Называется квадратичной функцией.

 

Выделим полный квадрат:

Графиком квадратного трехчлена является парабола.

Если , то ветви параболы направлены вверх, если , то вниз. Ось симметрии параболы – прямая .

Вершина параболы , где ; ,

Таким образом:

 

 

 

Заметим, если , то корни различные

Ось симметрии, , где ,

Исследование:

а> 0	а< 0
D(f)=R	D(f)=R
E(f)=[- ; +∞ )	E(f)=(-∞; - ]
D> 0® D=0® D< 0®∅ У(0)=с	D> 0® D=0® D< 0®∅ У(0)=с
b=c=0®f(-x)=f(x) в других случаях функция общего вида	b=c=0®f(-x)=f(x) в других случаях функция общего вида
min y(- )=-	max y(- )=-
На интервале (-∞; - ) функция убывает На интервале (- ; +∞ ) функция возрастает	На интервале (-∞; - ) функция возрастает На интервале (- ; +∞ ) функция убывает

 

Пример 1.

Найти параметр С и построить график функции:

1. , если известно, что ее наименьшее значение равно -4.

2. , если известно, что ее наибольшее значение равно 4

3. , если известно, что ее наименьшее значение равно 1

4. , если известно, что ее наибольшее значение равно -1

Решение:

1.

Выделим полный квадрат:

Ответ:

График:

1)

 

2) ось симметрии:

3) вершина параболы:

4)

 

-3

-1

-4

 

2.

Выделим полный квадрат:

 

Ответ:

График:

1)

 

1) ось симметрии

2) вершина параболы:

3)

 

 

--3

-1

 

 

3.

Выделим полный квадрат:

Ответ:

График:

1)

 

2) ось симметрии

3) вершина

4) нет точек пересечения с осью OX

 

 

 

 

 

4.

Выделим полный квадрат:

 

Ответ:

График:

1)

 

2) ось симметрии:

3) вершина:

4) нет точек пересечения с осью ОХ

-1

-1

 

Пример 2 (самостоятельно)

Найти параметр С и построить график функции

1. , если известно, что ее наименьшее значение равно -4

2. , если известно, что ее наибольшее значение равно 4

3. , если известно, что ее наименьшее значение равно 3

4. , если известно, что ее наибольшее значение равно -3

Ответы: 1) , 2) , 3) , 4)

Пример 3.

Построить график функции и найти:

1. Наименьше значение функции, если известно, что:
2. Наибольшее значение функции, если известно, что:
3. Наименьше значение функции, если известно, что:
4. Наибольшее значение функции, если известно, что:

Решение:

1.

Ось симметрии параболы: , где =>

Вершина параболы: , где

Ответ: miny(1)=-4

График функции:

 

 

-4

 

 

2.

х₀=

Ось симметрии:

Вершина параболы

Ответ:

График функции:

 

 

-1

 

 

3.

х₀= =1

Ось симметрии:

Вершина параболы

Ответ:

График функции:

 

-3

 

 

4.

х₀= =-2

Ось симметрии:

Вершина параболы

Ответ:

График функции:

 

 

-2

 

 

Пример 4.(самостоятельно)

Построить график функции и найти:

1. Наименьше значение функции, если известно, что:
2. Наибольшее значение функции, если известно, что:
3. Наименьше значение функции, если известно, что:
4. Наибольшее значение функции, если известно, что:

Ответы: 1) , 2) 3) 4)

Пример 5.

Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:

1. – ось симметрии параболы

2. – ось симметрии параболы

3. – ось симметрии параболы

4. – ось симметрии параболы

Решение:

1.

По определению

. Ответ:

Вершина параболы Ответ:

График функции:

 

-18

2.

Ответ:

Ответ:

 

График функции:

 

 

 

-2

 

3.

Ответ:

Ответ:

График функции:

 

 

-12

4. – ось симметрии параболы

х₀=-1® ®а=- ®у=- х²- х+ ,

у₀=у(х₀)=3® Ответ: max y(-1)=3

Пример 6 (самостоятельно).

Найти значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное (максимальное) значение функции

1) , если х=-2 – ось симметрии

2) , если x=2 - ось симметрии

3) , если x=-1/3 - ось симметрии

4) , если x=-1/4

Ответы:

1) a=1/2; min y=-2

2) a=-1/2; max y=8

3) a=3; min у=-4

4) a=-2; max y=-3

 

 

Пример 7.

Найти минимальное (максимальное) значение функции , если известно, что её график проходит через точки:

1) A(0; -3); B(-1; -2); C(2; 7);

2) A(-1; -4); B(2; 2); C(3; -4);

3) A(2; 1); B(1; 4); C(3; 4);

4) A(-2, -4); B(-3; -7); C(-4; -16);

Решение:

Если график проходит через заданные точки, то координаты точек удовлетворяют уравнению.

1) A(0; -3); B(-1; -2); C(2; 7);

=> =>

Ответ:

 

2) A(-1; -4); B(2; 2); C(3; -4);

 

͞ => ͞ => =>

 

=> => =>

Ответ:

3) A(2; 1); B(1; 4); C(3; 4);

 

=> ͞ => =>

 

=> =>

 

Ответ:

4) A(-2; -4); B(-3; -7); C(-4; -16);

 

=> =>

 

Ответ:

Пример 8.

Найти минимальное (максимальное) значение функции , если известно, что её график проходит через точки:

Координаты точек А, В и С задайте самостоятельно.

Пример 9.

Для квадратичной функции на отрезке [α, β ] найти наибольшее М и наименьшее m значение функции. Постройте график.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Решение:

1)

;

Вычислим значение функции на границах интервала.

 

Ответ: M=3; m=-1

 

2)

;

 

 

Ответ: M=1; m=-3

3)

;

 

 

Ответ: M=0; m=-2

 

4)

;

 

 

Ответ: M=3; m=0

5)

;

 

 

Ответ: M=-6; m=-7, 5

6)

;

 

 

Ответ: M=-1; m

Пример 10.

Задайте самостоятельно функцию и интервал [α, β ]. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на этом интервале.

Пример 11.

Постройте график функции используя основные методы преобразований графиков. Найдите точки экстремумов и множество значений функции

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

Решение:

1)

Заметим, что - функция четная, и по условию

Выполняем последовательно построение графиков следующих функций:

А) или

Б) симметричное дополнение графику (А) относительно оси OY.

В) - искомая функция.

Рис.1

 

-1

-3

3

 

 

 

 

Рис.1

 

 

Ответ: Точки экстремумов

 

 

 

2)

Заметим, что

Будем строить график функции помощью преобразований графиков.

А)

;

Б)

В)

Рис.2

 

-3

-2

2.5

1/4

-1/4

 

Рис.2

 

Ответ: Точки экстремумов

 

3)

Раскроем знак модуля

 

Рис.3

 

 

-6

-2

 

 

 

рис. 3

 

Ответ: Точки экстремумов

 

 

 

 

4)

Раскроем знак модуля на данном интервале:

-4

-1

 

 

-1

--1

-2

-3

-4

-3

-4

Рис.5

 

 

-7

-7

-7

-7

-7

-7

-7

-7

-7

-7

-7

 

Рис.5

 

Ответ: Точки экстремумов

 

Пример 12.

Построить график функции y = f(x), используя основные методы преобразований графиков. Найдите точки экстремумов и множества значений функции E(f).

1)

2)

3)

4)

Ответы: 1)

2)

3)

4)

Показательная функция.

Функция вида:

у= , а> 0; а≠ 1

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: