Покажем, что число 2L - тоже период этой функции.

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 16Следующая ⇒

∀ xÎ X, x±LÎ X®x±2LÎ X

f(x+2L)=f((x+L)+L)=f(x+L)=f(x)

f(x+2L)=f(x)

Определение:

Наименьшее положительное число из множества всех периодов называется основным периодом, который мы будем обозначать Т.

Напомним основные периоды для тригонометрических функций:

1) y=sin x, T=2π (sin(x±2π )=sin x)

2) y=cosx, T=2π (cos(x 2π )=cos x)

3) y=tgx, T=π (tg(x π )=tgx)

4) y=ctgx, T=π (ctg(x π )=ctgx)

При построении графика периодической функции можно сначала построить график на интервале длины T, а затем периодически продолжить график на всю числовую ось.

Замечание: Если y=f(x) – чётная, то строим график на интервале [0; ]

Затем чётным образом на интервале [- ; 0].

Аналогично для нечётной функции, только на интервале [- ; 0] – нечётное продолжение.

3. Если функция y=f(x) имеет период Т, то функция y=Аf(kx+b)+ B имеет период

(А, В, k, b) – постоянные)

4. Если функция f₁(x) имеет период Т₁, функция f₂(x) имеет период Т_2, то функция y=Аf₁(x)+ B f₂(x) тоже периодическая с периодом T.

Для нахождения T используем соотношение: kТ₁₌nТ₂(k, n N)

= = - несократимая дробь

Тогда, Т= Т_{1 (}или Т= Т₂)

Определение тригонометрических функций.

Рассмотрим окружность, заданную уравнением:

х²+у²=1; R=1.

(В дальнейшем будем называть эту окружность тригонометрической).

Пусть радиус-вектор при повороте на угол 𝛂 против часовой стрелки перейдёт в радиус-вектор

Пусть координаты точки М(х.; у).

М(х; у)

Определение: R=1®

Ось (оу) называют осью синусов.

Определение:

R=1®

Ось (ох) называют осью косинусов.

Таким образом, точка М на тригонометрической окружности имеет координаты М(

Замечание:

Аргументом синуса и косинуса является угол поворота 𝛂.

Если этот угол выражается в радианах, то значениями 𝛂 являются действительные числа.

Напомним, что радиан ( от лат radius) можно определить как центральный угол, который опирается на дугу, равную радиусу.

1рад.

1⁰=

рад.≈ 0, 017 рад. 1 рад.=

≈ 57⁰

tg 𝛂 =

« tg 𝛂 =

Определение:

Рассмотрим прямую х=1.

x=1

tgα

В- точка продолжения

с прямой х=1.

Тогда

=tg𝛂, т.к. ОА=1®

tgα =AB.

Прямая х=1 называется осью тангенсов.

ctg α =

« ctgα =

Определение:

Рассмотрим прямую у=1.

ctg α

y=1

В-точка пересечения с прямой у=1.

Тогда =ctg𝛂, т.к. ОС=1® ctg 𝛂 =CB.

Прямая у=1 называется осью котангенсов.

§3. Функция у= .

Исследование:

1. D(f)=(-∞; +∞ ).

2. E(f)=[-1; 1].

3. «x=π k; kÎ Z.

4. (нечётная функция); график симметричен относительно начала координат.

5.

Основной период Т=2π; .

Т.к. функция нечётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0; π ].

6.Если х возрастает от 0 доπ /2, то функция возрастает от 0 до 1.

Если х возрастает от π /2 до π, то функция убывает от 1до 0.

7.min y=-1; «x=-π /2 +2π k; kÎ Z;

max y=1; « x=π /2 +2π k; kÎ Z.

График функции называется синусоидой.

х

π

-π

у

-1

Т=2π

§4. Функция у= .

1. D(f)=(-∞; +∞ ).

2. E(f)=[-1; 1].

3. «x=π /2+π k; kÎ Z.

4. (чётная функция); график симметричен относительно оси ординат.

5.

Основной период Т=2π; .

Т.к. функция чётная и периодическая, то достаточно исследовать функцию на интервале [0; π ].

6.Если х возрастает от 0 до π, то функция убывает от 1 до -1.

7.min y=-1; «x=-π +2π k; kÎ Z;

max y=1; « x=2π k; kÎ Z.

График функции называется косинусоидой.

у

π

-π

Т=2π

-1

х

§5.Функция y=tg x.

Исследование:

y=tg x «у= .

1. D(f): «x≠ π /2 +π k, kÎ Z.

Прямые х=π /2 +π к, кÎ Z-вертикальные асимптоты.

2. E(f)=(-∞; +∞ ).

3. tgx=0« «x=𝛑 k; kÎ Z.

4. tg(-x)=-tgx®нечётная функция.

5. Периодическая, основной период Т=𝛑.

tg(x±𝛑 )=tgx.

6. На интервале (-π /2; π /2) функция возрастает от -∞ до +∞.

Экстремумов нет.

График функции называется тангенсоидой.

х

π

Т=π

-π

-π /2

π /2

у

§6. Функция у=ctg x.

Исследование:

y=ctg x« y= .

1. D(f): « x≠ 𝛑 k; kÎ Z; прямые х=𝛑 к, кÎ Z- вертикальныеасимптоты.

2. E(f)=(- ∞; +∞ ).

3. ctg x=0« «x=π /2 +π k; kÎ Z.

4. ctg(-x)=-ctg x®нечётная функция.

5. Периодическая, основной период Т=𝛑.

сtg(x±𝛑 )=сtgx.

6. На интервале (0; π ) функция убывает от +∞ до -∞.

Экстремумов нет.

График функции называется котангенсоидой.

у

х

π /2

π

-π /2

-π

Т=π

§7. Функция y=arcsin x.

Определение:

arcsin a=𝛂 (угол)«

Рассмотрим функцию у= на интервале [-π /2; π /2].

Все условия существования обратной функции выполнены.

Действительно, если f(x)= , то:

1.D(f)=[-π /2; π /2].

y

2.E(f)=[-1; 1].

Возрастает и непрерывна.

4.Формула обратной функции:

f^-1: x= .

y=

5.x«y

x

-1

π /2

-π /2

y=arcsin x

Исследование:

1.Область определения: [-1; 1].

2.Множество значений: [-π /2; π /2].

3.arcsin x=0«x= «x=0

4.arcsin(-x)=-arcsin x® нечётная функция.

5.Если х возрастает от -1 до +1, то функция возрастает от – до .

Экстремумов нет.

=x

у_(наим.)(-1)=- ; у_(наиб.)(1)= .

-1

-

y=arcsin x

§8. Функция у=arсcos x.

Определение:

arсcos a=𝛂 (угол) «

Рассмотрим функцию у= на интервале [0; π ].

Все условия существования обратной функции выполнены.

y=

Если f(x)= (y= , то:

π

1.D(f)=[0; π ].

2.E(f)=[-1; 1].

-1

3.Убывает и непрерывна.

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arсcos y

X«y

y=arсcos x.

Исследование:

1.Область определения функции: [-1; 1].

2.Множество значений функции: [0; π ].

3.arccos x=0 «x=

Функция общего вида.

Справедлива формула: arсcos(-x)=𝛑 - arccos x

5.Если х возрастает от -1 до 1, то функция убывает от π до 0.

Экстремумов нет

у_(наим.)(1)=0; у_(наиб.)(-1)=π.

π

-1

x

y

y=arccosx

§9. Функция у=arctg x.

Определение:

arctg a=𝛂 (угол)«

Рассмотрим функцию у=tg x на интервале (- .

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 141516 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 438; Нарушение авторского права страницы