Рассмотрим простейшие линии и области.

Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0, (A, B, CÎ R)

Частные случаи.

1) С=0®Ах+Ву=0®точка О(0; 0)Î прямой

2)

y

А=0®Ву+С=0®у=- =b (прямая || оси абсцисс)

b

у

x

 

 

3)

а

В=0®Ах+С=0®х=- =а (прямая || оси ординат)

х

 

4) А, В, С≠ 0«Ах+Ву=-С® + =1

+ =1

Уравнение в отрезках на осях координат.

 

5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:

у=кх+b; b=y(0); k=tg𝛂 - угловой коэффициент прямой.

6) Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х₀; у₀):

у=к(х-х₀)-у₀

7) Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у_2).

 

 

Заметим. что угловой коэффициент можно получить по формуле:

к=

Условие параллельности двух прямых.

Прямые заданы общим уравнением	Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом
(1)А1х+В1у+С1=0 (2) А2х+В2у+С2=0	(1) у=к1x+b1 (2) y=k2x+b2
(1)||(2)«	(1)||(2)«

Условие перпендикулярности двух прямых.

Прямые заданы общим уравнением	Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом
(1)А1х+В1у+С1=0 (2) А2х+В2у+С2=0	(1) у=к1x+b1 (2) y=k2x+b2
(1)^(2)«	(1)^(2)«

у

х

Неравенство Ах+Ву+С³ 0 (Ах+Ву+С≤ 0) определяет полуплоскость с границей Ах+Ву+С=0

 

Уравнение окружности.

Окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом R задаётся уравнением:

х²+у²=R²

Окружность с центром в точке (x₀; y₀) и радиусом R задаётся уравнением:

(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²

Неравенство х2+у2≤ R2 определяет круг

 

 

Неравенство х2+у2³ R2 определяет область вне круга

 

Построение линий и областей на координатной плоскости.

Покажем, как преобразуются линии, если в уравнение задания линии вводить знак модуля.

Пусть имеем уравнение F(x; y)=0(*)

· Уравнение F(|x|; y)=0 задаёт линию симметричную относительно оси ординат. Если уже построена данная линия, заданная уравнением (*), то оставляем часть линии справа от оси ординат, а затем симметричным образом достраиваем слева.

· Уравнение F(x; |y|)=0 задаёт линию симметричную относительно оси абсцисс. Если уже построена данная линия, заданная уравнением (*), то оставляем часть линии сверху от оси абсцисс, а затем симметричным образом достраиваем снизу.

· Уравнение F(|x|; |y|)=0 задаёт линию симметричную относительно осей координат. Если уже построена линия, заданная уравнением(*), то оставляем часть линии в первой четверти, а затем достраиваем симметричным образом.

Рассмотрим следующие примеры

Пример 1.

Пусть имеем прямую, заданную уравнением:

(1), где a> 0, b> 0.

Построить линии, заданные уравнениями:

(2)

(3)

(4)

Решение:

Сначала построим исходную прямую, а затем, используя рекомендации будем строить остальные линии.

х

у

а

b

(1)

 

(2)

b

-a

a

y

x

 

x

y

a

(3)

-b

b

x

y

-a

b

-b

(4)

-a

a

 

 

Пример 2

Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:

(∎ )

Решение:

Сначала построим границу области, которая задаётся уравнением:

(4)- эту линию мы строили в предыдущем примере.

Данная область будет находиться внутри, а не вне, т.к. контрольная проверка, например, точка (0; 0) удовлетворяет данному неравенству:

0+0≤ 1 (верно).

х

у

а

-а

b

-b

 

 

 

 

Пример 3

Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:

Решение:

Аналогично предыдущему примеру мы получим ромб(в общем случае ромбоид), но с другими осями симметрии: х=х₀ и у=у₀.

 

 

х

х0

у

 

у0

 

Пример 4.

Построить линии, заданные уравнением:

| (5)

Решение:

| « (объединение двух параллельных прямых).

у

х

-a

b

(5)

a

-b

 

 

Пример 5

Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:

|

Решение:

Сначала строим границу области, заданную уравнением:

| (5)

В предыдущем примере мы получили две параллельные прямые, которые разбивают координатную плоскость на две области:

Область между прямыми

Область вне прямых.

Для выбора нашей области возьмём контрольную точку, например, (0; 0) и подставим в данное неравенство: 0≤ 1 (верно)®область между прямыми, включая границу.

Обратите внимание, если неравенство будет строгим, то граница в область не входит.

-b

b

-a

у

a

х

 

 

Пример: 6

Пусть имеем окружность, заданную уравнением:

(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²

Построить лини, заданные уравнениями:

(|x|-x₀)²+(y-y₀)²=R² (1)

(x-x₀)²+(|y|-y₀)²=R² (2)

(|x|-x₀)²+(|y|-y₀)²=R² (3)

Решение:

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: