Имеем два интервала монотонности.

N	f1	f2
	D(f1)=(-∞; 3, 5]	D(f2)=[3, 5; +∞ )
	E(f1)=[0, 25; +∞ )	E(f2)=[0, 25; +∞ )
	Функция убывает	Функция возрастает
	Формула обратной функции: (х-3, 5)2=у+0, 25« |х-3, 5|= « Х-3, 5=- « Х=3.5-	Формула обратной функции: (х-3, 5)2=у+0, 25« |х-3, 5|= « Х-3, 5= « Х=3.5+
	x«y f1-1: y=3, 5-	x«y f2-1: y=3, 5+
	D(f1-1)=E(f1)=[0, 25; +∞ )	D(f2-1)=E(f2)=[0, 25; +∞ )
	E(f1-1)=D(f1)=(-∞; 3, 5]	E(f2-1)=D(f2)=[3, 5; +∞ )
	f1-1(x) убывает	f2-1(x)-возрастает
	f1-1 f1	f2-1 f2

Замечание:

Обратите внимание, что f₁=f₂= х²-7х+12.

Но обратные функции имеют различные формулы задания.

Но, если построить графики обратных функций в одной системе координат, то получим тоже параболу, которую задают уравнением:

(у-3, 5)²=х+0, 25.

у=3.5

 

Пример 19.

Дано:

у=

Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

Построить графики.

Решение:

Данная функция задаётся объединением двух формул, если раскрыть знак модуля.

у= .

Схема графика:

f2

f1

x=1

-1

x

y

 

Имеем два интервала монотонности.

N	f1(x)=	f2(x)=
	D(f1)=(-∞; 1]	D(f2)=[1; +∞ )
	E(f1)=[-4; +∞ )	E(f2)=[-4; +∞ )
	Функция убывает	Функция возрастает
	Формула обратной функции: У= « 21-х=у+4« 1-х= « Х=1-	Формула обратной функции: У= « 2х-1=у+4« Х-1= « Х=1+
	х«у f1-1: y=1-	х«у f2-1: y=1+
	D(f1-1)=E(f1)=[-4; +∞ )	D(f2-1)=E(f2)=[-4; +∞ )
	E(f1-1)=D(f1)=(-∞; 1]	E(f2-1)=D(f2)=[1; +∞ )
	f1-1(x)-убывает	f2-1(x)-возрастает
	f1-1 f1 х=1 у=х -4 -4	f2-1 f2 -4 -4 x=1 y=x

Пример 20.

у

По данному графику найти аналитическое выражение функции и на каждом интервале монотонности определить обратную функцию и построить графики.

х

-3

-1

f1

f2

f3

 

Имеем ломаную и три интервала монотонности.

f1

На каждом интервале найдём аналитическое задание функции.

D(f₁)=[-3; 0]; проходит через точку (-3; 0) с угловым

коэффициентом к₁=1/3

Уравнение прямой ищем в виде: у=к₁(х-х₀)+у₀®у=1/3(х+3).

f2

D(f₂)=[0; 2]; проходит через точку (0; 1) с угловым

коэффициентом к₂=-1

f3

Уравнение прямой ищем в виде: у=к₂(х-х₀)+у₀®у=-х+1.

D(f₃)=[2; 5]; проходит через две точки М₁(2; -1) и М₂(5; 4).

Уравнение прямой ищем в виде: ® «

5(х-2)=3(у+1)«у= х- .

Окончательно получаем объединённую формулу задания данной функции.

f(x)=

Далее на каждом интервале монотонности определим обратную функцию и проведём полное исследование.

Обратите внимание, что нельзя найти единой обратной функции, но можно определить обратную функцию на выбранном участке монотонности.

N	f1(x)=	f2(x)=-x+1	f3(x)=
	D(f1)=[-3; 0]	D(f2)=[0; 2]	D(f3)=[2; 5]
	E(f1)=[0; 1]	E(f2)=[-1; 1]	E(f3)=[-1; 4]
	Возрастает	Убывает	Возрастает
	Формула обратной функции У= Х=3у-3	Формула обратной функции У=-х+1 Х=-у+1	Формула обратной функции У= Х=
	x«y f1-1(x)=	x«y f2-1(x)=-x+1	x«y f3-1(x)=
	D(f1-1)=E(f1)=[0; 1]	D(f2-1)=E(f2)=[-1; 1]	D(f3-1)=E(f3)=[-1; 4]
	E(f1-1)=D(f1)=[-3; 0]	E(f2-1)=D(f2)=[0; 2]	E(f3-1)=D(f3)=[2; 5]
	f1-1(x) возрастает	f2-1(x) убывает	f3-1(x) возрастает
	f1-1 f1 -3 -3 у=х	f2 f2-1 -1 y=x -1	y=x f3 f3-1 -1 -1

Пример 21.

Дано:

у=|х-1|+2|х+3|-2х+1.

Построить график данной функции и определить интервалы монотонности.

На каждом интервале монотонности найти обратную функцию.

Решение:

Раскроем знак модуля и получим задание данной функции как объединение формул:

у=

у=

Строим график данной функции и определяем интервалы монотонности.

f2

x

y

f3

f1

-3

-4

 

N	f1(x)=-5x-4	f2(x)=-x-8	f3(x)=x+6
	D(f1)=(-∞; -3]	D(f2)=[-3; 1]	D(f3)=[1; +∞ )
	E(f1)=[11; +∞ )	E(f2)=[7; 11]	E(f3)=[7; +∞ )
	убывает	Убывает	Возрастает
	Формула обратной функции У=-5х-4« Х=-	Формула обратной функции У=-х-8« Х=-у+8	Формула обратной функции У=х+6« Х=у-6
	х«у f1-1(x)=-	х«у f2-1(x)=-х+8	х«у f3-1(x)=х-6
	D(f1-1)=E(f1)=[11; +∞ )	D(f2-1)=E(f2)=[7; 11]	D(f3-1)=E(f3)=[7; +∞ )
	E(f1-1)=D(f1)=(-∞; -3]	E(f2-1)=D(f2)=[-3; 1]	E(f3-1)=D(f3)=[1; +∞ )
	f1-1(x) убывает	f2-1(x) убывает	f3-1(x) возрастает
	f1-1 -3 f1 -3	f2-1 f2 -3 -3	f3-1 f3

Пример22 (творческое задание)

Задайте график ломаной.

Найдите аналитическое задание этой функции.

На каждом интервале монотонности найдите обратную функцию и проведите полное исследование.

Пример 23 (творческое задание)

Дано:

у=к₁|х-а|+к₂|х-b|+k₃x+c

1) Задайте параметры (к₁; к₂; к₃; a; b)

Постройте график данной функции.

На каждом интервале монотонности найдите обратную функцию.

Примечание:

Обратите внимание на задание функции:

Не должно быть участков, где функция постоянная.

В противном случае Вы не сможете найти обратную функцию.

Желаю успеха!

Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.

Периодические функции и их свойства.

Определение:

Функция у=f(x), заданная на множестве X, называется периодической, если существует такое число L ( L 0), что выполняются два условия:

1) ∀ xÎ X, x±LÎ X;

2)∀ xÎ X; f(x±L)=f(x).

 

Число L называется периодом данной функции, а сама функция периодической.

Основные свойства периодических функций

1. Если L-период функции y=f(x), то функция имеет бесконечное множество периодов вида {kL}, k Z k 0

Другими словами, если L-период функции y=f(x), то числа: ±2L; ±3L; …тоже периоды данной функции.

Действительно, пусть L-период функции y=f(x).

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: