Найти аналитическое выражение функции

y=f(g(𝛗 (x))),

построить график и провести исследование.

Ответ: у= ; х=0-вертикальная асимптота; экстремумов нет.

Обратные функции.

Примечание:

Основные понятия об обратной функции

Были рассмотрены в главе 4.

Пример 1.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= -2.

Решение:

Т.к функция у= -2 строго возрастает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=(-2; +∞ )=D(f^-1).

Ответ: (-2; +∞ ).

Пример 2.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= +2.

Решение:

Т.к. функция у= +2 строго возрастает при х³ 5/3, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=[2; +∞ )=D(f^-1).

Ответ: [2; +∞ ).

Пример 3.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у=5-(х+2)³.

Решение:

Т.к. функция у=5-(х+2)³.строго убывает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=(-∞; +∞ )=D(f^-1).

Ответ: (-∞; +∞ ).

Пример 4.

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= +3.

Решение:

Т.к. функция у= +3 строго возрастает на всей числовой оси, то существует обратная функция и при этом:

D(f^-1)=E(f)®E(f)=(-∞; +∞ )=D(f^-1).

Ответ: (-∞; +∞ ).

Пример 5 (самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у=4- .

Ответ: (-∞; 4).

Пример 6(самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= .

Ответ: [-5; +∞ ).

Пример 7 (самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у=3- .

Ответ: (-∞; +∞ )

Пример 8 (самостоятельно).

Найти D(f^-1) по заданной функции y=f(x), если

у= +5.

Ответ: [5; +∞ ).

Пример 9.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у=3-

Решение:

Функция у=3- задана в области D(f)=(-∞; 4).

Данная функция строго монотонна, а именно, возрастает.

Сделаем контрольную проверку.

Пусть х₁=3® f(3)=3; x₂=2®f(2)=2.

x₁> x₂®f(x₁)> f(x₂)®функция возрастает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞; 4).

Ответ: (-∞; 4).

Пример 10.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= +1.

Решение:

Функция у= +1 задана в области D(f)=(-∞; 2, 5]

Данная функция строго монотонна, а именно убывает.

Сделаем контрольную проверку.

Пусть х₁=2® f(2)=1; x₂=-2®f(-2)=3.

x₁> x₂®f(x₁)< f(x₂)®функция убывает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞; 2, 5]

Ответ: (-∞; 2, 5].

Пример 11.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Решение:

Функция у= задана в области D(f)=(-∞; -5)∪ (-5; +∞ ) и строго убывает.

у

Схема графика:

х

-5

 

 

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞; - 5)∪ (-5; +∞ )

Ответ: )=(-∞; - 5)∪ (-5; +∞ )

Пример 12.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Решение:

Функция у= задана в области D(f)=(-∞; ].

Данная функция строго монотонна, а именно убывает.

Сделаем контрольную проверку.

Пусть х₁=2® f(2)=-1; x₂=1®f(1)=6.

x₁> x₂®f(x₁)< f(x₂)®функция убывает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f^-1)=D(f)=(-∞; ]

Ответ: (-∞; ]

Пример 13 (самостоятельно).

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Ответ: (-∞; - )∪ (- ; +∞ ).

Пример 14 (самостоятельно).

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Ответ: (-∞; ).

Пример 15.

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= -4.

Ответ: (-∞; 5, 5].

Пример 16 (самостоятельно).

Найти E(f^-1)по заданной функции у=f(x), если

у= -5.

Ответ: (-∞; +∞ ).

Пример 17.

Дано: у= -2.

Найти: 1)обратную функцию; 2) построить графики функций f(x)и f^-1(x).

Решение:

1.Построим график функции у= -2 (можно использовать преобразования графиков: (1) у= ; (2) у= -2).

у

Схема данного графика:

х

f-1

f

-2

-2

y=x

 

2.D(f)=(-∞; +∞ )

3.E(f)=(-2; +∞ ); у=-2-горизонтальная асимптота.

Функция непрерывная и строго возрастает

Существует обратная функция.

Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

у= -2«3^х+1=у+2«х+1= «х= 1 (f^-1)

6.Для построения графика обратной функции в старой системе координат поменяем местами переменные: х«у: у= -1 (f^—1).

7.D(f^-1)=E(f)=(-2; +∞ ); х=-2-вертикальная асимптота.

8.E(f^-1)=D(f)=(-∞; +∞ ).

9.f^-1 возрастает и непрерывна.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Пример 18.

Дано: y= +2

Найти: 1)обратную функцию; 2) построить графики функций f(x)и f^-1(x).

Решение:

y

f-1

1.Строим график функции y= +2

f

х=1

у=1

у=х

x

 

2.D(f)=(1; +∞ ); x=1-вертикальная асимптота.

3.E(f)=(-∞; +∞ ).

Функция непрерывна и строго убывает.

Существует обратная функция.

Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

y= +2« =у-2«х-1= «х=( +1.

Для построения графика обратной функции в старой системе

координат поменяем местами переменные: х«у =( +1 (f^-1)

7.D(f^-1)=E(f)=(-∞; +∞ ).

8.E(f^-1)=D(f)=(1; +∞ ); y=1-горизонтальная асимптота.

Функция непрерывна и убывает.

Пример 19.

Дано:

у=х²-7х+12.

Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

Построить графики.

Решение:

у=х²-7х+12«у=(х-3, 5)²-0, 25-это парабола.

ü х=3, 5- ось симметрии

ü (3, 5; -0, 25)-вершина параболы

ü корни: х₁=3; х₂=4.

ü у(0)=12.

f1

1.Строим график данной функции.

х

у

х=3, 5

f2

 

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: