принадлежит данному множеству).

На рисунке видно, что этому множеству принадлежит только две точки с целочисленными координатами - это точки

Ответ: .

Уровень В:

Пример 4. Найти все целочисленные решения системы

Решение. Пусть , тогда данная система примет следующий вид:

⇔

На координатной плоскости полученная система определяет множество точек, изображенное на рис. 2 (граница не принадлежит данному множеству).

Из этого рисунка видно, что в полученном множестве содержатся только три точки с целочисленными координатами - это Таким образом, ответом к задаче будут служить пары чисел

Ответ:

Пример 5. Найти все тройки целых чисел удовлетворяющих неравенству

Решение. Заметим сначала, что при любых значениях переменных сумма трёх чисел, стоящих под знаком логарифмов, равна 3. Кроме того, каждое из этих чисел является целым и положительным. Следовательно, все три указанных числа равны 1, а левая часть неравенства при этом обращается в нуль. Имеем:

При для нахождения получаем систему

которая не имеет решений в целых числах. При имеем:

Если , система принимает вид

и не имеет целочисленных решений. И, наконец, если , находим, что

Полученная система также не имеет решений в целых числах. Таким образом, ответом к задаче будут служить

Ответ:

Пример 6. Найти все пары целых чисел , удовлетворяющих одновременно двум неравенствам

Решение. Преобразуем данную систему следующим образом:

⇔

На координатной плоскости множество решений этой системы будет представлять собой пересечение двух кругов (исключая их границы), ограниченных окружностью с центром и радиусом и окружностью с центром и радиусом (рис.3).

Так как , а , то точка с координатами не принадлежит ни одному из этих кругов (поскольку расстояние от центра круга до токи с координатами равна 5). То же самое можно сказать и про точку с координатами Это означает, что искомое множество целиком содержится внутри прямоугольника, ограниченного прямыми (границы прямоугольника не включаются). Внутри этого прямоугольника имеются только три точки с целочисленными координатами - это точки . Проверкой убеждаемся, что решением задачи будут служить пара чисел

Ответ:

Уровень С:

Пример 7.

Найти все пары целых чисел (x, y), каждая из которых удовлетворяет уравнению .

Решение. Для нахождения области определения данного уравнения рассмотрим следующую систему неравенств:

Изобразим множество решений этой системы на координатной плоскости (рис.4).

Из рисунка видно, что множество является треугольником и целиком содержится в квадрате, ограниченном прямыми При этом из граничных точек квадрата треугольнику принадлежат точки Так как — целые числа, то в область определения исходного уравнения может войти также внутренняя точка квадрата, имеющая координаты Проверкой убеждаемся, что из четырех рассмотренных пар чисел решением уравнения будет служить только пара

Ответ:

Пример 8. При каких значениях параметра количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих неравенству минимально?

Решение. Заметим начала, что при данное неравенство будет иметь бесконечно много целочисленных решений. Действительно, решениями будут служить пары , т.е. .

Пусть теперь . Данное неравенство эквивалентно неравенству

Необходимо рассмотреть несколько случаев. При полученное неравенство принимает вид и имеет своим решением следующие пять пар целых чисел: . При множество решений этого неравенства изображено на рис.5.

Ясно, что это множество целиком содержится внутри прямоугольника, ограниченного прямыми (границы прямоугольника не включаются) и имеет три пары целочисленных решений: . Аналогично, если , то решениями , будут служить (рис.6).

При и при исходное неравенство будет иметь, по крайней мере, пять пар целочисленных решений : в первом случае это будут числа , во втором – числа (рис.7 и 8).