Называется показательной функцией.

 

График функции называется экспонентой.

х

0< а< 1

а> 1

у

у

х

 

 

Исследование:

1) D(f)=R

2) E(f)=(0; +∞ ); прямая у=0 - горизонтальная асимптота.

3) корней нет, т.к. у≠ 0.

4) у(0)=1 ( все графики проходят через точку (0; 1).

Функция общего вида.

6) при а> 1функция возрастает на всей области определения т.е. из условия х₁> х₂®

при 0< а< 1функция убывает на всей области определения т.е. из условия х₁> х₂ ®

Экстремумов нет.

Обратите внимание на поведение функции на границах области определения.

Если а> 1, то

Если 0< а< 1, то

Пример 1.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -2|.

Решение:

Порядок работы:

(1)у= ; (2) у= ; (3) у= -2; (4) -2|.

В результате имеем следующую схему графика:

у

-2

х

 

 

Исследование:

1). D(f)=R.

2) E(f)=[0; +∞ )

3) y=0« -2=0« =2«|x-1|=1«

4)у(0)=0; у(1)=2.

5) функция общего вида (прямая х=1-ось симметрии)

6)min y(0)=0; min y(2)=0; max y(1)=2.

Пример 2.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=|( -4|.

Решение:

Порядок работы:

(1) у=( ; (2) у= -4; (3)у=( -4; (4) у= | ( -4 |.

В результате имеем следующую схему графика:

у

х

3, 5

 

 

Исследование:

1) D(f)=R

2) E(f)=[3, 5; 4); у=4- горизонтальная асимптота.

3) нет корней, т.к. у≠ 0.

Функция чётная.

5) min y(0)=3, 5.

Пример 3.(самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -3|.

Пример 4.(самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=|( -5|.

Пример 5 .

Дано:

f(x)= -24; D(f)=[-2; 0]=X; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Решение:

Функция у= возрастает. Данная функция тоже возрастает, т.к. получена из данной параллельным переносом.

Вывод: отображение ; f: X®Y является биекцией.

Вычислим значение функции на границах области определения функции: f(-2)=-4; f(0)=1® E(f)=[-4; 0]

заметим, что прямая у=-24 - горизонтальная асимптота ®у> -24.

Схема графика функции в указанной области определения имеет вид:

х

-2

-4

у

Х

У

 

Пример 6.

Дано:

f(x)= -2; D(f)=[-1; 1]=X; E(f)=Y; f: X®Y

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Решение:

Сначала построим схему графика данной функции, используя преобразования графиков и вычислим значения функции на границах области определения и в точке минимума:

f(-1)=-1; f(1)=-1; f(0)=-1, 5 (заметим. что данная функция чётная)

Порядок работы: (1) у= ; (2) у= ; (3) у= .

На интервале (-1; 0) функция убывает; на интервале (0; 1) функция возрастает.

E(f)=[-1, 5; -1]® сюръекция (отображение «на»)

-1

у

х

У

Х

Схема графика:

 

 

Пример7.(Самостоятельно)

Дано:

у=( -3; D(f)=[-2; 1]; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Ответ: E(f)=[- ; 0]; биекция.

Пример8.(Самостоятельно)

Дано:

у= +1

Найти:

E(f)

Определить вид отображения (построить график).

Ответ: E(f)=[1; 10]; сюръекция.

Логарифмическая функция.

Напомним определение логарифма числа «х» по основанию «а».

Определение:

Логарифмом числа «х» по основанию «а» называется показательстепени, в которую нужно возвести основание «а», чтобы получить число «х».

=b« =x; a> 0; a≠ 1.

 

Примечание:

Из определения логарифма следует, что х> 0, т.е. логарифмы существуют только для положительных чисел.

=х

Основное логарифмическое тождество.

 

Наиболее часто встречаются логарифмы

ü по основанию 10 (десятичные логарифмы)®обозначают lg x

ü по основанию е (натуральные логарифмы)®обозначают

Основные свойства логарифмов.

Условие	Формула
а> 0; a≠ 1	=k
а> 0; a≠ 1 x> 0; y> 0
а> 0; a≠ 1 (xy)> 0
а> 0; a≠ 1 x> 0; y> 0
а> 0; a≠ 1 (xy)> 0
а> 0; a≠ 1 x> 0	= =
а> 0; a≠ 1 > 0
x> 0
xk> 0
a> 0; a≠ 1 x> 0
Xk> 0
a> 0; a≠ 1; b> 0; b≠ 1 x> 0	Формула перехода к другому основанию
	Частный случай:

 

Полезные формулы.

=

; f(x)> 0; g(x)> 0.

 

 

Логарифмическая функция у= является обратной для показательной функции у= .

Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.

0< а< 1

у

у

Пусть задана показательная функция у=а^х; а> 0; а≠ 1.

х

а> 1

х

 

Проверим все условия теоремы о существовании обратной функции(см. глава4)

1)D(f)=R

2) E(f)=(0; +∞ ); y=0-горизонтальная асимптота

3) Функция строго монотонна и непрерывна (при а> 1 возрастает; при 0< а< 1 убывает)

Условия теоремы выполнены.

4) Чтобы найти обратную функцию, выражаем переменную х через у:

х=

Чтобы график обратной функции построить в старой системе координат поменяем местами переменные: х«у

Таким образом, обратная функция f^-1: y=

Продолжим исследование логарифмической функции.

1) D(f^-1)=E(f)=(0; +∞ ); прямая х=0-вертикальная асимптота

2) E(f^-1)=D(f)=R

3)Имеем корень х=1, т.к. а⁰=1

4) Функция строго монотонна и непрерывна (при а> 1 возрастает; при 0 < а < 1 убывает)

Функция общего вида.

Экстремумов нет

График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямой у=х.

у

у

а> 1

у=

0< а< 1

х

х

 

Пример 1.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| .

Решение:

Порядок работы:

(1) у= ; (2) у= -2; (3) у= -2;

(4) у=| .

Схема графика имеет вид:

-1

х

у

-3

-2

 

Исследование:

1) D(f)=R

2) E(f)=[0; +∞ )

3) y=0« =2« |x|+1=4« |x|=3« ; y(0)=2.

4) f(-x)=f(x) ®чётная функция.

5) min y(±3)=0; max y(0)=2.

Пример 2.

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

y=| .

Решение:

Порядок работы:

(1) у= ; (2) y= ; (3) y= ;

(4) y=| .

Схема графика имеет вид:

-5

-1

x

y

 

 

Исследование:

1) D(f)=(-∞; -1)∪ (-1; +∞ ); прямая х=-1- вертикальная асимптота.

2) E(f)=[0; +∞ )

3) y=0« =2 « |x+1|=4« ; y(0)=2.

4) Функция общего вида (график симметричен относительно прямой х=-1)

5) min y(-5)=0; min y(3)=0.

(Обратите внимание на различие графиков функций в 1-ом

и 2-ом примерах, несмотря на похожесть формул задания)

Пример 3

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| +1|.

Решение:

Порядок работы:

(1) у= ; (2) у= +1; (3) у= +1;

(4)у =| +1|.

Схема графика имеет вид:

-4

-2

х

у

 

Исследование:

1) D(f)=(-∞; -2)∪ (2; +∞ ); прямые х=-2 и х=2- вертикальные асимптоты.

2) E(f)=[0; +∞ ).

3) y=0« « |x|-2=2« |x|=4« .

4) f(-x)=f(x)-чётная функция.

5) min y(±4)=0.

Пример 4

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| +1|.

Решение:

Порядок работы:

(1) у= (2) у= ; (3)у= +1;

(4) у=| +1|.

Схема графика имеет вид:

х

у

 

 

Исследование:

1) D(f)=(-∞; 2)∪ (2; +∞ ); прямая х=2- вертикальная асимптота.

2) E(f)=[0; +∞ )

3) у=0« «|х-2|=2« ; у(0)=0.

4) Функция общего вида (прямая х=2- ось симметрии).

5) min y(0)=0; max y(4)=0.

Пример 5(самостоятельно).

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -1|.

Пример 6 (самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| -1|.

Пример 7 (самостоятельно).

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=|

Пример 8 (самостоятельно)

С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование.

у=| .

Пример 9.

Дано:

f(x)= ; D(f)=[5; 7]=X; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: