Целые числа и квадратный трехчлен.

В данной главе рассматриваются задачи на целые числа, связанные с квадратным трехчленом. Во многих случаях при решении таких задач используется графический метод. В некоторых задачах применяется теорема Виета, которая формулируется следующим образом. Если и - корни квадратного уравнения , то

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти все целые значения , при каждом из которых квадратный трехчлен можно разложить в произведение двух сомножителей с целыми и .

Решение. Согласно условию задачи имеем следующее равенство:

, откуда следует, что

⇔

Из последнего равенства ввиду целочисленности значений и вытекают два случая:

В первом случае получаем, что , во втором - . Таким образом, ответом к задаче будут служить

Ответ:

Пример 2. Найти все значения параметра , при которых неравенство не имеет ни одного целочисленного решения.

Решение. Обозначим , тогда данное неравенство принимает вид . Рассмотрим функцию . На координатной плоскости графиком этой функции будет служить парабола, абсцисса вершины которой равна . Тогда целочисленным решениям исходного неравенства будут соответствовать t = . Отсюда следует, что исходное неравенство не имеет ни одного целочисленного решения тогда и только тогда, когда число не входит в промежуток, являющийся решением неравенства (или это неравенство вообще не имеет решений). И в том и в другом случае должно выполняться условие (рис. 11).

В противном случае (т.е. когда ) число попадает в промежуток, являющийся решением неравенства , и, значит, является решением исходного неравенства. Окончательно имеем:

Полученные значения и будут служить ответом к задаче.

Ответ:

Пример 3. Найти все значения параметра , при которых существует ровно 1998 целых чисел, удовлетворяющих неравенству

Решение. Обозначим заданный квадратный трехчлен через . Так как вершина параболы удовлетворяет неравенствам , то множество решений данного неравенства содержит ровно 1998 целых чисел в том и только в том случае, когда парабола расположена так, как показано на рис.12.

Значит, корни трехчлена должны удовлетворять системе неравенств

⇔

Ответ:

Пример 4. Найти все значения параметра , при каждом из которых число целочисленных решений неравенства максимально.

Решение. Преобразуем данное неравенство следующим образом:  

⇔

На координатной плоскости изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной совокупности (рис. 13).

Из рисунка видно, что наибольшее число целочисленных решений (а именно три решения) данное неравенство будет иметь при .

Ответ: .

Пример 5. Найти все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит хотя бы одно целое число.

Решение. Рассмотрим данное неравенство как квадратное относительно :

.

Необходимым и достаточным условием существования его решений является положительность дискриминанта:

Полученному интервалу принадлежат всего пять целых значений , , Требуется для каждого из этих значений найти соответствующее значение .

1. Если то неравенство принимает вид

⇔

2. Если получаем:

⇔

3. Если имеем:

⇔

4. Если то:

⇔

Ответ выписывается как результат объединения всех полученных интервалов:

Ответ:

Пример 6. Найти все , при которых уравнение имеет, по крайней мере, один корень и все его корни являются целыми числами.

Решение. При получаем, что данное уравнение имеет единственный корень , поэтому удовлетворяет условию задачи. Если и квадратное уравнение имеет корни то, согласно теореме Виета, выполнены следующие соотношения:

Так как - целые числа, то возможны следующие случаи:

Или, что то же самое,  

В первом и втором случаях квадратный трёхчлен принимает вид:

и должен совпадать с исходным квадратным трёхчленом; отсюда находим . В третьем и четвёртом случаях получаем, что

Таким образом, ответом к задаче будут служить , ,

Ответ: , ,

Задачи для самостоятельного решения.

Уровень А:

1. Найти все значения параметра , при которых неравенство не имеет ни одного целочисленного решения.

2. Найти все целые значения параметра , при которых существуют ровно два целых значения , удовлетворяющих неравенству

Уровень В:

3. Квадратный трехчлен имеет два различных целых корня. Один из корней трёхчлена и его значение в точке являются простыми числами. Найти корни трёхчлена.

4. Найти все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства содержит хотя бы одно целое число.

Уровень С:

5. Найти все , при которых уравнение имеет, по крайней мере, один корень и все его корни являются целыми числами.

6. Найти все значения параметра , при которых число целочисленных решений неравенства максимально.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. VI. Отбор кандидатов на обучение за счет бюджетных ассигнований бюджета Донецкой Народной Республики из числа сотрудников органов внутренних дел
2. Абсолютные числа разводов и общие коэффициенты разводимости в США и СССР,
3. Астное.8 отдельно отображается ения десятичного с дробью числа, а типовой для него формат вывода может представиться неудобным
4. Болезни, обусловленные нарушением числа аутосом (неполовых) хромосом
5. В каких случаях производителю работ, имеющему группу IV, из числа персонала, обслуживающего устройства релейной защиты, электроавтоматики, разрешается совмещать обязанности допускающего?
6. Вид оперативного обслуживания электроустановок, а также число работников из числа оперативного персонала в смене устанавливается ОРД организации или обособленного подразделения.
7. ВЫБОР ЧИСЛА И МОЩНОСТИ ТРАНСФОРМАТОРОВ ГПП
8. ВЫБОР ЧИСЛА И МОЩНОСТИ ТРАНСФОРМАТОРОВ с учетом компенсации реактивной мощности
9. Выбор числа и мощности трансформаторов цеховых ТП
10. Выкладывание различных фигур из заданного числа палочек
11. Глава 1. Основные типы уравнений в целых числах.
12. Динамика показателей числа малых предприятий и среднесписочной численности работников в 2010-2012 годах