Напомним, что графиком этой функции является гипербола.

Ниже приведены схемы графиков.

к< 0

x

y=a/c

y

y=a/c

к> 000

x=-d/c

x=-d/c

у

х

 

 

Пример 1.

Построить график функции и провести исследование.

у=

Решение:

Сначала выделим целую часть:

у=2- (к=-7)

Исследование:

1. Область определения функции: D(f)=(-∞; -3)∪ (-3; +∞ )

Прямая х=-3- вертикальная асимптота

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞; 2)∪ (2; +∞ ).

Прямая У=2- горизонтальная асимптота.

Точка (-3; 2)- центр симметрии.

: у=0«2х-1=0« х=0, 5

т -1/3

4. f(x)≠ ®функция общего вида

5.Функция возрастает, т.к. к=-7< 0.

Экстремумов нет.

Схема данного графика имеет вид:

х

у

у=2

х=-3

Пример 2.

Построить график функции и провести исследование.

у =

Решение:

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

Построим график функции у= в области х³ 0, а затем сделаем чётное продолжение.

На рисунке показана схема полученного графика.

у

Далее, используя график, можно продолжить исследование

х

у=3

х=-1

 

 

-2

х=1

 

Исследование:

1. Область определения функции:

D(f)=(-∞; -1)∪ (-1; 1)∪ (1; +∞ )

Прямые х=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты.

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞; -2]∪ (3; +∞ )

прямая у=3 -горизонтальная асимптота

3) : у≠ 0® корней нет.

4) Чётность - нечётность.

f(-x)=f(x)-®функция чётная (график симметричен относительно оси ординат))

5) Экстремумы: max y(0)=-2.

Пример 3.

Построить график функции и провести исследование.

у=|

Решение:

у=| « у=|1- |

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

1) у=

2) у=1-

3) у=1-

4) у= | 1- |

На рисунке показана схема полученного графика.

Далее, используя график, можно продолжить исследование

х

у

-5

2, 5

у=1

 

 

Проведём исследование этой функции.

1).Область определения функции: D(f)=(-∞; +∞ )

2) Множество значений функции: E(f)=[0; 2, 5]

Прямая у=1 - горизонтальная асимптота.

3).Множество корней: у=0 «| х | -5=0 «| х | =5 «

4) Чётность - нечётность.

f(-x)=f(x)-®функция чётная (график симметричен относительно оси ординат))

5) Экстремумы: max y(0)=2, 5; min y(±5)=0

 

Пример 4 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у= .

Пример 5 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у= .

Пример 6 (самостоятельно).

Построить график функции и провести исследование.

у=| .

Степенная функция.

Функция вида:

у=х^𝛂 , 𝛂 Î Q

Называется степенной функцией

Примечание:.

При любом значении «𝛂 » график степенной функции проходит через точку (1; 1)

Исследуем степенную функцию для различных значений «𝛂 ».

𝛂 =2к; kÎ N	𝛂 =2k+1; kÎ N
Y= ; y= ; y= ; …	Y= ; y= ; y= ; …
y x
D(f)=R	D(f)=R
E(f)=[0; +∞ )	E(f)=R
Y=0« x=0	Y=0 « x=0
f(-x)=f(x)® функция чётная	f(-x)=-f(x)®функция нечётная
Если хÎ (-∞; 0), то функция убывает Если хÎ (0; +∞ ), то функция возрастает.	Функция возрастает на всей области определения.
Экстремумов нет	Экстремумов нет

𝛂 =1/2к; kÎ N	𝛂 =1/2k+1; kÎ N
Y= ; y= ; y= ; …	Y= ; y= ; y= ; …
D(f)=[0; +∞ )	D(f)=R
E(f)=[0; +∞ )	E(f)=R
Y=0« x=0	Y=0 « x=0
Функция общего вида	f(-x)=-f(x)®функция нечётная
Функция возрастает	Функция возрастает
Экстремумов нет	Экстремумов нет

𝛂 =-2к; кÎ N	𝛂 =-(2k-1); kÎ N
Y= ; y= ; y= ; …	Y= ; y= ; y= ; …
D(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ ) X=0-вертикальная асимптота	D(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ ) X=0-вертикальная асимптота
E(f)=(0; +∞ ) Y=0-горизонтальная асимптота	E(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ ) Y=0-горизонтальная асимптота
у≠ 0® корней нет	у≠ 0® корней нет
f(-x)=f(x)® функция чётная	f(-x)=-f(x)®функция нечётная
Экстремумов нет	Экстремумов нет

Общий случай.

α = > 0 y=

 

 

 

Пусть х³ 0.

> 1

0< < 1

 

Примечание:

При х< 0 нужно провести дополнительное исследование.

Возможны варианты:

а) Если D(f)=[0; +∞ ), то при х< 0 нет продолжения.

б) Если D(f)=R, то возможно чётное или нечётное продолжение

Пример 1.

Построить схемы графиков и провести исследование данных функций:

1) у= ;

2) у= ;

3) у=

4) у=

Решение:

у= ; у=	у= ; у=	у= у=	у= у=
𝛂 =2/3 < 1	𝛂 =3/2> 1	𝛂 =5/3> 1	𝛂 =3/5< 1
D(f)=R	D(f)=[0; +∞ )	D(f)=R	D(f)=R
f(-x)=f(x)® функция чётная	Функция общего вида	f(-x)=-f(x)® функция нечётная	f(-x)=-f(x)® функция нечётная

Если < 0, то у=

при х> 0®

 

 

Примечание:

При х< 0 нужно провести дополнительное исследование.

Возможны варианты:

а) Если D(f)=(0; +∞ ), то при х< 0 нет продолжения.

б) Если D(f)=R\{0}, то возможно чётное или нечётное продолжение

Пример 2.

Построить схемы графиков и провести исследование данных функций:

1)Y= ; 2)Y= ; 3)Y= .

Решение:

Y=	Y=	Y=
У=	У=	У=
D(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ )	D(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ )	D(f)=(0; +∞ )
Функция нечётная	Функция чётная	Функция общего вида

Пример 3.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -1.

Решение:

Сначала построим схему графика у= ( > 1® )

Заметим, что. функция у= чётная.

Затем сдвигаем ось абсцисс на 1 вверх.

у

у

В результате имеем следующую схему данного графика.

-1

х

-1

 

 

Исследование этой функции проводим с использованием построенного графика.

1) D(f)=R

2) E(f)=[-1; +∞ )

3) y=0«|x|=1« ; f(0)=-1

4) f(-x)=f(x)® функция чётная

5) на интервале (-∞; 0) функция убывает

на интервале (0; +∞ ) функция возрастает.

6) min y(0)=-1

Пример 4.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= +2

Решение:

Сначала построим схему графика у= «у= , а затем опустим ось абсцисс на 2 единицы вниз.

у

Исследование этой функции проводим с использованием построенного графика.

х

 

1) D(f)=(0; +∞ ); прямая х=0 - вертикальная асимптота

2) E(f)=(2; +∞ ); прямая у=2 - горизонтальная асимптота

Корней нет

Функция общего вида

5) на всей области определения функция убывает

Экстремумов нет

Пример 5.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -2

Решение:

Сначала построим схему графика у= ( < 1® ), а затем поднимем ось абсцисс на две единицы вверх.

у= «у= (чётная)

у

Исследование этой функции проводим с использованием построенного графика.

-2

х

 

 

1) D(f)=R

2) E(f)=[-2; +∞ )

3) y=0« =2«|x|= ≈ 2, 4; y(0)=-2

4) f(-x)=f(x)®функция чётная

5) на интервале (-∞; 0) функция убывает,

на интервале (0; +∞ ) функция возрастает

6) min y(0)=-2

 

Пример 6.

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у=

Решение:

у

у= ( > 1® )

у= (нечётное продолжение)

х

 

(исследование проведите самостоятельно)

Пример 7 (самостоятельно).

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= +4.

Пример 8 Самостоятельно).

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -1.

Пример 9 (самостоятельно).

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= -1.

Пример 10 (самостоятельно)

Построить схему графика и провести исследование данной функции:

у= +3.

Квадратичная функция.

Функция вида:

у=ax²+bx+c

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: