Глава 3 Элементы теории множеств.

Стр 1 из 16Следующая ⇒

§ 1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….25-26

§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….26-34

Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений…………………………………………………………

§1 Основные понятия и определения. Виды отображений………………………………………………35-44

§2 Решение примеров……………………………………………………………………………………………………………………………44-45

Глава 5. Числовые функции и их свойства……………………………………………………………………

§1 Определение числовой функции. Основные свойства…………………………………………………46-50

§2 «Полезные функции»……………………………………………………………………………………………………50-56

§3 Построение графиков и исследование функций со знаком модуля……………………………57-63

Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.

§1 Прямая на плоскости……………………………………………………………………………………………………64-66

§2 Уравнение окружности…………………………………………………………………………………………………68

§3 Построение линий и областей на координатной плоскости………………………………………68-75

§4 Множества на плоскости………………………………………………………………………………………………76-81

Глава 7. Элементарные функции.

§1 Линейная функция………………………………………………………………………………………………………82-87

§2 Обратная пропорциональная зависимость………………………………………………………………87-94

§3 Дробно-линейная функция…………………………………………………………………………………………94-99

§4 Степенная функция……………………………………………………………………………………………………100-109

§5 Квадратичная функция………………………………………………………………………………………………110-129

§6 Показательная функция……………………………………………………………………………………………130-136

§7 Логарифмическая функция………………………………………………………………………………………136-150

§8 Сложные функции……………………………………………………………………………………………………151-156

§9 Обратные функции…………………………………………………………………………………………………157-171

Глава 8.Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.

§ 1 Периодические функции и их свойства…………………………………………………………………172-173

§2 Определение тригонометрических функций………………………………………………………. 173-176

§3 Функция y= ………………………………………………………………………………………………………176-177

§4 Функция y= ………………………………………………………………………………………………………177-178

§5 Функция y=tg x…………………………………………………………………………………………………………178-179

§6 Функция y=ctg x…………………………………………………………………………………………………………179-180

§7 Функция y=arcsin x………………………………………………………………………………………………………181-182

§8 Функция y=arccos x………………………………………………………………………………………………………183-184

§9 Функция y=arctg x…………………………………………………………………………………………………………185-186

§10 Функция y=arcctg x………………………………………………………………………………………………………187-188

§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189-213

Приложения.__________________________________________________________-214-216

ГЛАВА 1. Числовые множества.

Основные понятия.

Множество натуральных чисел.

N={1, 2, 3, …, n, …}

Это множество замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. эти действия выполняются всегда, а вычитание и деление в общем случае не выполняются.

Множество целых чисел.

Z={…, -n, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, n, …}

Заметим, что число -n называется противоположным числу n.

n+(-n)=(-n)+n =0; -(-n)=n.

Это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Из множества целых чисел выделим два подмножества:

1) множество чётных чисел {2k | kÎ Z}

2) множество нечётных чисел { 2k +1| kÎ Z}.

Деление с остатком

Говорят, что целое число m делится на целое число n с остатком, если найдутся два числа q (частное) и r (остаток) такие что выполняется равенство:

m=n.q+r, где 0≤ r< |n|

Множество рациональных чисел.

Q={ |mÎ Z; nÎ N}, в частности =mÎ Z.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления ( кроме случая деления на ноль).

Заметим, что всякое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Множество иррациональных чисел.

Числа, которые представляются бесконечной непериодической десятичной дробью, называют иррациональными.

Для иррациональных чисел нет единой формы обозначения.

Отметим два иррациональных числа, которые обозначаются буквами.

Число π

Отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная, равная числу π (π ).

Число е

Если рассмотреть числовую последовательность:

2; ( )²; ( )³; …; ; …, то с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.

=е

Обозначим множество иррациональных чисел .

Множество вещественных чисел.

Множество вещественных чисел- это объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

R=Q ; Q = ; N ZÌ QÌ R.

Решение задач.

Пример 1

Найти все натуральные решения неравенства:

1. x²-5x+6≤ 0.

2. .(x-4)³ 0.

Решение.

x²-5x+6≤ 0

(x-2).(x-3)≤ 0.

Ответ: {2; 3}

2. .(x-4) ³ 0 « « .

Ответ: {4; 5}

Пример 2

Дано: A={xÎ N | x²-5x+4≤ 0}; B={xÎ Z | ≤ 2}.

Найти: 1) С=А D=A .

Решение.

x²-5x+4≤ 0«(x-4).(x-1)≤ 0

A={1; 2; 3; 4}.

≤ 2« « «0≤ x≤ 4®

{0; 1; 2; 3; 4}

С=В {0; 1; 2; 3; 4}; D=A={1; 2; 3; 4}.

Дано: А={xÎ Z | ≤ 0}; B={xÎ N | ≤ 0}.

Найти: 1) С=А D=A

Решение

-1

A={0; 1; 2; 6}

≤ 0« X³-8=0« X=2®

B={2}, Ответ: С=А ={0; 1; 2; 6}; D=B ={2}.

Пример 4

После деления некоторого двузначного числа на сумму цифр в частном получается 7 и в остатке 6. После деления этого числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.

Решение

Двузначное число обозначим =10х+у.

О.Д.З. хÎ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}; yÎ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

По условию: « .«

Ответ: 83

Полезная информация

Если уравнение с целыми коэффициентами имеет корень, то его можно найти, используя следующую теорему.

Теорема

Если уравнение

a₀xⁿ+a₁xⁿ^-1+…+a_n_-1x+a_n=0, в котором все коэффициенты -целые числа, причём свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Пример 5

Решить уравнение:

636х²+635х-1=0.

Решение:

Если уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа

-1, т.е. равен 1 или -1. Проверка показывает, что х₁=-1.

По формулам Виета имеем: х₁*х₂=- ® х₂= .