Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)=tgx (y=tg x), то:

1.D(f)=(- .

2.E(f)=(-∞; +∞ );

прямые х=-π /2 и х=π /2- вертикальные асимптоты.

Возрастает и непрерывна.

х

у

х=

y=tgx

 

 

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arctgy.

X«y

y=arctg x.

Исследование:

1.Область определения: (-∞; +∞ ).

2.Множество значений функции: (- .

Прямые у=-π /2 и у=π /2-горизонтальные асимптоты.

3.arctgx=0« x=tg0«x=0.

4.arctg(-x)=-arctg x®нечётная функция.

5.С возрастанием х от -∞ до+∞ функция возрастает от –π /2 до +π /2.

у=arctgx

у

6.Экстремумов нет.

х

у=-π /2

у=π /2

tg(arctgx)=x

 

 

§10.Функция у=arcctg x.

Определение:

arcctga=𝛂 (угол)«

 

 

Все условия существования обратной функции выполнены.

Если f(x)=ctg x (y=ctg x), то:

1.D(f)=(0; π ), прямые х=0 и х=π - вертикальные асимптоты.

2.E(f)=(-∞; +∞ ).

Убывает и непрерывна.

х=π

х

х=0

у

y=ctgx

 

 

4.Формула обратной функции:

f^-1: x=arcctg x.

X«y

y=arcctg x.

Исследование:

1.Область определения функции: (-∞; +∞ ).

2.Множество значений функции: (0; π );

прямые у=0 и у=π -горизонтальные асимптоты.

3.Корней нет, т.к. у≠ 0; у(0)=π /2.

Функция общего вида.

Справедлива формула: arcctg(-x)=π - arcctg x.

5.Если х возрастает от -∞ до +∞, то функция убывает от π до 0.

ctg(arcctg x)=x

6.Экстремумов нет.

x

y

y=π

y=0

y=arcctg x

 

 

 

 

§11.Решение примеров.

Пример1

Найти область определения следующих функций

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Решения

1)

Заметим, что:

Область определения функции:

« «

≤ x< n; nÎ Z.

Ответ: {( ; ), nÎ Z}

2)

Заметим, что

Область определения:

Ответ:

3)

Заметим, что:

Тогда:

Область определения функции:

-

Ответ:

4)

Область определения функции:

Пусть cos x = t,

+

+

-

1/2

-1

-2

t

1/2

Ответ:

5)

Область определения функции:

(область определения y = tg x)

Ответ:

6)

Область определения функции:

x

y

1/√ 2

π /4

Ответ:

7)

Область определения функции:

(условие существования тангенса)

x

y

1/√ 2

3π /4

π /4

ось тангенсов

Ответ:

Пример 2.

Найти область определения следующих функций (самостоятельно)

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Ответы: 1)D(y)={( 2)

3) 4)

5) 6)

7)

Пример 2.

Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов.

1) f(x)=cos²x + cosx –3/4;

2) f(x)=cos²x + cosx - 3/2;

3) f(x)= -4cos²x + 4 cosx

Решение:

1) f(x)=cos²x + cosx –3/4

Введем новую переменную t=cosx, t Є [-1, 1]

f(t)= t² +t – ¾ è f(t)= (t+1/2)²-1, t Є [-1, 1] (рис1)

min f|_t=-1/2= -1 è m=-1; f(-1)=-3/4;

f(1)= 5/4 è M=5/4

E(f)= [-1; 1 ] min f=-1 при t=- < ==> cosx= - < ==> x=± π + 2π к, к Є Z

Ответ: E(f)= [-1; 1 ]; minf(± +2π k)=-1

2) f(x)=cos²x + cosx -

Введем новую переменную: t=cosx, t Є [-1, 1]

f(t)=t²+ t - è f(t)= (t+ )²-2, t Є [-1, 1] (рис. 2)

minf|_t=- = -2 è m=-2; f(-1)= (-1+ )²-2 =

= 1 - + -2= - -√ 2;

f(1)= (1 + )²-2= - +√ 2

M= - è E(f)= [-2; √ 2 - ]

minf=-2 при t= < ==> cosx = - < ==> x=± π + 2π к

Ответ: E(f)= [-2; - ]; minf| _{x=± π + 2π к} =-2

Рис.2

3) f(x)= -4cos²x+4√ 3 cosx

Введем новую переменную: t= cosx; t Є [-1, 1]

f(t)= -4t²+4√ 3 t, t Є [-1, 1]

f(t)=-4(t- )²+3 (рис.3)

maxf|_t= =3 è M=3;

f(-1)= -4 - 4 è m= -4 - 4

f(1)= -4+ 4

E(f)=[ -4 - 4 ; 3]

maxf=3 при t= < ==> cosx= < ==> x=± 𝛑 + 2𝛑 к, кÎ Z.

Ответ: E(f)=[ -4 - 4 ; 3]; maxf(±

Пример 3 (самостоятельно)

Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов (самостоятельно)
1) f(x)= - sin²x – sinx +

2) f(x)= -2 sin²x+ 2 sinx +2

3) f(x)=4sin²x +4 sinx -2

Ответ: 1) E(f)= [-1 ; 1] maxf((-1)^k+1 +π k; kÎ Z)=1

2) E(f)=[- 2 ; 3] maxf((-1)^k +π k; kÎ Z)=3

3) E(f)=[-5; 2+4 ] minf((-1)^k+1 )=-5

 

Пример 4.

Решить уравнение:

| + |=1

Решение:

Обозначим tÎ [-1; 1] ®

|t-

Геометрическое решение:

(Повторите в разделе «специальные функции» функцию «корыто»)

t

y=1

y

-

 

 

-

y=1«- «- «- ; kÎ Z.

 

 

Ответ: {[-

Пример 5 (самостоятельно).

| .

Ответ: {2π k, kÎ Z}.

Пример 6.

Решить неравенство:

.

Решение:

Рассмотрим две функции:

f(x)= ; g(x)= ®

f(x)³ g(x).

Определим множество значений для каждой функции:

f(x)= , т.к. -1≤ , то 1/3≤ ≤ 1®D(f)=[1/3; 1]

g(x)= , т.к. ,.то

1≤ ≤ 2® D(g)=[1; 2]

f(x)³ g(x) « «

« ®

Ответ: { }

Пример 7 Самостоятельно).

Решить неравенство:

.

Ответ: { .

Пример 8.

Найти область определения функции:

y=arcsin(3x+4).

Решение:

Область определения данной функции:

|3х+4|≤ 1«|х+

-

-1

-

х

 

Ответ: D(f)=[-

Пример 9 (самостоятельно).

Найти область определения функции:

y=arccos(2-5x).

Ответ: [1/5; 3/5].

Пример 10.

Решить уравнение:

(x²-8)+3x²+16x+8=0.

Решение:

О.д.з.: |х²-8|≤ 1«7≤ х²≤ 9« √ 7≤ |х|≤ 3.

х

-3

-√ 7

√ 7

 

 

О.д.з.: хÎ [-3; -√ 7]∪ [√ 7; 3].

Т.к. ®

x²-8+3x²+16x+8=0 « 4x²+16x=0« x(x+4)=0«

Ответ: ∅

Пример 11(самостоятельно).

Решить уравнение:

Ответ: {2}.

Пример 12 (самостоятельно).

Вычислить: *( .

Ответ: √ 5.

Пример 13 (самостоятельно).

Вычислить:

|3 , если 2, 5 .

Ответ: 5

Пример 14.

Вычислить:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Решение:

1) = = .

Пусть arctg( )=𝛂 «

 

 

√ 3

c

α

c=

 

Ответ:

= = .

Пусть arcctg(1/√ 7)=𝛂 «

√ 7

c

α

c=

 

Ответ: .

3) = = .

Пусть =𝛂 «

√ 5

α

а= tg𝛂 = =2

а

 

 

Ответ: -2.

1) 4) = =-

Пусть =𝛂 «

b

α

b= ctg𝛂 = =

√ 7

 

 

Ответ: -

Пример 15 (самостоятельно)

Вычислить:

1) arccos );

2) tg(arcctg(-2/5);

3) ;

4) ;

5) tg(arc );

6) ctg(arc

Ответ: 1) ; 2)-2, 5; 3) ; 4)√ 5/3; 5)-1; 6) -1/√ 5.

Пример 14.

Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.

1. y= 2 sin ; х₁= х₂=-

2. y= - cos ; х₁= х₂=-

3. y= 5 tg ; х₁= х₂= -

4. y= ctg ; х₁= х₂= -

5. y= 2 sin3x+1; х₁= х₂= -

6. y= 4 cos -1; х₁= х₂= -

7. y=sin²x; х₁= х₂= -

8. y=cos² 2x; х₁= х₂=-

Решение:

Заметим, что для функций y=sin x и y=cos x основной период

Т=2 .

Для функций y=tg x и y=ctg x основной период

Т= .

⇐ Предыдущая78910111213141516

Поделиться: