Изобразите на плоскости прямые. Задайте необходимые условия и найдите уравнения этих прямых.

Пример4.

(4)

у

Задайте аналитически функцию, график которой изображён на чертеже.

(3)

(2)

х

-6

-4

-3

(1)

 

Решение:

Данная ломаная имеет четыре прямолинейных участка.

(1)

Чтобы получить аналитическое выражение данной функции, найдём сначала уравнения прямых на каждом участке, а затем объединим в одну формулу.

Эта прямая проходит через точку (-4; 0).

Уравнение ищем в виде: у=к(х-х₀)-у₀ ®

у=к(х+4); k=tg =3/2®у=3/2(х+4)®

(1)у=3/2х+6; хÎ (-∞; -4]

Примечание: можно получить это уравнение другим способом, используя уравнение прямой через две точки (проверьте сами).

(2)

Эта прямая тоже проходит через точку (-4; 0),

но к=tg =- ®у=-3/4(х+4)®

(2) у=-3/4х-3 х Î [-4; 0]

Примечание: можно получить это уравнение другим способом, используя уравнение прямой в отрезках на осях координат (проверьте сами).

(3)

Эта прямая проходит через две точки: М₁(0; -3) и М₂(8; 2).

® ® 5х=8у+3®(3) у= х- ; хÎ [0; 8]

(4)

Эта прямая имеет уравнение: у=2; хÎ [8; +∞ )

Окончательно получаем аналитическое задание нашей функции:

у= ………………….Ответ

Задание для творческой работы.

Задайте ломаную, указав необходимые условия и напишите аналитическое задание данной функции.

Внимание!

Ломаная должна являться графиком функции.

(Повторите определения функции и графика).

Обратная пропорциональная зависимость.

Функция вида: у= ; к≠ 0

Называется обратной пропорциональной зависимостью.

Проведём исследование этой функции.

1. Область определения функции: D(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ )

Прямая х=0- вертикальная асимптота, т.к.

=±∞

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ ).

Прямая У=0- горизонтальная асимптота, т.к.

Чётность-нечётность.

f(-x)=-f(x)-®функция нечётная (график симметричен относительно начала координат)

Промежутки монотонности

при к> 0 функция убывает, т.к.

если х₁> х₂> 0® к < 0®f(x₁)< f(x₂)

при к< 0® функция возрастает (доказательство проведите сами)

Экстремумов нет, т.к. функция строго монотонна.

Графиком этой функции является гипербола.

х

х

к> 0

к< 0

у

у

Для выполнения следующего задания повторите теоретический материал о преобразованиях графиков функций.

Пример1.

Выполнить следующие преобразования графика функции

у=

1) у=

2) у= -2;

Решение:

Построим график исходной функции по точкам

Х	0.5
У=

х

у

у=

 

1)

у=

у

у= Сохраняем ветвь гиперболы в первой четверти и строим симметричную ветвь относительно оси ординат. (Функция чётная).

х

 

 

2) у= -2; Используем построенный выше график, но теперь будем двигать оси координат для получения новой системы координат, а именно:

Новая ось (оу) проходит через точку (-1; 0)

Новая ось (ох) проходит через точку (0; 2).

Проверьте, чтобы в новой системе координат точка начала координат в старой системе имела координаты (1; -2).

 

х

у

-2

у=

 

 

Пример 2.

Построить график функции и провести исследование.

у=|

Решение:

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

1) у=

2) у=

3) у=

4) у= |

На рисунке показана схема полученного графика.

Далее, используя график, можно продолжить исследование.

у

-3

-2

 

 

Исследование:

1. Область определения функции:

D(f)=(-∞; -2)∪ (-2; 2)∪ (2; +∞ )

Прямые х=-2 и х=2 - вертикальные асимптоты.

2. Множество значений функции: E(f)=[0+∞ );

прямая у=1 -горизонтальная асимптота

: у=0« «

|х|-2=1«|х|=3«

, 5

Чётность-нечётность.

f(-x)=f(x)-®функция чётная (график симметричен относительно оси ординат))

5. Экстремумы: min y(±3)=0; min y(0)=1, 5

Пример 2.

Построить график функции и провести исследование.

y=|

Решение:

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

1) у=

2) у=

3) у=

4) y= |

На рисунке показана схема полученного графика.

Далее, используя график, можно продолжить исследование

х

у

х=1

у=2

-1

 

 

Проведём исследование этой функции.

1. Область определения функции: D(f)=(-∞; 1)∪ (1; +∞ )

Прямая х=1- вертикальная асимптота

 

2) Множество значений функции: E(f)=[0; +∞ );

прямая у=1 -горизонтальная асимптота

.Множество корней: у=0« « |х-1|=2«

Чётность-нечётность.

f(x)≠ ®функция общего вида (график симметричен относительно прямой х=1)

5. min y(-1)=0; min y(2)=0

Примечание:

Порядок работы для построения графиков следующих функций:

N	У=|f(|x|-a)+b|	Y=|f(|x-a|)+b|
	Y=f(x)	Y=f(x)
	Y=f(x-a)+b	Y=f(|x|)
	Y=f(|x|-a)+b	Y=f(|x-a|)+b
	У=|f(|x|-a)+b|	Y=|f(|x-a|)+b|
Контроль	у³ 0; х=0-ось симметрии	у³ 0; х=а- ось симметрии

Пример 3 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у=| .

Пример 4 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у=|

 

Дробно-линейная функция

Функция вида:

у= -называется дробно-линейной.

Для построения графика этой функции и дальнейшего исследования выполним деление и выделим целую часть:

у= + ; пусть b-ad=k ®

y= +

1. Область определения функции: D(f)=(-∞; -d/c)∪ (-d/c; +∞ )

Прямая х=-d/c- вертикальная асимптота

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞; a/c)∪ (a/c; +∞ ).

Прямая У=a/c- горизонтальная асимптота.

Точка (-d/c; a/c)- центр симметрии.

: у=0«ax+b=0« x=-b/a

b/d

4. при к> 0 функция убывает

при к< 0® функция возрастает

Экстремумов нет.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: