ГЛАВА 4. Отображение множеств. Виды отображений.

§1 Основные понятия и определения.

Если даны два множества А и В, то можно различными способами установить соответствие между этими множествами.

Но только, если каждому элементу множества А по некоторому правилу f ставится в соответствие определённый элемент множества В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В.

f

Обозначения: f: A® B; (A® B) (А, В. f)

А- область определения отображения f.

Если элемент b (bÎ B)получен из элемента а (аÎ А), то b_-образ элемента а.

В свою очередь. а=f^-1(b)- прообраз элемента b.

Множество всех образов: f(A)={bÎ B| b=f(a), aÎ A}

Различают следующие виды отображений:

1.Сюръекция.

Если f(A)=B, т.е.каждый элемент из множества В является образом некоторого элемента а из множества А, то отображение называют сюръективным или сюръекцией или говорят: отображение множества А на множество В.

Инъекция.

Если из условия а₁≠ а₂ ® f(a₁)≠ f(a₂), т.е. разным образам соответствуют разные прообразы, то отображение называют инъективным или инъекцией (предполагается, что не обязательно выполнение условия f(A)=B).

Биекция

Если выполнены два условия:

f

, то говорят, что отображение между множествами А и В является биективным или биекцией или взаимно однозначным соответствием.

A « B

Различие между видами отображений показаны на следующих рисунках.

Отображение множества А в множество В (общий случай).

В

А

f

 

 

Сюръекция ( отображение множества А на множество В)

В

А

f

 

 

Инъекция.

В

А

f

 

 

Биекция (взаимно однозначное соответствие)

В

А

f

 

 

Заметим, что если множества А и В конечные, то число элементов множества А равно числу элементов множества В.

Тождественное отображение I

из множества А в множество А означает: ∀ аÎ А ®I(а)=а

f

g

Произведение (композиция) отображений.

c

b

а

С

В

А

Пусть f: A® B; g: B®C.

 

Произведением (композицией) отображений f и g называется отображение, обозначаемое g*f: A®C, которое задано на множестве А, и при этом справедлива формула: g*f(a)=g(f(a))=g(b)=c

[Заметим. что g*f≠ f*g]

Обратное отображение.

Обозначим f: A®B; f^-1: B®A.

f

f-1

a

b

А

В

 

f^-1- обратное отображение для f, если:

(I -тождественное отображение), т.е.

f*f^-1(b)=f(f^-1(b))=f(a)=b.

f^-1*f(a)=f^-1(f(a))=f^-1(b)=a.

Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения.

Для того, чтобы отображение f: A® B имело обратное f^-1: B®A,

Необходимо и достаточно, чтобы отображение f было биективным.

Декартово произведение множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое А× В, состоящее из упорядоченных пар а и b.

A× B={(a; b)| aÎ A; bÎ B}

Если ХÌ R; YÌ R, то (X; Y; f) отображение X®Y называют числовой функцией. X=D(f)-область определения функции E(f)=f(X)Ì Y-множество значений функции Графиком функции называется множество: γ ={(x; y)| xÎ X; y=f(x)Î Y}Ì X× Y на координатной плоскости -это множество точек с координатами (x; y)

Обратите внимание, что не каждая линия на плоскости является графиком функции.

 

Рассмотрим следующие примеры.

Это графики некоторых функций, т.к. разным значениям аргумента х соответствуют определённые значения у.

у

х

y

x

 

 

 

х

Окружность не является графиком функции, но её можно задать уравнением: х2+у2=r2 (в общем случае (х-х0)2+(у-у0)2=r2

у

x

y

Это парабола, но в данном случае это не график функции, т.к. разным значениям аргумента х соответствуют сразу два значения у. Уравнение такой параболы имеет вид: у2=2рх, где параметр «р» положителен.

 

 

Заметим, что если f -сюръекция, то множество значений f(X)=Y.

Если f-инъекция, то функция строго монотонна, т.е. или возрастает или убывает на множестве Х.

Если f-биекция, то f(X)=Y и функция строго монотонна и при этом существует обратная функция.

Если функция f: 1) строго монотонна на множестве D(f) 2) непрерывна 3) имеет множество значений E(f), то существует обратная функция f-1, такая что: 1) D(f-1)=E(f) 2) E(f-1)=D(f) 3) непрерывная 4) монотонна в том же смысле, что и данная функция. Если строить графики в одной системе координат y=f(x) и у=f-1(x), то эти графики расположены симметрично относительно прямой у=х.

Сформулируем основную теорему о существовании обратной функции.

 

 

Рассмотрим пример:

Дано: у=2х+5;

Найти обратную функцию.

Решение:

Данная функция f: y=2x+5

1)D(f)=R

2) E(f)=R

3) строго возрастает на всей области определения

Непрерывна

 

Существует обратная функция

5)f^-1: x=0, 5y-2, 5

6)x«y y=0, 5x-2, 5®обратная функция.

7)D(f^-1)=E(f)=R

у

8)E(f^-1)=D(f)=R

f

9)непрерывна

10)возрастает

f-1

y=x

 

х

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: