Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Другие уравнения в целых числах.



Все описанные в предыдущей главе методы применимы для решения не только диофантовых уравнений второго по­рядка с двумя неизвестными, но и других уравнений в це­лых числах. К таким уравнениям относятся уравнения вто­рого порядка с тремя и более переменными, уравнения более высокого, чем второго, порядка, уравнения, содержащие показательные и логарифмические функции, а также неко­торые другие уравнения. Выбор нужного метода при реше­нии подобного уравнения порой является определяющим условием для успешного решения задачи. Рассмотрим не­сколько примеров.

Уровень А:

Пример 1. Решить в целых числах уравнение

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим об­разом:

Ответ:

Пример 2. Найти все пары целых чисел , каждая из которых удовлетворяют уравнению

Решение. Ясно, что пара является решением данно­го уравнения. Предположим теперь, что хотя бы одно из чи­сел отлично от нуля. Имеем

при всех значениях . Так как — целое число, то возможны три варианта.

1. Если , то , нет решений.

2. Если , то , либо

3. Если , то , следовательно, .

Таким образом, решением данного уравнения будут слу­жить следующие пары чисел:

Ответ:

Уровень В:

Пример 3. Найти все тройки простых чисел ко­торые удовлетворяют равенству

Решение. Заметим сначала, что если тройка удовлетворя­ет условию задачи, то и для тройки данное равенст­во также выполняется. Предположим, что оба числа и нечетны. Тогда четно. Однако простое, значит, . Легко видеть, что равенство при натураль­ных выполняется лишь при , однако число 1 не является простым.

Итак, хотя бы одно из чисел четно (и, значит, рав­но 2). Если , то не является простым числом. Пусть . Заметим, что при — простое число, т.е. тройка удовле­творяет условию задачи.

Пусть . Так как простое нечетное, то при делении на 6 оно может давать остаток 1 или 5, тогда при делении на 6 дает остаток 1. Рассмотрим остатки от деления на 6 степеней двойки. Они периодически повторяются: . Если дает при делении на 6 остаток 1 или 5, то дает ос­таток 2. Следовательно, дает остаток 3 при деле­нии на 6 и поэтому делится на 3. Это может быть только при . Однако ясно, что никакое не удовлетворяет равенству . Таким образом, решением задачи бу­дут служить тройки

Ответ:

Пример 4. Найти все , при которых оба числа, и , являются целыми числами.

Решение. Пусть – целое число. Тогда и

где Решим последнее уравнение в целых числах. При или дробь лежит в интервале и не является целым числом. Перебирая остальные , находим, что решением уравнения являются , , и , т.е. ответом к задаче служит

Ответ:

Уровень С:

Пример 6. Решить в натуральных числах уравнение

Решение. Так как правая часть исходного уравнения при натуральных дает при делении на 4 остаток 1, то и левая часть этого уравнения должна давать такой же остаток при делении на 4, откуда следует, что четно. Пусть , где — натуральное число. Аналогично рассмотрим остат­ки обеих частей уравнения при делении на 3. Левая часть при всех натуральных и дает остаток 1, а дает остаток 1 только при четных , откуда следует, что , где - натуральное число. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде , или .

Разложим левую часть полученного уравнения по фор­муле разности квадратов. Имеем .

Так как разложение правой части на простые множители содержит только тройки, то каждая из скобок левой части должна быть неотрицательной степенью тройки. Поскольку разность чисел, стоящих в этих скобках, равна и не делится на 3, то это возможно только в случае, когда а . Отсюда , а

или .

Еще раз применяя формулу разности квадратов, получа­ем

.

Значит, оба сомножителя в левой части являются степе­нями двойки, отличающимися на 2. Следовательно, , а , откуда , а , т.е. Таким образом, единственным решением уравнения являются

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Уровень А:

1. Решить в целых числах уравнение

2. Решить уравнение в натуральных числах.

3. Найти все тройки натуральных чисел , для каждой из которых выполняется соотношение

Уровень B:

4. Найти все при которых оба числа, и , являются целыми.

5. Найти все тройки натуральных чисел, для которых выполнено следующее равенство: .

6. Найти все целые значения переменной , при каждом из которых справедливо равенство

7. Найти все решения в целых числах уравнения .

Уровень С:

8. Найти все тройки натуральных чисел , удовлетворяющих равенству .

9. Найти наименьшее и наибольшее натуральные значения параметра , при которых уравнение ( имеет натуральные решения.


Поделиться:



Популярное:

  1. H. Приглаживание волос, одергивание одежды и другие подобные жесты
  2. Places in the home (комнаты и другие помещения)
  3. X. ТЫ-/ВЫ-ФОРМЫ ОБЩЕНИЯ. ДРУГИЕ ЛИЧНЫЕ МЕСТОИМЕНИЯ В КОММУНИКАЦИИ
  4. Аддикция, опиаты и другие наркотики в Америке
  5. АМЕРИКАНСКИЙ ФУТБОЛ, БОРЬБА И ДРУГИЕ БОЕВЫЕ ВИДЫ СПОРТА
  6. Антропогенные воздействия на леса и другие растительные сообщества
  7. Бета-каротин, ликопен и другие каротиноиды
  8. В задачах (258–266) вычислить, сколько молей веществ, подчеркнутых в уравнениях реакций, прореагировало или образовалось в результате химических превращений, если при этом выделилось 2500 кДж тепла
  9. В задачах 392–420 определить электродвижущую силу элементов, написать уравнения реакций, за счет которых возникает разность потенциалов. Составить схемы элементов
  10. В результате внедрения личинок аскарид в другие органы (печень, сердце и др.) в них происходят кровоизлияния и появляются очаги воспаления. Наиболее выражены эти инфильтраты в легких.
  11. В результате этих совещаний(были и другие) был сформирован заговорщицкий союз междк монархистами, кадетами,эсэрами,меньшевиками, народными социалистами и просто белогвардейцами.
  12. Вот основной комплекс в нынешнем виде, при условии, что есть еще другие нагрузки — бег.


Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 1162; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.021 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь