Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Уравнения второй степени с более двумя неизвестными.



7.1. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Прежде всего здесь представляет интерес уравнение

. (7.1)

Определение 7.1. Натуральные числа удовлетворяющие уравнению, составляют так называемый пифагоров треугольник.

Обозначим через α НОД чисел . Тогда , , примем и уравнение (7.1) примет вид . Отсюда следует, что делится на и значит, кратно .

Теперь уравнение (7.1) можно записать в виде

;

сокращая на , получим: .

Мы пришли к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины взаимно простые. Таким образом, при решении уравнения (7.1) можно ограничиться случаем, когда . Тогда хотя бы одна из величин (например, ) будет нечетной.

Перенося в правую часть уравнения (7.1), получим:

; . (7.2)

Обозначим через НОД выражений

Так как , то полученное равенство возможно только в том случае, когда будут полными квадратами (известно, что произведение двух взаимно простых чисел может быть полным квадратом только тогда, когда каждый множитель – полный квадрат):

.

Но тогда и . (7.4)

Найдем теперь и из равенств (7.3). Сложение этих равенств дает:

. (7.5)

Вычитая второе из равенств (7.3) из первого, получим

;

. (7.6)

В силу нечетности из (7.1) получаем, что также нечетны. Более того, , так как иначе из равенств (7. 4) и (7.6) следовало бы, что , что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа связаны со взаимно простыми числами равенствами и в силу этого сами взаимно просты; так как , то , что ясно из равенств (8.3).

Подставляя в равенства (7.4), (7.5) и (7.6) , получаем формулы:

, , , (7.7)

дающие при нечетных взаимно простых ( ) все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел , удовлетворяющие уравнению (7.1).

Для начальных значений формулы (7.7) приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

, ( ),

, ( ),

, ( ).

Как уже было сказано, формулы (7.7) дают только те решения уравнения (7.1), в которых числа не имеют общих делителей. Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются домножением решений, содержащихся в формулах (7.7) на произвольный (натуральный) общий множитель .

Тем же путем, каким мы получим все решения уравнения (7.1) в натуральных числах, могут быть получены и все решения других уравнений того же типа.

Найдем все решения уравнения

(7.8)

в натуральных, попарно взаимно простых числах .

Заметим, что если есть решение уравнения (7.8) и не имеют общего делителя, отличного от 1, то они и попарно взаимно просты.

Действительно, если кратны простому числу , то из равенства

следует, что кратно (так как левая часть – целое число). То же самое будет, если или делятся на .

Заметим, что должно быть числом нечетным. Действительно, если четно, то левая часть уравнения (7.8) будут четными числами и, значит, также будет четным. Но тогда и будут кратны 4. Отсюда следует, что должны делиться на 4, другими словами, что тоже должны быть четным числом. Чего быть не может, так как попарно взаимно просты.

Если - нечетно, то и должно быть тоже нечетным. Перенося в правую часть, мы получаем .

Но и имеют НОД, равный 2ю Действительно, пусть их НОД равен . Тогда , , где целые взаимно простые числа. Складывая и вычитая эти равенства, мы будем иметь: , .

Но и нечетны и взаимно просты. Поэтому НОД и будет 2. Отсюда следует, что .

Итак, или , или нечетно. Поэтому или числа

взаимно просты, или просты числа

.

В первом случае из равенства следует, что , , а во втором случае из равенства следует, что , , где - целые, - нечетное число, . Решая эти две системы уравнений относительно и и находя y, мы получаем или

или

,

где - нечетно. Определяя эти две формулы представления решения мы получаем общую формулу:

где –нечетно. Но, для того чтобы были целыми числами, необходимо, чтобы -было четным. Полагая и мы получаем окончательно общие формулы, дающие все решения уравнения (7.8) в целых положительных, без общего делителя, большего 1, числах :

, (7.9)

где положительны, взаимно просты и нечетно.

При этих условиях величины выбираются произвольно, но так, чтобы было положительно. Формулы (7.9) действительно дают все решения в целых положительных и взаимно простых числах так как, с одной стороны, мы доказали, что в этом случае должны представляться по формулам (7.9), а с другой стороны, если мы задали числа , удовлетворяющие нашим условиям, то будут действительно взаимно просты и будут решением уравнения (7.8).

Можно найти все решения уравнения

(7.10)

в натуральных числах . Это уравнение легко приводиться к уравнению вида (7.1).

В самом деле, если целые числа удовлетворяют уравнению (7.10), то они должны быть одновременно либо оба четными, либо оба нечетные. Поэтому числа

, .

Тогда

и, следовательно, .

С другой стороны, если , то приняв , , получим .

Уравнение же не имеет решений в целых числах, отличных от нуля; последнее можно легко проверить, исходя из того факта, что квадрат целого числа, не делящегося на 3, дает при делении на 3 в остатке 1.

Обобщение уравнения (7.1) является уравнение

, (7.11)

где заданное натуральное число. Докажем, что оно имеет бесконечное множество решений в натуральных числах таких, что числа взаимно просты.

В самом деле, если

,

где любое натуральное нечетное число. Тогда

,

Числа здесь натуральные, причем числа взаимно просты, так как из уравнения (7.11) вытекает, что их общий делитель является делителем числа , следовательно, является также делителем числа .

Если же есть четное число, то приняв

где ппроизвольное натуральное число, получим натуральные числа такие, что , причем числа нечетные. А так как каждый общий делитель чисел является делителем числа , то, как число нечетное, он будет делителем числа 1. Отсюда следует, что числа , а значит, также и числа взаимно просты.

Уравнение имеет бесконечное множество решений в натуральных числах , что вытекает непосредственно из тождества

,

Действительно,

Например, .


Поделиться:



Популярное:

  1. B. это наиболее суровая мера юридической ответственности
  2. Exercise 5: Образуйте сравнительные степени прилагательных.
  3. I, Верхние передачи мяча двумя руками — 15 мин,
  4. II. Обучение верхней передаче двумя руками—40 мин.
  5. III. Из предложенных слов выберите то, которое наиболее близко передает значение подчеркнутого.
  6. IV.Общий, совместный, коллективный труд как более сложная форма организации труда.
  7. P.S., где рассказывается о том, что было услышано 16 февраля 1995 г., во второй половине седьмого дня нашего отступления.
  8. VII. БАРАНОВА З.Г. НИЧЕГО НЕ ЕСТ И НЕ ПЬЁТ УЖЕ БОЛЕЕ 9 ЛЕТ.
  9. XXXII. ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ И ДЕЛАТЬ ЕЖЕДНЕВНО, ЧТОБЫ НЕ БОЛЕТЬ, А ЕСЛИ БОЛЕЕШЬ, ТО КАК ВЫТАЩИТЬ СЕБЯ В ТЕЧЕНИИ ДНЯ, ПОЧТИ, С ТОГО СВЕТА.
  10. Адвокатура в России во второй половине XIX-начале XX века
  11. Акцентуация диагностируется в случае превышения по каждому типу более 12-бального уровня
  12. Анализ степени влияния непрерывно изменяющихся факторов


Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 1069; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.036 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь