Композиция (произведение ) отображений в терминах функции называется сложной функцией.

Пусть: y=f(x); y=g(x), тогда y=f(g(x))- сложная функция.

[f(g(x))≠ g(f(x))].

Рассмотрим следующий пример:

f(x)=|x-1|; g(x)=1/5(x+3).

Найти:

a) f(g(x))

b) g(f(x))

Решение:

а) f(g(x))=f( = | .

b) g(f(x))=g(|x-1|)=

§2 Решение примеров.

Пример 1

A=[-2; 5] B=[-2; 4] f: A®B

По графикам функций, изображённых на рисунках, определите виды отображений.

-2

-2

а)

 

A=[-2; +∞ ) B=(-∞; +∞ ) f: A®B

-2

-1

b)

A=[-2; +∞ ) B=(0; 5] f: A®B

-2

c)

 

 

 

Решение:

а) f(A)=B® сюръекция (биекции нет, т.к. функция не является строго монотонной)

b) f(A)≠ B, но при этом функция строго возрастает® инъекция.

с) f(A)=B; функция строго убывает ® биекция

Пример 2(творческое задание).

Придумайте графики функций как отображение f: A®B так, чтобы получить различные виды отображений.

ГЛАВА 5.Числовые функции и их свойства.

Определение числовой функции. Основные свойства.

Как уже рассматривалось в предыдущей главе, числовую функцию можно определить, как отображение двух числовых множеств:

f: X®Y; (X; Y; f); XÌ R; YÌ R.

Существуют различные способы задания функции:

Табличный

Аналитический

Графический

При исследовании функции и для построения графика функции необходимо изучить основные свойства.

1.Область определения функции D(f)

Область определения функции- это множество допустимых значений аргумента.

При нахождении области определения функции помните, что нельзя:

Делить на ноль

Извлекать корень чётной степени из отрицательного числа

Вычислять логарифмы неположительных чисел

Вычислять арксинус и арккосинус чисел по модулю больших единицы.

Множество значений функции.

Если X=D(f)-область определения функции f, то f(X)=E(f)-множество всех значений функции.

E(f)={y| y=f(x); xÎ D(f)}

Примечание: В некоторых случаях множество значений функции легко определить по построенному графику.

Множество корней функции.

Число 𝛂 Î D(f) называется корнем функции y=f(x), если f(𝛂 )=0.

Для нахождения корней функции необходимо решить уравнение:

f(x)=0.(точки пересечения графика с осью абсцисс)

При этом множество корней может быть различным, а именно:

Конечным

Бесконечным счётным

Бесконечным несчётным

Пустым.

Заметим, что полезно найти так же точку пересечения с осью ординат f(0)

Чётность-нечётность функции.

Если ∀ хÎ D(f)®f(-x)=f(x), то функция чётная.

Если ∀ хÎ D(f)®f(-x)=-f(x), то функция нечётная.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

График нечётной функции симметричен относительно начала.координат.

Промежутки монотонности и экстремумы.

Функция y=f(x) на интервале (𝛂; 𝛃 )Ì D(f):

1) возрастает, если из условия х₁> х₂®f(x₁)> f(x₂₎

2) убывает, если из условия х₁> х₂®f(x₁)< f(x₂₎

3) не возрастает, если из условия х₁> х₂®f(x₁)≤ f(x₂₎

4) не убывает, если из условия х₁> х₂®f(x₁)³ f(x₂₎

для всех х₁ и х₂ из интервала (𝛂; 𝛃 ).

Экстремумы (минимумы и максимумы)

Если в некоторой окрестности точки х₀ (х₀Î D(f))

f(x)> f(x₀), то х₀- точка минимума, а f(x₀)-минимальное значение.

Если в некоторой окрестности точки х₀ (х₀Î D(f))

f(x)< f(x₀), то х₀- точка максимума, а f(x₀)- максимальное значение.

Можно использовать различные виды записи:

min у|_x=x0=f(x₀) или min y(x₀)=f(x₀)

max у|_x=x0=f(x₀) или max y(x₀)=f(x₀)

Заметим, что это определение локальных экстремумов и на множестве определения функция может иметь конечное или даже бесконечное (например, тригонометрические функции) число экстремумов.

Обратите внимание! В формулировках задач может быть вопрос: Найдите наибольшее (наименьшее) значение функции. Эти значения выбираются из экстремальных и значений функции на границах области определения функции.

 

 

 

 

Периодические функции.

Функции, которые имеют период, называются периодическими. (этот вопрос подробно рассмотрен в главе 8)

Асимптоты

а) Вертикальные асимптоты.

+∞ (-∞ )

у

Прямая х=а называется вертикальной асимптотой, если при неограниченном приближении х®а (слева или справа) значения функции

f(x)®

х

а

b) Наклонная асимптота.

Прямая у=кх+b называется наклонной асимптотой, если

(-∞ )

при х®+∞ ветви графика неограниченно

 

у

приближаются к прямой у=кх+b, т.е. если y=f(x), то

х

у=кх+b

x®+∞ (x®-∞ )

f(x)- (кх+b)®0

 

 

х

у

В частности, если к=0, то прямая у=b называется горизонтальной асимптотой.

§2 «Полезные» функции

1. у=|х|« у=

х

у

 

2. у=к|х-а|+b ( порядок построения графика)

· при к> 0® Ú, при к< 0®Ù

· ось симметрии х=а

· вершина (узел) ломаной (a; b)

· корни: k|x-a|=-b« |x-a|=- ®

· при к> 0®min y(a)=b; при k< 0® max y(a)=b

· y(0)=k|a|+b

 

 

Пример 1

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: