E(f);2) определить вид отображения f (построить график).

Решение:

Функция у= строго убывает, т.к. основание а= < 1.

Данная функция получена из исходной параллельным переносом, а следовательно тоже убывает

Вывод: f- биекция.

Вычислим значение функции на границах области определения:

f(5)=2; f(7)=1®

E(f)=[1; 2].

у

Х

У

Cхема графика:

х

 

 

Пример 10.

Дано:

f(x)= ; D(f)=[-1; 3]=X; E(f)=Y; f: X® Y.

Найти:

E(f); 2) определить вид отображения f (построить график).

Решение:

Заметим, что данная функция чётная.

Область определения: 4-|х|> 0«хÎ (-4; 4) (прямые х=±4-вертикальные асимптоты)

В нашем примере D(f)=[-1; 3]Ì (-4; 4)

Вычислим значение функции на границах интервала и в точке х=0.

f(-1)=0; f(3)=1; f(0)= +1≈ -0, 26.

Схема графика:

+1

Х

У

-1

х

у

-4

 

На интервале [-1; 0] функция убывает,

а на интервале [0; 3]возрастает®нет строгой монотонности.

Т.к. по условию E(f)=Y, то данное отображение является сюръекцией (отображение Х на У)

E(f)=[

Пример 11(самостоятельно).

Дано:

f(x)= -4; D(f)=[-4; 22]=X; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f); 2) определить вид отображения f (построить график).

Ответ: E(f)=[-4; -1]; биекция.

Пример 12(самостоятельно).

Дано:

f(x)= ; D(f)=[-5; 1]; E(f)=Y; f: X®Y.

Найти:

E(f); 2) определить вид отображения f (построить график).

Ответ: E(f)=[ .

Пример 13.

Решить уравнение:

| .

Решение:

Пусть t= ; t> 0.

Покажем графическое решение данного уравнения.

y=12

y

Строим график функции: |; t> 0 «корыто»

t

у(4)=у(16)=12.

4≤ t≤ 16« 4 ≤ «2 «4≤ x+1≤ 16«3≤ x≤ 15.

Ответ: хÎ [3; 15]

Пример 14.

Решить уравнение:

|

Решение:

Пусть ; (x> -1)®|t-2|-|t-1|=1.

Покажем графическое решение данного уравнения.

у

| («ступенька») у(1)=1; у(2)=-1.

t

y=1

 

 

t≤ 1« ≤ 1«x+1≤ 2«x≤ 1« .

Ответ: хÎ (-1; 1]

Пример 15(самостоятельно).

Решить уравнение:

|

Ответ: xÎ [3; 6].

Пример 16(cамостоятельно).

Решить уравнение:

| |=-1.

Ответ: хÎ (-∞; 1, 5]

Пример 17.

Решить неравенство.

.

Решение:

«

f

Рассмотрим две функции: (1) f(x)= ; (2)g(x)=

(1)

x

f(x)= min f(3)=1®f(x)³ 1

 

(2)

t(x)=6x-x²-7«t(x)=2-(x-3)²; t(x)> 0; max t(3)=2®

0< t(x)≤ 2«-∞ < «g(x)≤ 1.

По условию: f(x)≤ g(x) при этом «f(x)=g(x)=1«x=3

Ответ: {3}.

Пример 18.

Решить неравенство.

Решение:

Рассмотрим две функции:

(1) f(x)= ; (2) g(x)= .

Решаем неравенство: f(x)³ g(x).

(1)f(x)= ; t(x)= ; max t(0)=4®0< t(x)≤ 4®-∞ < f(x)≤ «f(x)≤ 2

x

t

 

(2) g(x)= ; min g(0)=2 ® g(x) ³ 2

x

g

 

 

«f(x)=g(x)=2«x=0

Ответ: {0}.

Пример 19(самостоятельно).

Решить неравенство.

ю

Ответ: {4}.

Пример 20(самостоятельно).

Решить неравенство.

.

Ответ: {-1}.

Пример 21.

Решить уравнение.

Решение:

Имеем верное равенство при всех допустимых значениях аргумента:

-5

«

 

Ответ: ХÎ (-∞; -5)∪ (5; +∞ )

Пример 22(cамостоятельно).

Решить уравнение:

.

Ответ: хÎ (3; 4).

Сложная функция.

Определение сложной функции, как композиции отображений, было рассмотрено в главе 4.

Если заданы две функции y=f(x); y=g(x) (E(g)Ì D(f) ), то функция F(x)=f(g(x)) называется сложной функцией.

Возьмите на заметку:

1)Если обе функции f и g возрастают,

то функция F тоже возрастает.

2)Если обе функции f и g убывают,

то функция F возрастает.

3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,

то функция F убывает.

 

 

Пример 1.

Дано:

f(x)= ; g(x)=x⁷; 𝛗 (x)=|x|.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

Построить график и провести исследование.

Решение:

y=f(g(𝛗 (x)))=f(g(|x|))=f(|x|⁷)= ®

y=

Сначала построим график функции у= ® > 1®

Затем сделаем чётное продолжение.

у

Схема графика:

х

 

Исследование:

1) D(y)=R

2) E(y)=[0; +∞ )

Чётная

4) у=0« х=0

5) min y(0)=0.

Пример 2.

Дано:

f(x)=x-2; g(x)=x⁷; 𝛗 (x)=

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Решение:

y=f(g(𝛗 (x)))=f(g( ))=f(| =| ®

y=

Порядок построения графика этой функции:

(1)у= (2) у=| (3)

Схема графика:

у

х

-2

 

Исследование:

1) D(y)=(0; +∞ ); x=0- вертикальная асимптота.

2) E(y)=[-2; +∞ ).

3) y=0«| =2« «

Общего вида.

5) min y(1)=-2.

Пример 3.

Дано:

f(x)=|x+2|; g(x)= ; 𝛗 (x)=-(x+1)

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Решение:

y=f(g(𝛗 (x)))=f(g(-(x+1)))=f( = +2| ®

y= +2|

Порядок построения графика этой функции:

(1) у= ; (2) у= ; (3) у= +2;

(4)у= +2|

Схема графика:

-1

х

у

-5

 

 

Исследование:

1) D(y)=(-∞; -1); x=-1- вертикальная асимптота.

2) E(y)=[0; +∞ ).

3) у=0« «-(х+1)=4«х=-5

Общего вида.

5) min y(-5)=0.

Пример 4.

Дано:

f(x)=x-3; g(x)= ; 𝛗 (x)=|x|.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Решение:

y=f(g(𝛗 (x)))=f(g(|x|))=f(( )=( -3®

y= -3.

Порядок построения графика этой функции:

(1)у= ; (2)у= ; (3) у= -3.

Схема графика:

х

-3

-2

у

 

Исследование:

1)D(y)=R.

2)E(y)=(-3; 2]; y=-3-горизонтальная асимптота.

3)корней нет, т.к. у≠ 0; у(0)=-2.

Чётная функция.

5) max y(0)=-2.

Пример 5(самостоятельно).

Дано:

f(x)= ; g(x)=x³; 𝛗 (x)=|x|+1.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Ответ: у= ; min y(0)=1.

Пример 6(самостоятельно).

Дано:

f(x)=x-4; g(x)= ; 𝛗 (x)=|x|.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Ответ: у= -4; х=0-вертикальная асимптота; экстремумов нет.

Пример 7 (самостоятельно).

Дано:

f(x)=2^x; g(x)=|x|; 𝛗 (x)=x-4.

Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Ответ: у= ; min y(4)=1.

Пример 8 (самостоятельно).

Дано:

f(x)= ; g(x)= ; 𝛗 (x)=x+1.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: