Сначала построим данную окружность.

Пусть для определённости имеем:

x

y

x0

y0

 

Построение линии (|x|-x₀)²+(y-y₀)²=R² (1)

Используем рекомендации для построения линий в случае когда введён модуль для переменной «х».

у

Сохраним данную окружность и построим симметричную относительно оси ординат.

х

-х0

у0

(1)

х0

 

 

Построение линии (x-x₀)²+(|y|-y₀)²=R² (2)

Используем рекомендации для построения линий в случае когда введён модуль для переменной «у».

у

Сохраним данную окружность и построим симметричную относительно оси абсцисс.

(2)

х0

у0

-у0

х

 

Построение линии (|x|-x₀)²+(|y|-y₀)²=R² (3)

Используем рекомендации для построения линий в случае когда введён модуль для переменной «х» и переменной «у».

у

Сохраним данную окружность и построим симметричную относительно оси абсцисс. и оси ординат.

(3)

у0

-х0

-у0

х0

х

 

 

Пример 7

Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:

(|x|-x₀)²+(|y|-y₀)²≤ R²

Решение:

Сначала строим границу области, заданную уравнением:

(|x|-x₀)²+(|y|-y₀)²=R² (3)

В предыдущем примере мы выполнили такое построение и получили 4 окружности. Область, заданная неравенством -это 4 круга (достаточно проверить для первой четверти подстановкой контрольной точки, например, (х₀; у₀))

у0

-х0

-у0

х0

х

 

 

Множества на плоскости.

Следующие задачи будем решать с помощью графической иллюстрации на координатной плоскости R².

Задача 1.

Дано: A={(x; y)Î R²| (|x|-3)²+(|y|-3)²≤ 9}; B={(x; y)Î R²| |x+y|≤ 3};

C={(x; y)Î R²| |x|≤ 6}

Найти (изобразить) на координатной плоскости:

А

В

С

4) D=A∪ B∩ C.

Решение:

Для построения множества А используем решение примера 7.

А

В результате получим 4 круга. Заметим, что центр круга в первой четверти (3; 3), а радиус R=3.

у

-3

х

Для построения множества В используем решение примера 5.

|х+у|≤ 3«| ® полоса между двумя параллельными прямыми.

 

В

у

х

-3

-3

 

 

С

у

Множество С -это полоса между двумя вертикальными прямыми

-6

х

 

 

D=A∪ (B∩ C)-это множество получится, .если в одной системе координат построить все области и выполнить соответствующие операции над множествами.

D

х

у

 

 

Задача 2.

Дано: A={(x; y)Î R² | ||x|-3|+||y|-3≤ 3}; B={(x; y)Î R² | x²+y²³ 18};

C={(x; y)Î R² | x²+y²≤ 4}; D={(x; y)Î R² | x²+y²≤ 9}.

Найти (изобразить) на координатной плоскости:

А

В

С

4)

D

6) E=A∩ B∪ (

Решение:

При построении множества А используем решение в примере 5.

Заметим, что в первой четверти (х³ 0; у³ 0) имеем ромб с осями симметрии , который симметрично отобразим относительно осей координат и получим четыре ромба.

А

у

х

 

 

у

В

Множество В -это внешняя часть круга с центром в точке (0; 0) и радиусом R=√ 18 (заметим, что точка с координатами (3; 3) лежит на окружности, т.к.3²+3²=18)

х

 

 

Множество С-это круг с центром в точке (0; 0) и радиусом R=2.

C

x

y

 

 

у

Множество -это область вне круга, который был построен, но граница круга не входит.

х

Множество D-это круг с центром в точке (0; 0) и радиусом R=3.

x

y

D

Е

у

х

Для нахождения множества Е построим все области в одной системе координат и выполним указанные операции над множествами.

 

 

Задача 3 (самостоятельно)

Дано: A={(x; y)Î R² | |x+y|≤ 3}; B={(x; y)Î R² | |x-y|≤ 3}; C={(x; y)Î R²| x²+y²≤ 8};

D={(x; y)Î R² | |x|≤ 4}; E={(x; y)Î R² | |y|≤ 4}.

Построить на координатной плоскости множества:

A

B

3)

4)

D

E

7) F=(

Задача 4 (самостоятельно)

Дано: A={(x; y)Î R²| (|x|-2)²+(y-2)²≤ 4}; B={(x; y)Î R²| y³ |x|-2}; C={(x; y)Î R²|y≤ 4}.

Построить на координатной плоскости множества:

A

B

3)

C

5) D= ∩ B∩ C.

Задача 5 (самостоятельно)

Дано: A={(x; y)Î R²| (|x|-3)²-y³ 0}; B={(x; y)Î R²| y≤ -3|x|+9};

C={(x; y)Î R²||y|≤ 9}

Построить на координатной плоскости множества:

А

В

С

4) D=A∩ B∩ C

ГЛАВА 7. Элементарные функции.

Линейная функция.

Функция вида: y=kx+b называется линейной функцией.

Графиком этой функции является прямая.

Если 𝛂 угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс, то к=tg𝛂 -угловой коэффициент

Частные случаи:

b=0®y=kx (прямая пропорциональная зависимость)

b

b

х

у

х

у

к=0®у=b (постоянная функция)

 

α

α

y

α

k> 0

у=кх

k> 0

у=кх+b

k< 0

k< 0

y

α

 

x

x

x

y

y=b

 

 

Проведём исследование линейной функции.

1. D(f)=R

2. E(f)=R

3. множество корней: у=0«kx+b=0«kx=-b (k≠ 0) « x=-

Чётность-нечётность.

При b=0 ®f(-x)=-f(x)® нечётная.

При b≠ 0-® f(x)≠ ®функция общего вида.

Промежутки монотонности.

При к> 0 функция строго возрастает на всей области определения от-∞ до +∞.

При к< 0 функция строго убывает на всей области определения

от +∞.до -∞.

При к=0 функция является постоянной.

Экстремумов нет, т.к. функция строго монотонна.

Рассмотрим различные примеры, связанные с уравнением прямой и построением графиков ломаных.

Для решения предложенных примеров, повторите материал предыдущей главы о прямой на плоскости (различные виды уравнений прямой на плоскости).

Пример1.

у

По данному графику найти уравнение прямой.

х

 

 

 

 

Решение:

1 способ.

Используем уравнение прямой в отрезках на осях координат:

В нашем случае: a=5; b=4 ® + =1® 4х+5у-20=0 (общее уравнение прямой).

Способ.

Используем уравнение прямой через точку с угловым коэффициентом:

у=к(х-х₀)-у₀

Выберем точку М₀(5; 0)® у=к(х-5)

к=tg𝛂 =- (функция убывает® к< 0)

у=- (х-5)®у=- х+4 (уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой)

Пример2.

у

По данному графику найти уравнение прямой.

х

Решение:

Т.к. прямая проходит через начало координат, то уравнение будем искать в виде:

у=кх

к=tg𝛂 ®к=4/3

Ответ:

у=4/3х

Пример3.

у

По данному графику найти уравнение прямой.

х

-2

 

Решение:

Прямая проходит через две точки: М₁(-2; 1) и М₂(1; 5).

Используем уравнение прямой через две точки:

® ® 4(х+2)=3(у-1)®4х-3у+11=0 (общее уравнение прямой)

Задание для творческой работы.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: