Задачи, аналогичные задачам С6 из ЕГЭ.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 14Следующая ⇒

Данный и следующий параграфы на разделяются на уровни, так как соответствующие примеры предполагают хорошей подготовленности обучающихся.

В данном параграфе рассматриваются задачи типа С6, аналогичные тем, которые предлагались на Едином государственном экзамене по математике.

Пример 1. Найти все пары натуральных чисел и таких, что и выполнено равенство .

Решение. Ясно, что данное уравнение эквивалентно уравнению . Рассмотрим общее уравнение ( и различные действительные положительные числа). Преобразуем его следующим образом:

Рассмотрим функцию тогда наше уравнение примет вид Производная этой функции равна

Следовательно, строго возрастает при и строго убывает при . Поэтому на каждом из этих промежутков функция принимает любое своё значение ровно по одному разу. Это означает, что равенство при ≠ возможно тогда и только тогда, когда и принадлежат разным промежуткам. Но интервалу принадлежат только два натуральных числа - это 1 и 2. При этом значение не принимается на интервале Таким образом, в натуральных числах исходное уравнение имеет решение только при

Число находим из уравнения:

⇔ .

В силу приведённых выше рассуждений это решение будет единственным.

Ответ:

Пример 2. Найти все тройки натуральных чисел , удовлетворяющие уравнению

Решение. Возможны три случая. Если , имеем:

Несложным перебором получаем, что либо и тогда , либо и . Если исходное уравнение преобразуется следующим образом:

Последнее равенство невозможно, так как оба множителя (стоящие в квадратных скобках) больше единицы. И, наконец, если , получаем, что

Полученное равенство также невозможно, поскольку число, стоящее в первой квадратной скобке, всегда больше единицы. Таким образом, решением задачи будут служить

Ответ:

Пример 3. Найти все натуральные , для которых уравнение имеет хотя бы один рациональный корень .

Решение. Пусть рациональный корень данного уравнения. Преобразуем это уравнение следующим образом:

Ясно, что при всех , откуда следует, что при всех натуральных . Поэтому будем считать числа положительными и взаимно простыми, причём . Пусть Имеем:

Значит, дробь является целым число. Разделим на в «столбик» с остатком:

Следовательно, число является делителем числа 9, поэтому возможны варианты . При получаем, что -нет решений в натуральных числах. При имеем чего не может быть, так как в левой части не целое число. И наконец, при получаем уравнение которое имеет решение в натуральных числах:

Ответ:

Пример 4. Найти все несократимые дроби , представимые в виде (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел и .

Решение. Пусть натуральные числа взаимно просты, а десятичная запись числа а имеет знаков. Тогда условие задачи записывается в виде уравнения

из которого следует, в частности, что . В силу взаимной простоты чисел число не имеет общих делителей ни с , ни с , следовательно, уравнение превращается в систему из двух уравнений

В силу все той же взаимной простоты чисел (с учетом ) последнему уравнению удовлетворяют только пары чисел . Первая пара при подстановке дает для числа уравнение , которое не имеет решений. Если же получаем, что

Так как левая часть полученного уравнения возрастает, а правая убывает, то это уравнение имеет не более одного корня, который угадывается: , откуда .

Ответ: .

Пример 5. Десятичная запись целого числа , большего 9, должна состоять из различных цифр одной чётности, а само оно должно быть квадратом целого числа. Найти все такие числа .

Решение. Заметим сначала, что - чётное число, так как при возведении любого нечётного числа, большего 3, в квадрат вторая цифра справа получается чётной. Действительно, квадрат любого нечётного числа оканчивается либо на 1, либо на 5, либо на 9 и должен давать остаток 1 при делении на 4, что не может произойти, если вторая справа цифра нечётная. Последней цифрой числа не может быть 6. Если это так, то вторая справа цифра должна быть нечётной, иначе будет давать остаток 2 при делении на 4, что также невозможно.

Следовательно, последняя цифра числа - это 4 (если последняя цифра числа есть 0, то и предпоследняя должна быть равна 0, что приводит к противоречию). Рассмотрим теперь возможные остатки при делении числа на 3. Полный квадрат при делении на 3 дает либо остаток 1, либо 0. Остатки при делении на 3 чисел 2, 4, 6, 8, 0 есть 2, 1, 0, 2, 0 соответственно. Так как любое число дает при делении на 3 тот же остаток, что и сумма его цифр, то число дает остаток 1 при различных комбинациях цифр 4, 6, 0 (4 - по-следняя цифра, могут входить не все цифры), а остаток 0 - при различных комбинациях цифр 4, 6, 8, 0 (в этом случае делится на 9, поэтому сумма цифр должна быть равна 18, цифра 0 может не входить, 4 - последняя цифра). В первом случае полным квадратом является число , во втором - число .

Ответ: 64, 6084.

Пример 6. Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой - различные натуральные числа, большие 340 и меньшие 520?

Решение. Без ограничения общности будем рассматривать только возрастающие геометрические прогрессии (если прогрессия убывающая, всегда можно положить первый член новой прогрессии равным последнему члену исходной, второй - предпоследнему и т.д., последний - ее первому члену). Знаменатель такой геометрической прогрессии должен быть рационален как отношение двух натуральных чисел. Пусть , где несократимая дробь, первый член данной прогрессии, - количество её членов. Докажем, что ответом к задаче является . В качестве примера возьмём прогрессию, у которой

Покажем, что для любой другой прогрессии, удовлетворяющей условиям задачи, всегда .

Из неравенств следует, что .Если имеем

(каждый раз берём минимально возможное , чтобы «уместить» как можно больше членов прогрессии). Значит, при всех таких количество членов прогрессии не превосходит 3. Пусть теперь . Так как числа -взаимно простые, а числа при натуральные, то должно делиться без остатка на . В предположении нужно найти в промежутке такое натуральное число, которое делилось бы нацело на куб натурального числа, большего либо равного 8. Ясно, что такое число только одно, это число 512, и оно соответствует уже построенной нами геометрической прогрессии.

Следовательно, данная в условии задачи геометрическая прогрессия может иметь максимум 4 члена.

Ответ: 4 члена.

Пример 7. Найти все пары натуральных чисел , которые удовлетворяют равенству (в левой части стоит число, получаемое дописыванием десятичной записи числа после десятичной записи числа ).

Решение. При данное уравнение принимает вид и имеет решение . Если и является - значным числом, то исходное уравнение преобразуется к виду и не имеет решений в целых числах. Далее будем считать, что 2. Если , то в левой части уравнения стоит двузначное число, откуда следует неравенство . Ясно, что это неравенство выполняется только для следующих пар чисел: . Проверкой убеждаемся, что ни одна из этих пар не является решением задачи. Если же , а является - значным числом, где , то справедлива следующая оценка:

Следовательно, в этом случае исходное уравнение решений не имеет.

Пусть теперь . Тогда для выполнения равенства необходимы условия: , так как иначе, если является -значным числом, а является -значным числом, где , имеем:

если , то

если то

если , то

если k = 1, b = 2, m = 1, a > 32, то

Конечным перебором для всех пар для которых и , получаем, что уравнению удовлетворяет всего одна пара Таким образом, ответом к задаче будут служить две пары чисел

Ответ:

Пример 8. Каждое из чисел умножают на каждое из чисел и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все полученные 54 результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение. Если все произведения взяты со знаком плюс, то их сумма максимальна и равна

Так как предыдущая сумма оказалась нечётной, то число нечётных слагаемых в ней - нечётно, причём это свойство всей суммы не меняется при смене знака любого её слагаемого. Поэтому любая из получающихся сумм будет нечётной, а значит, не будет равна нулю. Значение 1 сумма принимает, например, при такой расстановке знаков у произведений, которая получается при раскрытии следующих скобок:

Таким образом, наименьшая по модулю сумма, которую можно получить исходя из условий задачи, равна 1, а наибольшая сумма равна 4131.

Ответ: 1 и 4131.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти все тройки натуральных чисел , удовлетворяющие уравнению . Здесь

2. Найти все натуральные , для которых уравнение имеет хотя бы один рациональный корень .

3. Рассматриваются наборы различных целых чисел, произведение которых равно 180. Для каждого такого набора рассматриваются арифметические прогрессии, состоящие из чисел этого набора. Из какого наибольшего количества членов может состоять такая арифметическая прогрессия?

4. Набор состоит из 41 натурального числа, среди которых есть числа 3, 5 и 7. Среднее арифметическое любых 34 чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно 17 единиц?

б) Меньше 17 единиц?

в) Доказать, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.

5. Найти все пары натуральных чисел , удовлетворяющие равенству (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа а перед десятичной записью числа ).

6. Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой - различные натуральные числа, большие 210 и меньшие 350?

7. Перед каждым из чисел 22, 23, ..., 26 и 50, 51, ..., 60 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 121314 Следующая ⇒