Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.

у=2|х+1|-3

· к=2> 0® Ú

· ось симметрии х=-1

· вершина ломаной (-1; -3)

· корни: у=0 « 2 | х+1 | -3=0«2|х+1|=3«|х+1|= « «

y

x

-2, 5

«

·

0, 5

-1

у(0)=-1

·

-1

min y(-1)=-3

-3

 

 

Пример 2

y

Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.

y=4-|2x+1| « y=4-2|x+0, 5|

· k=-2< 0 ®Ù

·

x

ось симметрии х=-0, 5

·

-2, 5

вершина ломаной (-0, 5; 4)

·

1, 5

-0, 5

корни: у=0«|2х+1|=4«

· у(0)=3

· max y(-0, 5)=4

D

C

B

A

3. «корыто» y=|x-a|+|x+b|

a-1

b+1

b

a

Пусть b> a

 

В точках А и В имеем узлы ломаной.

у(а)=|а-b|=𝛂 ®A(a; 𝛂 )

v(b)=|b-a|=𝛂 ®B(b; 𝛂 )

Дополнительные точки:

y(a-1)=1+|a-1-b|=𝛃; C(a-1; 𝛃 )

y(b+1)=|b+1-a|+1=1+|a-1-b|=𝛃; D(b+1; 𝛃 )

y

График этой функции имеет следующий характерный вид.

C

D

B

A

|b-a|

b

x

a

 

 

Если раскрыть знак модуля, то получим следующее аналитическое задание функции: у =

4. «ступенька» у=|x-a|-|x-b|

Можно провести исследования, аналогичные предыдущей функции и получим следующие характерные графики:

y

x0=

a

b

x

b-a

a-b

b< a

 

 

Обратите внимание! y=0«x= ; y> 0«x< ; y< 0 «x>

y

 

b> a

y=0«x= y> 0«x> y< 0«x<

x0=

b

x

a-b

b-a

a

 

 

Пример 3

Решить уравнение.

 

+ =4

Решение:

О.Д.З.: х³ 4

« |

Пусть t= ; t³ 0® |t+2|+|t-2|=4

Покажем графическое решение этого уравнения.

Строим графики этих функций на одном чертеже и находим решение системы

 

у

 

t

 

-2

 

Решение системы: 0≤ t≤ 2 «0≤ «0≤ x-4≤ 4« 4≤ x≤ 8.

Ответ: хÎ [4; 8]

Пример 4.

Решить уравнение.

Решение:

« |

Пусть =t; t³ 0 ® |t+1|-|t-5|=6

Покажем графическое решение этого уравнения.

; у(-1)=-6; у(5)=6

у

-1

t

 

Решение системы: t³ 5« «x+2³ 25 « x³ 23

Ответ: хÎ [23; +∞ )

5.y=||x-a|-b| (W)

Ось симметрии х=а.

y

Если b> 0, то у=0«|х-а|=b« ( корни функции)

a+b

a-b

a

b

x

max y(a)=b

 

 

Пример 5.

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра «а»

||х+1|-2|=х+а.

Решение:

Покажем графическое решение примера.

у

у=х-1, а=-1

Рассмотрим систему:

х

Ответ: при а< -1®∅, при ®бесконечно много решений при ®единственное решение

-1

-3

у=х+а, а< -1

у=х+а, -1< а< 3

у=х+3, а=3

у=х+а, а> 3

 

 

Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.

Пример 1

Исследовать и построить график функции:

у=

Решение:

y=

1) D(f)=(-∞; 0)∪ (0; +∞ )

2) E(f)={-1; 1}

Корней нет

4) чётность-нечётность: f(x)= ; f(-x)= =-f(x)®функция нечётная

5) наибольшее значение: у=1; наименьшее значение у=-1®extr нет

Функция кусочно- постоянная

х

у

-1

 

Пример 2

Исследовать и построить график функции:

у= +1

Решение:

y=

1) D(f)=(-∞; 1)∪ (1; +∞ )

2) E(f)={0; 2}

3) множество корней: (-∞; 1)

4) чётность-нечётность: f(x)≠ ®функция общего вида

5) наибольшее значение: у=2; наименьшее значение у=0®extr нет

6)

у

функция кусочно- постоянная

х

 

Пример 3

Исследовать и построить график функции:

y= +x-1.

Решение:

у=

1)D(f)=(-∞; 0, 5)∪ (0, 5; +∞ )

В точке х=0, 5 функция имеет разрыв.Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва.

(предельное значение функции слева от точки разрыва, т.к. при х< 0, 5® у=х-3)

(предельное значение функции справа от точки разрыва, т.к. при х> 0, 5® у=х+1)

Построим график этой функции, а затем продолжим исследование.

у=х+1; у(1)=2; у(0, 5)=1, 5®точка разрыва справа.

у=х-3; у(0)=-3; у(0, 5)=-2, 5®точка разрыва слева

х

у

1.5

-2, 5

у=х+1

у=х-3

0.5

 

 

2) E(f)=(-∞; -2, 5)∪ (1, 5; +∞ )

Корней нет

4) чётность-нечётность: f(x)≠ ®функция общего вида

5) функция строго возрастает® extr нет

Пример 4 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=

Пример 5 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=5-

Пример 6 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=х+1-

Пример 7

Исследовать и построить график функции:

у=

Решение:

у=

1) D(f)=(-∞; -1)∪ (-1; +∞ )

2) E(f)={-2.8; 2}

Множество корней: корней нет

4) чётность-нечётность: f(x)≠ ®функция общего вида

5) наибольшее значение: у=2; наименьшее значение у=-2, 8®extr нет

Функция кусочно- постоянная

-2, 8

у

х

 

Пример 8

Исследовать и построить график функции:

у= -3

Решение:

у

у=3 -3 ® у=0 при х> 2

1)D(f)=(2; +∞ )

2)E(f)={0}

х

3)множество корней: (2; +∞ )

Функция общего вида

5)постоянная: у=0

Пример 9

Исследовать и построить график функции:

у= -

Решение:

у

у=

1)

-2

D(f)=(-∞; -2)∪ (-2; +∞ )

2)

-1

х

E(f)={-1 ; 1}

Множество корней: корней нет

4) чётность-нечётность: f(x)≠ ®функция общего вида

5) наибольшее значение: у=1; наименьшее значение у=-1 ®extr нет

Функция кусочно- постоянная

Пример 10

Исследовать и построить график функции

у=

у

Решение:

1)D(f)=(0; 1)∪ (1; +∞ )® y=-1+1®y=0

2)E(f)={0)

3) множество корней: (0; 1)∪ (1; +∞ )

х

4)функция общего вида

Постоянная

Пример 11

Исследовать и построить график функции

у=

Решение:

1)D(f)=(-∞; -1)∪ (-1; 0)∪ (0; 1)∪ (1; +∞ )

у=

« y=2-2x

Вычислим значения функции в точках разрыва (выколотые точки)

у(-1)=4; у(0)=2; у(1)=0® E(f)=(-∞; 0)∪ (0; 2)∪ (2; 4)∪ (4; +∞ )

Корней нет

4) функция общего вида: f(x)≠

Строго убывает

Экстремумов нет

у

-1

х

 

Пример 12 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=2-

Пример 13 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у= -5+х

Пример 14 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у=

Пример 15 (самостоятельно)

Исследовать и построить график функции:

у= -х-3.

ГЛАВА 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.

Примечание.

F(x, y)=0-уравнение линии, если координаты любой точки на линии и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Неравенство F(x; y)³ 0 (F(x; y)≤ 0)определяет область на координатной плоскости с границей F(x; y)=0, если все точки этой области и только они, удовлетворяют данному неравенству.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: